Модель восстанавливающихся блоков

МВБ получает «корректный» результат, когда хотя бы одна мультиверсия возвращает «корректный» результат и проверочный модуль принимает правильное решение.

Пусть мы имеем nверсий, их надежности равныr₁,r₂,…,r_nсоответственно. Надежность проверочного модуля естьb. Определим соотношение между корректностью выхода системы (S_n) и количеством мультиверсий (n).

При n=1 система возвращает «корректный» результат, если один модуль возвращает «корректный» результат (обозначим как:m₁+) и проверочный модуль принимает правильное решение (обозначим как:b+):S₁ =r₁b.

При n=2 возможно две ситуации:

1. Первый модуль возвращает корректный результат (m₁+) и проверочный модуль принимает правильное решение (b+). Вероятность этой ситуации естьr₁b.

2. Вызывается второй модуль, т.к. первый модуль вернул ошибку (m₁-) и проверочный модуль это обнаружил (b+), либо первый модуль отработал правильно (m₁+), а в проверочном модуле произошла ошибка (b-). Вероятность этой ситуации есть: (r₁∙ (1-b)+(1-r₁) ∙b)∙r₂b.

Тогда S₂= r₁b +(r₁∙ (1-b)+(1-r₁) ∙b)∙r₂b = S₁+(r₁∙ (1-b)+(1-r₁) ∙b)∙r₂b

При n = 3 возможно несколько ситуаций:

1. Решение будет принято с помощью первых двух модулей. Вероятность этого есть S₂.

2. Будет вызвана третья версия, т.к. произойдет одна из следующих ситуаций:

m₁+,b-,m₂+,b-: вероятность этого равнаr₁(1-b)∙r₂(1-b)

m₁-,b+,m₂+,b-: вероятность этого равна(1-r₁)b∙r₂(1-b)

m₁+,b-,m₂-,b+: вероятность этого равнаr₁(1-b)∙(1-r₂)b

m₁-,b+,m₂-,b+: вероятность этого равна(1-r₁)b∙(1-r₂)b

Отсюда:

S₃=S₂+[ r₁(1-b)∙r₂(1-b) + (1-r₁)b∙r₂(1-b) + r₁(1-b)∙(1-r₂)b + (1-r₁)b∙(1-r₂)b]∙r₃b

или

S₃=S₂+[r₁(1-b)+(1-r₁)b]∙[r₂(1-b)+(1-r₂)b]∙r₃b

Продолжив рассуждения, получим:

S_n=S_n-1+[r₁(1-b)+(1-r₁)b]∙ … ∙[r_n-1(1-b)+(1-r_n-1)b]∙r_nb (3.1)

В случае если все модули обладают некоторой средней надежностью ¯;r:

S_n=S_n-1+[¯;r(1-b)+(1-¯;r)b]^n-1∙¯;rb (3.2)

Данную формулу можно доказать методом математической индукции. Для этого избавимся от рекурсивности S_n:

Пусть q=[¯;r(1-b)+(1-¯;r)b], тогдаS_n=S_n-1+q^n-1∙¯;rb = ¯;rb+q¯;rb+q²¯;rb+…+ q^n-1∙¯;rb.

Пусть q≠ 1 (в противном случаеS_nравна 1), тогда можноS_nумножить и разделить на (1-q):

S_n= ¯;rb\s\up 9([1+q+q2+…+ qn-1](1-q=¯;rbCombin

S_n= ¯;rb ∙ (1-[¯;r(1-b)+(1-¯;r)b]ⁿ) / (1-[¯;r(1-b)+(1-¯;r)b]) (3.3)

При n= 1, формула верна:S₁= ¯;rb.

Пусть S_n=S_n-1+[¯;r(1-b)+(1-¯;r)b]^n-1∙¯;rbверна, проверим ее дляn+1:

S_n+1=S_n+[¯;r(1-b)+(1-¯;r)b]ⁿ∙¯;rb

S_n+1= ¯;rb∙(1-[¯;r(1-b)+(1-¯;r)b]ⁿ)/(1-[¯;r(1-b)+(1-¯;r)b]) +[¯;r(1-b)+(1-¯;r)b]ⁿ∙¯;rb

Заменим [¯;r(1-b)+(1-¯;r)b] на q:

S_n+1= ¯;rbCombin +qⁿ∙¯;rb

S_n+1= ¯;rbCombin

S_n+1= ¯;rbCombin

S_n+1= ¯;rb ∙ (1-[¯;r(1-b)+(1-¯;r)b]ⁿ⁺¹) / (1-[¯;r(1-b)+(1-¯;r)b]) ■

Как видно из формул 3 .1 и 3 .2, чем выше n, тем меньше каждый новый модуль увеличиваетS_n. Поэтому при разработке систем, использующих модель восстанавливающихся блоков, следует принимать во внимание стоимость разработки модулей.

Рассмотрим некоторые особые случаи.

1. Надежность проверяющего модуля равна единице (b= 1)

S_n = ¯;r+¯;r(1-¯;r)+r(1-¯;r)²+…+ ¯;r(1-¯;r)^n-1

S_n = 1-(1-¯;r)+¯;r(1-¯;r)+r(1-¯;r)²+…+ ¯;r(1-¯;r)^n-1

Пусть t=1-¯;r

S_n = 1-t+(1-t)t+(1-t)t²+…+ (1-t)t^n-1

S_n = 1-t+t-t²+t²-t³+…+ t^n-1-tⁿ=1-tⁿ

S_n = 1 - (1-¯;r)ⁿ

Легко заметить, что S_n→1, если n→∞. В этом случае мы получаем систему, в которой можно не беспокоиться о надежности отдельных модулей, главное чтобы их количество было достаточно велико.

2. Средняя надежность программного модуля равна единице (¯;r= 1)

S_n =1 - (1-b)ⁿ

Также как и в предыдущем случае, S_n→1 при n→∞. В этом случае, надежность проверочного модуля не имеет значения, главное чтобы количество мультиверсий было достаточно велико.