2012_Topology / L-KoGom

Это означает, что какое-то разбиение единицы мы уже имеем. Но требуется, чтобы разбиение было подчинено покрытию Ui. Определим теперь

Это и есть искомое семейство функций. В самом деле,

[

supp ψi supp (ψk′) Ui

k:r(k)=i

по построению, а свойство 3) следует из локальной конечности покрытия

{Hk}. Теорема доказана.

Заметим, что для каждого фиксированного k выбирается только однo

Hk Ui, чтобы не посчитать одну функцию дважды при разбиении суммы ряда в сумму порядков ψi. Само Hk может вписаться во много Ui, но мы ему ставим в соответствие определенный i определенным образом. Этот момент говорит о том, что разбиение единицы можно строить по-разному, в зависимости от того, как выбрали отображение r.

4. Теорема Сарда

Пусть X и Y — гладкие многообразия размерностей n и k соответственно. Рассмотрим отображение F : X → Y класса C1.

Определение 3.2. Точка x0 X — регулярная точка отображения F , если в локальных координатах матрица Якоби отображения F имеет в точке x0 максимальный ранг (т.е. min (n, k)). Если точка x0 не является регулярной, она называется критической точкой.

Определение 3.3. Точка y0 Y называется критическим значением

отображения F , если ее прообраз F −l(y0) содержит критическую точку; в противном случае y0 называется регулярным значением.

Определение 3.4. Говорят, что подмножество A в Rn является множеством меры нуль, если ε > 0 его можно погрузить в объединение счетного числа кубов общего объема, не больше, чем ε.

Определение 3.5. Подмножество A многообразия Y имеет меру 0, если существует покрытие многообразия Y счетным множеством карт ϕi :

Ui → Rn, Для которого каждое множество ϕ(X ∩ U) Rn имеет меру

нуль.

Теорема 3.2 (Теорема Сарда). Если отображение F C1 ∩ Cn−k+1, то множество его критических значений имеет меру нуль в Y .

Доказательство теоремы Сарда в приведенной выше общей формулировке не просто, и мы не будем его здесь приводить (см. [Прасолов]).

Рассмотрим случай, когда F C1 и n = k. В этом случае точка x0 X

является критической для отображения F : X → Y , если якобиан ∂(F ) в

∂(x)

точке x0 равен нулю.

Теорема 3.3. Пусть X и Y многообразия размерности n и F : X → Y

— отображение класса C1. Тогда множество критических значений F

имеет меру нуль в Y .

Доказательство. Достаточно рассматривать F на некотором замкнутом кубе C0 в Rn со стороной l. Разобьем этот куб на Nn равных частей (кубиков), поделив каждое ребро на N равных частей. Тогда для любой пары точек x0, x лежащих в одном из кубиков C

поскольку первые производные отображения F равномерно непрерывны в

C0. Если x0 является критической точкой, то det ∂F∂x (x0) = 0 и поэтому образ кубика C содержится в цилиндре, основание которого лежит в

(n−1)-мерной плоскости и имеет площадь 6 c(l/N)(n−1), а высота 6 o(l/N), где c — некоторая положительная константа. Поскольку число кубиков, содержащих критические точки, не больше, чем Nn, то при отображении F

их образы все лежат в некотором множестве, объем которого не превосходит Nno(l/Nn). Устремляя N к ∞, получаем требуемый результат.

Лекция 4 ´

Отображения многообразий, их дифференциалы и касательные пространства

Отображения многообразий. Касательные векторы, касательные пространства и дифференциалы отображений. Касательное расслоение и векторные поля.

1. Отображение многообразий

Определим на многообразии функции так, чтобы это задание было инвариантно относительно преобразования координат при переходе из одной локальной карты в другую.

Пусть X — произвольное вещественное n-мерное многообразие.

Определение 4.1. Говорят, что на многообразии X задана функция f :

X → R, если в каждой окрестности Uα X задана функция

f Uα = fα(xα)

локального параметра x(α) Uα. При этом, если Uα ∩ Uβ ̸= , то

fα(xα) = fβ ◦ ϕαβ(x(α)).

Итак, функция f на n-мерном многообразии в локальных координатах есть функция n действительных переменных, следовательно, локально мы можем определять на X функции разных классов гладкости C. Однако класс гладкости, которому принадлежит функция, определенная глобально, очевидно, зависит от класса гладкости многообразия, т.е. соотношений соседства ϕαβ. Действительно, если какое-либо соотношение соседства не дифференцируемо, то и функция при переходе к локальной карте может оказаться недифференцируемой.

Заметим, что функция — частный случай отображения многообразия

X в Y (когда Y = R). Не трудно обобщить определение 4.1 на случай произвольных отображений.

Отображение многообразий

Пусть X — многообразие размерности n с атласом {Uα, ϕα} и Y —

многообразие размерности m с атласом {Vβ, ψβ}. Рассмотрим отображение многообразий f : X → Y . Оно индуцирует отображение координатных окрестностей Uα и Vβ:

ψβ ◦ f ◦ ϕ−α 1(x) : ϕ−α 1 Uα ∩ f−1(Vβ) Rmx −→ Rny .

