2012_Topology / L-KoGom

естественно считать, что вычет в бесконечности — это интеграл по окружности достаточно большого радиуса R, ориентированной в обратную сторону:

Замена переменных z = 1/w в этом интеграле дает

Таким образом, мы приходим к выводу, что и вычет надо сопоставлять не функции f(z), а дифференциальной форме f(z)dz.

Итак, преимущество выражения f(x)dx заключается в том, что при переходе к новому переменному t оно сохраняет свою форму, приобретая вид f˜(t)dt, где f˜(t) = f (x(t)) · x′(t).

Пример 6.3. В криволинейном интеграле

Z

I = P (u, v) du + Q(u, v) dv

γ

подынтегральное выражение P du + Q dv является примером дифференциальной формы степени 1. Пусть u = u(x, y), v = v(x, y). Рассмотрим замену переменных в этом выражении:

Таким образом, выражение P (u, v)du + Q(u, v)dv также сохраняет форму при переходе к новым координатам.

На основе примеров 6.1 и 6.3 легко усматривается правило преобразования формы при переходе к новым координатам.

Чтобы задать какой-то объект на всем многообразии, мы можем задать его в какой-либо локальной карте и определить правила преобразования этого объекта при переходе к другой локальной карте. Нужно требовать, чтобы объект был инвариантен (не изменялся) относительно этого преобразования. При определении дифференциальной формы мы будем следовать этой логике.

2. Определение и канонический вид дифференциальной формы

Пусть X — гладкое вещественное многообразие размерности n и x = (x1, . . . , xn) — локальные координаты в некоторой локальной карте U(x).

С каждым упорядоченным поднабором координат xI = {xi1, . . . , xip}, определяемым мультииндексом I = (i1 . . . , ip), где i1, . . . , ip {1, . . . , n}, свяжем абстрактный символ

Обозначим через

∂xI = ∂(xi1, . . . , xip) ∂yJ ∂(yj1, . . . , yjp)

соответствующий минор матрицы Якоби для отображения

x(y) = (x1(y1, . . . , yn), . . . , xn(y1, . . . , yn))

перехода от локальной карты переменных x к локальной карте переменных y на X.

Определение 6.1. Дифференциальной формой ω степени p на n-мерном многообразии X называется объект, который в локальных координатах x записывается в виде линейной комбинации

=p

где aI(x) = ai1,...,ip(x) — функции от x.

При этом при переходе от локальных координат x к локальным координатам y по правилу x = x(y), указанный объект ω преобразуется

|J|=p

дется по всем упорядоченным мультииндексам J = (j1, . . . , jp), 1 6 j1 <

· · · < jp 6 n.

Иными словами, в новых координатах y форма ω задается в виде

Тот факт, что форма ω задана на n-мерном многообразии отражает ее зависимость от n переменных. То, что форма имеет степень p, означает, что в символе dxI присутствует ровно p дифференциалов. Для краткости дифференциальные формы степени p также будем называть p-формами.

Пример 6.4. Произвольная 2-форма на R3 или в локальных координатах x = (x1, x2, x3) любого трехмерного многообразия имеет вид:

ω = a12(x)dx1 dx2 + a13(x)dx1 dx3 + a23(x)dx2 dx3.

Рассмотрим случай ω = dx1 dx2. По определению 6.1 при переходе к локальным координатам y = (y1, y2, y3) получим, что

Если aI(x) — функции класса G, то говорят, что форма ω принадлежит классу G. Например, если G = C — класс непрерывных функций, то

ω — непрерывная форма. Важными для нас являются классы k-гладких

(G = Ck, k N), бесконечно гладких (G = C∞), а также аналитических (G = Cω) коэффициентов формы. Соответственно, будут рассматриваться k-гладкие, гладкие, либо аналитические формы на X.

Пример 6.5. Форма

ydx − xdy ω(x, y) = x2 + y2

степени 1 принадлежит классу G = Cω на проколотой плоскости X =

R2 \ {0}.

Определение 6.1 формальное. Мы могли бы пытаться вывести правило преобразования формы при переходе к другой локальной карте, используя известное выражение для dx(y) и перемножая дифференциалы по правилу умножения многочленов. В этом случае форма ω = dx1 dx2 из примера 6.4 при переходе к координатам y будет преобразовываться следующим образом: dx1 dx2 = dx1(y) dx2(y) =

Закончив раскрывать скобки в (6.6) и вычислив якобианы в (6.5), мы сразу увидим, что для того, чтобы получить правую часть равенства (6.5), надо потребовать, чтобы:

a) dy1 dy1 = 0;

b) dy1 dy2 = −dy2 dy1;

c) функция выносилась за знак " ".

Эти правила были найдены Э. Картаном и представляют из себя формальный алгоритм действия с символом " ". Обычно они постулируются аксиоматически. Покажем, что правила a)–c) следуют из определения 6.1 дифференциальной формы.

Таким образом, форма ω = dxI преобразуется в форму ω = (−1)ε(I,J)dyJ , где ε — четность подстановки JI . По определению замены x = x(y), из этого вытекает, что

В частности, dxi dxj = −dxj dxi и dxi dxi = 0.

Правило (6.7) позволяет любую дифференциальную форму ω привести к каноническому виду

X′

ω = aI(x)dxI.

|I|=p

3. Сложение и внешнее умножение дифференциальных форм

Дифференциальные формы одинаковой степени можно складывать и приводить подобные, при этом dxi1 · · ·dxip играют роль базиса. Очевидно, множество дифференциальных p-форм составляют векторное пространство размерности, равной числу сочетаний из n по p. В самом деле, агрегаты dxI составляют базис, а формы

складываются покомпонентно:

X

ω + ϕ = (aI(x) + bI(x))dxI.

|I|=p

Определение 6.2. Пусть формы ω и ϕ заданы в локальных координатах x,

Их внешним произведением называется дифференциальная форма степени p + q вида

где dxI dxJ = dxi1 · · · dxip dxj1 · · · dxjp.

