
- •Национальный исследовательский ядерный университет «мифи»
- •Конспект лекций по разделу «Системы массового обслуживания»
- •1. Системы массового обслуживания
- •1.1. Основные понятия смо
- •Классификация смо
- •Характеристики смо
- •Связи между основными характеристиками (формулы Литтла)
- •0 T1 t2 t
- •1.2. Потоки заявок
- •Простейший (пуассоновский) поток
- •1.3. Марковские процессы
- •1.3.1. Марковские процессы с дискретными состояниями и дискретным временем перехода
- •1.3.2. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем перехода
- •1.3.3. Процессы гибели и размножения
- •1.4. Пуассоновские смо
- •1.4.1. Одноканальные пуассоновские смо
- •1.4.2. Многоканальные пуассоновские смо
- •1.5. Пуассоновские сети смо
- •1.5.1. Ациклические сети смо
- •1.5.2. Циклические сети смо
- •1.6. Оптимизация параметров смо
- •Задача оптимальной интенсивности обслуживания в одноканальной смо с бесконечной очередью
- •Задача оптимальной интенсивности в одноканальной смо без очереди
- •Задачи оптимизации параметров многоканальной смо
- •Задачи оптимизации смо по нескольким параметрам
1.5.2. Циклические сети смо
В циклических сетях заявка может посетить один узел неоднократно. Пример такой сети приведен на рис. 1.21.
Для
анализа циклических сетей совместим
"выход" и "источник". Матрица
переходов для циклических сетей
произвольная.
Рис. 1.21. Топология циклической сети СМО
Рассматривая процесс перехода заявки от узла к узлу как марковский процесс, рассчитаем предельные вероятности нахождения заявки в каждом узле. Для этого решим следующее векторное уравнение (см. раздел 1.3).
Отношение
к
можно интерпретировать как частоту
посещения заявки узла
(СМО
),
вышедшей из источника:
.
Тогда входной
поток в узел
будет определяться по формуле:
.
Зная интенсивность
обслуживания в каждом узле
,
рассчитаем характеристики по каждому
узлу
.
Расчет характеристик сети в целом ведется так же, как и в ациклических сетях.
Анализ циклических сетей СМО с несколькими источниками производится аналогично ациклическим сетям.
Пример расчета циклической сети СМО.
Задана матрица
переходов
.
Входной поток
и интенсивности обслуживания заявок в
узлах:
.
Находим предельные вероятности, решая систему уравнений:
.
Далее рассчитываем:
.
Входные потоки заявок на каждый узел будут равны:
.
Рассчитаем характеристики СМО в каждом узле:
;
;
;
.
Интегральные характеристики по сети будут равны:
1.6. Оптимизация параметров смо
При проектировании или совершенствовании СМО возникает задача оптимизации ее параметров. От качества обслуживания зависят затраты на СМО и потери в СМО.
потери от низкого затраты на
уровня функционирование
обслуживания СМО
оптимальный уровень качество
качества обслуживания
Рис. 1.31. Определение оптимального уровня качества СМО
Ставится задача определения оптимального уровня качества обслуживания. Можно сформулировать большое число задач оптимизации СМО, формируя различные целевые функции. В данном разделе в качестве примеров рассмотрено несколько постановок таких задач.
Задача оптимальной интенсивности обслуживания в одноканальной смо с бесконечной очередью
Класс СМО.
–целевая функция,
где
– потери в единицу времени от пребывания
заявки в СМО,
– затраты в единицу времени при увеличении
интенсивности обслуживания на единицу.
С учетом того, что
,
получим целевую функцию:
.
Для определения минимума целевой функции
найдем производную:
.
Искомая оптимальная интенсивность находится из уравнения:
,
.
Задача оптимальной интенсивности в одноканальной смо без очереди
–целевая функция,
где
– потери от отказа в обслуживании
(доходы от обслуживания одной заявки),
– затраты в единицу времени при увеличении
интенсивности обслуживания на единицу
(то же, что
в предыдущей задаче).
Поскольку
,
,
то
,
,
откуда получим:
.
Задачи оптимизации параметров многоканальной смо
Класс СМО.
Определение
оптимального числа каналов.
Сформируем целевую функцию:
,
где
– затраты в единицу времени на
функционирование одного канала,
–
то же, что в задачах оптимальной
интенсивности, рассмотренных выше. В
данном классе СМО не удается аналитически
определить оптимальное число каналов.
Поэтому необходимо построить зависимость
используя аппарат анализа многоканальных
СМО (см. п. 1.4.2) и по
определить
оптимальное число каналов.
Класс СМО.
Определение оптимального числа мест в очереди
Для данного класса СМО целевая функция имеет вид:
,
где
– затраты в единицу времени на поддержание
одного места в очереди,
,
– те же коэффициенты, что в задачах
оптимальной интенсивности в одноканальной
СМО. В этой задаче тоже не удается
аналитически определить оптимальное
число каналов. Поэтому необходимо
построить зависимость
и определить оптимальное число мест
в очереди.