Если многообразия X, Y были класса C, а ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : Rnx −→ Rmy для любой координатной окрестности принадлежит классу C′ C, то f C. Т. о. f : X → Y — гладкое отображение, если y = ψ ◦ f ◦ ϕ−1(x) : Rmx → Rny

— отображение класса C∞ для любой координатной окрестности U X. Далее будем рассматривать только гладкие многообразия и их гладкие

отображения.

2. Три определения касательного вектора

Координатное определение касательного вектора. Пусть X — гладкое вещественное многообразие размерности n.

Касательный вектор в точке p X легко определить в локальной системе координат, но при переходе к другой системе координат возникают некоторые трудности. Поэтому используется несколько определений касательного вектора, которые бывают полезны в разных ситуациях.

Одно из наиболее естественных определений таково. Касательный вектор в точке p X — это некий объект, которому в каждой локальной си-

стеме координат (U, ϕ) с началом в точке p (т.е. с условием ϕ(p) = 0 Rnx) соответствует определенный вектор v = (v1, . . . , vn) Rnx; при этом в локальной системе координат (V, ψ) тому же самому касательному вектору соответствует вектор w = (w1, . . . , wn) Rny , где

Здесь (ψ ◦ ϕ−1)i обозначает i-ую координату отображения перехода x → y = (ψ ◦ ϕ−1)(x).

Иными словами, w — образ вектора v под действием матрицы Якоби отображения перехода ψ ◦ϕ−1. Корректность этого определения следует из того, что матрица Якоби композиции двух отображений является произве-

дением матриц Якоби этих отображений.

Основной недостаток этого определения — зависимость от выбора системы координат. Чтобы получить инвариантное определение, можно по-

ступить разными способами.

Касательный вектор как класс эквивалентных кривых. Известно, что

для гладких кривых x = x(t) в пространстве Rn касательный вектор в точке x0 = x(t0) выражается вектором скорости x′(t). Если Rn мыслить как пространство локальных координат карты (U, ϕ) многообразия X, то всякую кривую x(t) можно поднять на X в виде γ(t) = ϕ−1 x(t) .

Для удобства предположим, что x(0) = 0 и что (U, ϕ) — локальная

система координат с началом в точке p X, т.е. что ϕ(p) = 0. В таком случае γ(0) = p.

Касательный вектор в точке p X можно определить как класс эквивалентности гладких кривых γ : R → X, для которых γ(0) = p. Кривые γ1

и γ2 считаются эквивалентными, если для некоторой системы координат

(U, ϕ) с началом в точке p выполняется равенство

При фиксированном j сумму по i в правой части равенства можно интерпретировать как производную по xj сложной функции f ◦ ψ−1 ◦ ψ ◦ ϕ−1 = f ◦ ϕ−1, поэтому получаем

Таким образом, число, сопоставляемое функции f, не зависит от выбора системы координат.

Касательному вектору v в точке p X мы сопоставили линейный оператор v : C∞(X) → R (вместо C∞(X) можно взять C∞(U) где U —

некоторая окрестность точки p, поскольку число v(f) зависит только от поведения функции f в сколь угодно малой окрестности точки p). При этом выполняются следующие свойства:

1)(λv + µw)(f) = λv(f) + µw(f);

2)v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f).

Второе свойство следует из правила Лейбница

∂(fg) = g ∂f + f ∂g . ∂xi ∂xi ∂xi

Свойства 1) и 2) вместе с линейностью оператора v можно взять за определение линейного пространства касательных векторов в точке p X. Но при этом нужно проверить, что не появится "лишних" операторов, т.е. если v : C∞(Rn) → R — линейный оператор, обладающий свойством

v(fg) = f(0)v(g) + g(0)v(f),

то

для некоторого v = (v1, . . . , vn) Rn. Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

50 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Пусть f : X → Y — гладкое отображение гладких многообразий.

Для каждой точки p X отображению f ставится в соответствие ли-

нейный оператор

(df)p : TpX −→ Tf(p)Y

из касательного пространства TpX в касательное пространство Tf(p)Y . Этот оператор называется дифференциалом отображения f или производным отображением для f. Его также обозначают просто df, если понятно, о

какой точке p идет речь.

Опишем это соответствие для каждой из приведенных выше интерпре-

таций касательных векторов.

Пусть касательный вектор v TX задан координатами (v1, . . . , vn), при-

f(γ(t)). А если вектор v задан как линейный оператор на гладких функциях, то вектор df(v) задается как оператор df(v)(g) = v(g ◦ f), где g C∞(Uf(p)).

Условие, что f — иммерсия (субмерсия) в точке p эквивалентно тому, что дифференциал отображения f в точке p — мономорфное (эпиморфное) отображение. В такой форме иногда бывает удобнее проверять, что f —

иммерсия (субмерсия).

4. Касательное расслоение и векторные поля

На множестве

[

TX = TpX

p X

можно ввести структуру многообразия следующим образом. Пусть (U, ϕ)

— локальная система координат на многообразии X. Сопоставим касательному вектору в точке p X пару (ϕ(p), v), где v = (v1, . . . , vn) — координа-