2012_Topology / L-KoGom

3.Когомологии комплексной квадрики

Впредыдущей лекции было показано, что комплексная квадрика

Q = {z Cn : z12 + · · · + Zn2 = 1}

гомотопически эквивалентна вещественной сфере Sn−1. Из совпадения когомологий у гомотопически эквивалентных многообразий вытекает

Теорема 14.2. Когомологии комплексной квадрики:

R, k = 0, n − 1;

Hk(Q)

0, k ̸= 0, n − 1.

Лекция 15 ´

Когомологическая последовательность Майера-Вьеториса

Основной инструмент для вычисления когомологий де Рама — когомологическая последовательность МайераВьеториса. Принцип Майера-Вьеториса. Хорошие покрытия многообразий. Конечномерность когомологий де Рама

1. Когомологическая последовательность Майера-Вьеториса

Введем аппарат, который позволяет вычислять когомологии объединения двух открытых множеств.

Пусть U и V — открытые множества. Оказывается, когомологические группы пространств U, V , X = U V и U ∩ V очень тесно связаны. Эту связь и выражает когомологическая последовательность МайераВьеториса.

`

Обозначим через U V — несвязное объединение U и V , а через ∂0 и

∂1 — вложения U ∩ V в U и в V соответственно. Рассмотрим последовательность вложений

Напомним, что отображение многообразий f : X → Y индуцирует отображение форм f : Cp(Y ) → Cp(X). Следовательно, последовательность (15.1) индуцирует последовательность ограничений форм

где под ограничением формы на многообразие мы понимаем ее образ при отображении, индуцированном вложением.

Беря разность δ = δ0 − δ1, получаем последовательность МайераВьеториса

0 → Cp(X) → Cp(U) Cp(V ) → Cp(U ∩ V ) → 0, p = 0, 1, . . . (15.3)

Здесь форма (ω, t) Cp(U) Cp(V ) отображается в форму t−ω Cp(U ∩V ).

Утверждение 15.1. Последовательность Майера-Вьеториса (15.3)

точна.

Доказательство. Точность в первом члене очевидна. Нужно доказать точность во втором члене, т.е. что отображение Cp(U) Cp(V ) −→ Cp(U ∩ V )

— сюръекция.

Пусть ω — форма степени p на (U ∩ V ). Покажем, что любую форму ω можно представить виде разности форм на U и на V . Используем для этого разбиение единицы {ρU , ρV }, подчиненное открытому покрытию {U, V }. Заметим, что ρV ω является формой на U (чтобы получить форму на одном открытом множестве, мы должны умножать на функцию разбиения, соответствующую другому открытому множеству). Поскольку

(ρU ω) − (−ρV ω) = ω,

для любой ω Cp(U ∩ V ) существет прообраз (−ρV ω, ρU ω) из Cp(U) Cp(V ). Таким образом, гомоморфизм Cp(U) Cp(V ) → Cp(U ∩ V ) сюръек-

(15.5)

Определим кограничный оператор d .

Пусть ω Cp(U ∩ V ) — замкнутая форма. Ввиду точности строк существует ξ Cp(U) Cp(V ), отображающая на ω, а именно ξ = (−ρV ω, ρU ω).

Ввиду коммутативности диаграммы 15.5 и того факта, что dω = 0, форма dξ равна 0 на Cp+1(U ∩ V ), т.е. −d(ρV ω) и d(ρU ω) согласуется на пересечении U ∩ V . Следовательно, dξ является образом элемента из Cp+1(X). Легко видеть, что это элемент замкнут и представляет класс d [ω]. Как отмечалось ранее, можно показать, что класс d [ω] не зависит от произвола в сделанном выборе представителей. В явном виде кограничный оператор задается соотношением

Последовательность (15.5) индуцирует длинную точную последовательность в когомологиях, которая так же называется последовательностью Майера-Вьеториса:

(15.7)

2. Принцип Майера-Вьеториса

Последовательность Майера-Вьеториса соотносит когомологии объединения с когомологиями соответствующих подмножеств. Вместе с леммой о пяти гомоморфизмах это дает метод доказательства, который может быть продолжен индукцией по мощности открытого покрытия. Этот метод называется принципом Майера-Вьеториса.

В качестве демонстрации его мощи и универсальности с его помощью для многообразий с конечными хорошими покрытиями выводится конечномерность когомологии де Рама, двойственность Пуанкаре, формула Кюннета, теорема Лерэ-Хирша и изоморфизм Тома.

Пусть X — многообразие размерности n. Рассмотрим сначала вопрос о существовании хорошего покрытия.

Определение 15.1. Открытое покрытие U = {Uα} многообразия X называется хорошим покрытием, если все непустые конечные пересечения

Uα0 ∩ · · · ∩ Uαp

диффеоморфны пространству Rn. Многообразие, обладающее конечным хорошим покрытием, называется многообразием конечного типа.

Теорема 15.1. Каждое многообразие имеет хорошее покрытие. Если многообразие компактно, покрытие может быть выбрано конечным.

Для доказательства этой теоремы нам понадобятся некоторые сведения из дифференциальной геометрии.

Определение 15.2. Римановой структурой на многообразии X называется гладко меняющаяся метрика , , заданная в каждой точке касательного пространства многообразия X.

В определении 15.2 гладкость понимается в следующем смысле: если u и v — два гладких векторных поля на X, то u, v является гладкой функцией на X.

Всякое многообразие может быть снабжено римановой структурой с помощью следующей процедуры склеивания. Пусть {Uα} — открытое координатное покрытие на X, , α — риманова метрика на Uα и ρα — разби-

P

ение единицы, подчиненное покрытию Uα. Тогда , = ρα , является римановой метрикой на X.

