1.3.3. Процессы гибели и размножения

Процессами гибели и размножения называются марковские процессы, имеющие размеченный граф, приведенный на рис.1.8.

Рис.1.8. Размеченный граф процессов гибели и размножения

−интенсивности размножения, − интенсивности гибели.

Для нахождения вектора предельных вероятностей составим систему уравнений:

(по Колмогорову), (1.14)

. (1.15)

Подставляя (1.14) в (1.15), получим:

Для всех последующих состояний уравнения будут иметь одинаковый вид:

().

Чтобы определить все предельные вероятности, воспользуемся условием: . Для этого выразимчерез:

.                     (1.16)

Введем обозначение , тогда (1.14) и (1.16) запишутся в виде:.

Все оставшиеся вероятности выражаются через :

.

В результате получим выражение для :

.

Определив , можем рассчитать все.

Пример анализа процесса гибели и размножения.

Пусть задан процесс гибели и размножения:

Расчет предельных вероятностей:

;

;

;

Вопросы и задачи

1. Определить предельные вероятности состояний в марковской цепи, описываемой следующей матрицей вероятностей переходов. В начальный момент система находится в первом состоянии

	S1	S2	S3
S1	0,3	0,3	0,4
S2	0,0	1,0	0,0
S3	0,0	0,0	1,0

2. Управляемый объект имеет 4 возможных состояния. Через каждый час производится снятие информации и перевод объекта из одного состояния в другое в соответствии со следующей матрицей вероятностей переходов:

	S1	S2	S3	S4
S1	0,3	0,4	0,0	0,3
S2	0,2	0,2	0,4	0,2
S3	0,4	0,3	0,2	0,1
S4	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти вероятности нахождения объекта в каждом из состояний после второго часа, если в начальный момент он находился в состоянии S_3.

3. По заданным коэффициентам системы уравнений Колмогорова составить размеченный граф состояний. Определить коэффициенты А, В, С, Д в уравнениях:

-А Р1 + 4 Р2 + 5 Р3 = 0

-В Р2 + 4 Р1 + 2 Р4 = 0

-С Р3 + 2 Р2 + 6 Р1 = 0

-Д Р4 + 7 Р1 + 2 Р3 = 0.

4. Физическая система имеет 4 состояния. Размеченный граф состояний приведен ниже.

6

S₁ S₂

4 5 3

S₃ S₄

5

Определить предельные вероятности состояний системы.

1.4. Пуассоновские смо

В пуассоновских СМО входной поток заявок – пуассоновский, т.е. , а время обслуживания распределено по экспоненциальному закону.

1.4.1. Одноканальные пуассоновские смо

СМО без очереди (N=0). Используем теорию процессов гибели и размножения для определения вероятностей (рис. 1.9).

;

.

Вероятность отказа заявки в обслуживании равна :

.

Среднее число заявок в системе равно:

. (1.17)

Среднее время пребывания в СМО равно среднему времени обслуживания:

; (1.18)

так как очереди в СМО нет, то

Эффективный поток заявок определяется по формуле:

.

СМО с ограниченной очередью

Размеченный граф данного класса СМО представлен на рис. 1.10.

Конечное состояние в системе определяется максимальным числом мест в очереди плюс 1 канал обслуживания. Введем обозначение . Система уравнений для нахождения предельных вероятностейимеет вид:

(1.19)

Учитывая, что , получим уравнение для определения:

,

откуда получим , где – любое, т.е. на отношение не накладывается никаких ограничений.

Вероятности .

Определим среднее число заявок в СМО:

. (1.20)

Обозначим через , тогда

(1.21)

Подставив (1.20) в (1.21), получим:

. (1.22)

Отметим, что вероятность отказа равна вероятности последнего состояния в размеченном графе:

;

.

Используя формулы Литтла (1.1 – 1.3), получим:

; (1.23)

; (1.24)

. (1.25)

Рассмотрим частный случай, когда , т.е. . В этом случае:

;

.

Основные характеристики СМО определяются по следующим формулам:

     СМО с неограниченной очередью. Так как СМО без отказов, то , а.

Для получения формул расчета характеристик СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью.

. (1.26)

Чтобы существовал предел, необходимо выполнение условия , которое означает, что интенсивность обслуживания должна быть больше интенсивности потока заявок, иначе очередь будет расти до бесконечности.

Отметим, что в СМО с бесконечной очередью

. (1.27)

Предел (1.26) равен: , и тогда

; (1.28)

; (1.29)

. (1.30)

Рассмотрим вопрос о функции распределения времени пребывания в одноканальной СМО с бесконечной очередью при дисциплине очереди FIFO.

Время пребывания в СМО, когда в ней находитсяn заявок (система находится в состоянии S_n, равно сумме длительностей обслуживания n заявок. Так как время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, то плотность функции распределения условной вероятности времени пребывания в СМО, когда в ней находится n заявок, определяется так же, как распределение Эрланга n порядка (см. раздел 1.2.2)

Искомая плотность функции распределения определяется выражением:

С учетом (1.19) и (1.27), запишется в виде:

Видим, что− экспоненциальное распределение с математическим ожиданием, что совпадает с (1.28).

Из того, что − экспоненциальное распределение, следует важный вывод: выходной поток заявок в одноканальной СМО с бесконечной очередью является пуассоновским потоком.