Пример 6.6. Пусть ϕ = dx1 dx2 − dx2 dx3, ω = dx1 + dx2 + dx3. Тогда по правилу умножения многочленов имеем: ϕ ω = dx1 dx2 dx1 − dx2 dx3 dx1 + dx1 dx2 dx2 −dx2 dx3 dx2 + dx1 dx2 dx3 −dx2 dx3 dx3. Но dx1 dx2 dx2 = dx2 dx3 dx3 = dx1 dx2 dx1 = 0, поскольку содержат одинаковые дифференциалы. Остальные слагаемые сокращаются и значит

ϕ ω = 0.

Свойства внешнего произведения дифференциальных форм

1.ω ϕ = (−1)p qϕ ω, p = deg ω, q = deg ϕ.

2.Если a1(x),. . . , ap(x) — гладкие функции, то внешнее произведение их дифференциалов преобразуется по правилу

X′ ∂(a1, . . . , ap)

da1(x) · · · dap(x) = |I|=p ∂(xj1, . . . , xjp)dxj1 · · · dxjp,

где

daj(x) = ∂aj dx1 + · · · + ∂aj dxn — обычный дифференциал. ∂x1 ∂xn

3.Если x, y — локальные координаты на многообразии, связанные соотношением x = x(y), то символ dxI, являющийся дифференциальной формой степени p, преобразуется при переходе к координатам y к

форме

dxI(y) ≡ dx1(y) · · · dxp(y).

4. Очевидные свойства:

(ω1 + ω2) ϕ = ω1 ϕ + ω2 ϕ; (ω ϕ) φ = ω (ϕ φ).

Лекция 7 ´

Дифференциал формы

Определение дифференциала формы. Свойства дифференциала в фиксированной системе координат, преобразование дифференциала формы относительно отображений. Корректность определения понятия дифференциала (инвариантность). Примеры.

1. Дифференциал формы

Определим операцию дифференцирования дифференциальных форм.

Определение 7.1. Дифференциалом формы ω степени p называется дифференциальная форма степени p + 1, которая обозначается dω, и если

ω в локальных координатах x записана в виде

X

ω = aI(x)dxI,

|I|=p

то

X

dω = daI(x) dxI.

|I|=p

Распишем подробнее dω, учитывая, что daI(x) — обычный дифференциал функции aI(x):

n

X X ∂a

∂xI dxj dxi1 · · · dxip.

|I|=p |j|=1

j

Пример 7.1. Пусть ω = x1dx2 − x2dx1. Тогда

dω = dx1 dx2 − dx2 dx1 = 2dx1 dx2.

2. Свойства дифференциала

Изучим свойства дифференциала dω в фиксированной локальной системе координат x = (x1, . . . , xn).

1.d(ϕ + ψ) = dϕ + dψ, где ϕ, ψ C1.

2.Обобщенное правило Лейбница:

d(ϕ ψ) = dϕ ψ + (−1)deg ϕϕ dψ, где ϕ, ψ C1.

3.d2ω = d(dω) = 0, где ω C2.

Свойство 1 следует из адиттивности операции взятия дифференциала функции. Докажем свойство 3 в предположении, что для функций оно уже доказано.

Доказательство. Пусть ω = P aI(x)dxI — форма степени p, ω C2, x —

|I|=p

локальные координаты на X. Тогда

По свойству 1 эта сумма равна

X

d (daI(x) dxI) ,

|I|=p

а, согласно свойству 2, ее можно переписать как

X

d (daI(x)) dxI − daI(x) d(dxI).

|I|=p

Последнее выражение, в силу справедливости свойства 3 для функций,

P

равно −daI(x) d(dxI).

|I|=p

Итак,

X

d(dω)= −daI(x) d(dxI).

|I|=p

Осталось показать, что d(dxI) = 0. С одной стороны, это следует из определения дифференциала формы. С другой строны, это может быть установлено по индукции с помощью правил внешнего умножения. База индукции:

d(dxi1) := d(1) dxi1 = 0 dxi1 = 0.

Пусть d(dxI[i1]) = 0 (здесь dxI[i1] означает, что i1-й пропущен). Покажем, что d(dxI) = 0.

Действительно,

d(dxI) = d(dxi1 dxI[i1]) = d(dxi1) dxI[i1] − dxi1 d(dxI[i1]),

где первое слагаемое равно 0 как база индукции, а второе равно 0 в силу индуктивного предположения.

3. Корректность определения дифференциала

Свойства 1–3 понадобятся нам для обоснования корректности задания дифференциала относительно перехода к другой локальной карте, т.е. того, что (dωx)y = d(ωy).

Далее мы покажем, что понятие дифференциала корректно определено, т.е. что

d [ω(x)] → [dω] (y) = d [ω(x(y))] .

Это свойство называется инвариантностью формы записи дифференциала, которая выражается в коммутативности операции дифференцирования d и замены переменных при переходе к другой локальной карте.

Для любой степени p > 1 инвариантность доказывается по индукции. Теперь докажем следующее

Предложение 7.1. Определенный выше дифференциал dω формы ω в локальных координатах x = (x1, . . . , xn) есть дифференциальная форма на многообразии X, если X – многообразие класса C1, а ω C1.