Доказательство теоремы 15.1. Снабдим X римановой структурой. Теперь воспользуемся теоремой из дифференциальной геометрии, утвержда-

116 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

ющей, что каждая точка в римановом многообразии имеет геодезически выпуклую окрестность. Пересечение любых двух таких окрестностей снова геодезически выпукло. Поскольку геодезически выпуклая окрестность в римановом многообразии размерности n диффеоморфна пространству Rn, открытое покрытие, состоящее из геодезически выпуклых окрестностей, будет хорошим покрытием.

Пусть заданы два покрытия

U = {Uα}α I и V = {Vβ}β J .

Определение 15.3. Говорят, что покрытие V является измельчением покрытия U (и пишут U > V), если каждое множество Vβ содержится в некотором множестве Uα.

Для большей аккуратности мы описываем измельчение таким отображением ϕ:

ϕ : J −→ I,

что Vβ Uϕ(β).

С помощью небольшой модификации приведенного доказательства можно показать, что всякое открытое покрытие многообразия обладает измельчением, являющимся хорошим покрытием: достаточно рассмотреть геодезически выпуклые окрестности лежащими внутри открытых множеств заданного покрытия.

Направленным множеством называется множество I, на котором задан частичный порядок >, так что для любых двух элементов a и b из I

найдется такой элемент c, что a > c и b > c. Множество открытых покрытий многообразия является направленным множеством, так как любые два открытых покрытия всегда имеют общее измельчение. Подмножество

J направленного множества I называется кофинальным в I, если для любого i из I найдется такое j в J, что i < j. Ясно, что в таком случае J

также является направленным множеством.

Следствие 15.1. Хорошие покрытия образуют кофинальное подмножество в множестве всех покрытий многообразия X.

Предложение 15.1. Если многообразие X обладает конечным хорошим покрытием, его когомологий конечномерны.

Доказательство. Из последовательности Майера-Вьеториса

имеем

Hq(U V ) ker r im r im d im r.

Таким образом, если q-e когомологий множеств U, V и U ∩ V конечномерны, таковыми же являются когомологий множества U V .

Для многообразия, диффеоморфного пространству Rn, конечномерность

H (X) следует из леммы Пуанкаре. Теперь воспользуемся индукцией по мощности хорошего покрытия. Предположим, что когомологий любого многообразия, имеющего хорошее покрытие из не более чем p открытых множеств, конечномерны. Рассмотрим многообразие, имеющее хорошее покрытие {U0, . . . , Up}, состоящее из (p + 1) открытого множества. Многообразие (U0 · · · Up−1)∩Up обладает хорошим покрытием, состоящим из p открытых множеств, а именно {U0p, U1p, . . . , Up−1,p}. Согласно предположению индукции, q-е когомологии множеств U0 · · · Up−1, Up и (U0 · · · Up−1)∩Up конечномерны. Ввиду сделанного выше замечания о конечномерности когомологий объединения, таковыми же являются q-e когомологий множества

U0 · · · Up. Это завершает доказательство шага индукции.

Часть II

Другие типы когомологий. Некоторые методы вычисления кратных интегралов

Тема 5. Когомологии Чеха и теоремы де Рама

Лекция 16 ´

Когомологии Чеха

Коцепи с вещественными значениями, комплекс Чеха, когомологии Чеха. Хорошие покрытия. Формулировка теоремы де Рама. Начало доказательства теоремы де Рама: введение коцепей со значениями в пространствах дифференциальных форм; точность соответствующего комплекса.

1. Когомологии Чеха со значениями в R

Подход Чеха в теории гомологий и когомологий основан на альтернативе открытых покрытий многообразий, взамен их триангуляций, связанных с симплициальными гомологиями. Итак, пусть U = {Uα}α A —

открытое покрытие многообразия X. Обозначим через Uα0...αp пересечения

Uα0 ∩ · · · ∩ Uαp ровно (p + 1) элементов покрытия.

Определение 16.1. p-коцепью относительно покрытия U называют всякую функцию, которая присваивает каждому Uα0...αp определенное число из R.

Иными словами, p-коцепь — это набор ω вещественных чисел {ωα0...αp}, где (α0 . . . αp) пробегает декартову степень Ap+1. Будем предполагать, что этот набор альтернированным образом зависит от порядка индексов

α0, . . . , αp, т.е. умножается на ±1 в зависимости от четности перестановки этих индексов.

Заметим, что p-коцепи можно складывать:

ω + ϕ = {ωα0...αp + ϕα0...αp}.

Относительно этой операции они образуют группу, которая называется

группой p-коцепей относительно покрытия U и обозначается CP (U) =

Cp(U, R).

Определим оператор

δ : Cp(U) → Cp+1(U),

который называется кограничным оператором Чеха, по формулам

Далее мы покажем, что δ2 = 0, т.е. что δ определяет комплекс. Поэтому определена p-мерная группа когомологий Чеха для покрытия U:

Hp(U, R) = Zp(U, R)/Bp(U, R),

где Zp и Bp — это, соответственно, ядро и образ оператора δ. Предел таких групп по возможным измельчениям покрытия U называется p-мерной группой когомологий Чеха многообразия X и обозначается

Hp(X, R) или HCHp (X).

2. Коцепи со значениями в пространстве дифференциальных форм

Пусть U = {Uα}α A, где A — счетное упорядоченное множество индексов, есть открытое покрытие n-мерного гладкого многообразия X.

Введем некоторые обозначения. Пусть

Uα0...αp := Uα0 ∩ · · · ∩ Uαp,

Оозначим через E q(Uα0...αp) пространство C∞-дифференциальных форм степени q на пересечениях Uα0...αp, а через Cp, q(U, E ) (или Cp(U, E q)) — прямое произведение

Y

E q(Uα0...αp).

α0<···<αp