2012_Topology / L-KoGom

2. Гомотопическая эквивалентность Rn и Sn−1

Предложение 13.2. Пространство Rn := Rn \{0} гомотопически эквивалентно (n − 1)-мерной сфере Sn−1 = {x Rn : x = 1}.

Доказательство. Рассмотрим отображения:

f : Rn → Sn−1 и g : Sn−1 → Rn,

Покажем, что последнее отображение гомотопически эквивалентно 1Rn. Действительно, указанную гомотопию осуществляет отображение

F : Rn × [0, 1] → Rn,

такое, что

x F (x, t) = tx + (1 − t) x .

Предложение 13.3 (следствие из теоремы 12.2). Если многообразия X и Y гомотопически эквивалентны, то

HDRk (X) HDRk (Y ), k = 0, 1, 2, . . .

Доказательство. По условию существуют отображения f : X → Y и g : Y → X, такие, что

f ◦ g 1Y и g ◦ f 1X.

По доказанной теореме 12.2,

g ◦ f = (f ◦ g) = 1Hk(Y )

102 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

и, аналогично,

f ◦ g = (g ◦ f) = 1Hk(X).

Таким образом, f и g являются взаимно обратными друг к другу, следовательно, каждый из них индуцирует изоморфизм HDRk (X) HDRk (Y ).

Замечание 13.1. Из этого утверждения и гомотопической эквивалентности звездной области и точки, как следствие, получается теорема Пуанкаре, а из гомотопической эквивалентности сферы и проколотого евклидова пространства следует, что HDRk (Rn) HDRk (Sn−1), k = 0, 1, 2, . . .

3. Гомотопическая эквивалентность сферы и комплексной квадрики

Комплексная квадрика задается уравнением

Это множество не является компактным, оно даже не ограничено. В действительных координатах

zj = uj + ivj, j = 1, . . . , n

p

где u = u21 + · · · + u2n, а u, v — скалярное произведение.

1) Покажем, что Q диффеоморфна множеству Qe, где

Qe = {(x, y) R2n : x = 1, x, y = 0}.

Напомним, что диффеоморфизм означает, что существует гладкое взаимно однозначное отображение f : Q → Qe, обратное к которому также является гладким отображением.

Определим f(x, y) = (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) по правилу:

(u, v) = f(x, y) = x1 · 1 + y 2 1/2, . . . , xn · 1 + y 2 1/2, y1, . . . , yn ,

где (u, v) = (u1, . . . , un, v1, . . . , vn).

Легко проверить, что отображение f−1 осуществляется по правилу

Ясно, что f−1 : Q → Qe — диффеоморфизм.

2) Докажем, что многообразие Qe гомотопически эквивалентно Sn−1. Для этого необходимо определить гладкие отображения f : Qe → Sn−1

и g : Sn−1 → Qe, композиции которых гомотопны тождественным отображениям на Qe и Sn−1.

Пусть f — проекция,

f(x, y) = (x), где x = (x1, . . . , xn),

y = (y1, . . . , yn), а g — вложение, осуществляемое по правилу g(x) = (x, 0). Тогда

(f ◦ g)(x) = f(x) ≡ 1Sn−1; (g ◦ f)(x, y) = g(x) = (x, 0).

Осталось показать, что композиция (g◦f) гомотопна тождественному отображению на Q.

e

Итак, мы доказали, что Q диффеоморфна Qe, а Qe гомтопически эквивалентна Sn−1, откуда следует, что n-мерная комплексная квадрика гомотопически эквивалентна (n − 1)-мерной вещественной сфере.

Замечание 13.2. Заметим, что множество Qe можно интерпретировать как касательное расслоение над сферой Sn−1. Например, в случае n = 2 множество Qe можно трактовать как касательное расслоение (цилиндр) с базой окружностью и слоем — прямой.

Выше мы показали, что комплексная квадрика диффеоморфна касательному расслоению Qe над сферой Sn−1 и гомотопически эквивалентна самой сфере Sn−1 .

Справедлив следующий общий факт: любое векторное расслоение над базой M гомотопически эквивалентно базе M.

Лекция 14 ´

Когомологии сферы

Когомологии окружности. Когомологии и n-мерной сферы

для n > 2.

1. Еще один способ вычисления когомологий окружности S1

Полученные в предыдущих лекциях факты два факта (лемма Пуанкаре и теорема о совпадении групп когомологий у гомотопически эквивалентных многообразий) не дают нам способов вычисления групп когомологий уже для простейших многообразий, не являющихся областями в Rn, т.е. для которых нет единых локальных координат. Такими простейшими многообразиями являются окружность S1 и сфера Sn, n > 2.

В лекциях уже приводился способ вычисления когомологий окружности, в котором мы существенно пользовались существованием единого параметра ϕ на S1. Для более сложных многообразий это уже более затруднительно или невозможно. Поэтому вычислим когомологии окружности другим способом, путем ее покрытия двумя координатными окрестностями.

Представим S1 как объединение U V , где U = Sn \ {N}, а V =

Sn \ {S}. Каждое U и V гомеоморфно интервалу в R1, следовательно, все их когомологии, кроме H0(U) = H0(V ) R в силу леммы Пуанкаре тривиальны.

Нас интересует H1(S1). Поскольку H1(U) = H1(U) 0, имеем

dϕU на U

ω =

dϕV на V .

Функции ϕU и ϕV не склеиваются до единой гладкой функции. На пересечении U ∩ V они ведут себя плохо, в противном случае на окружности

существовала бы точная форма ω и H1(S1) была бы тривиальна, что, конечно, неверно.

Рассмотрим разность ϕ = ϕU −ϕV и заметим, что на пересечении U ∩V

dϕ = d(ϕU − ϕV ) = 0

в силу того, что dϕU = dϕV = ω. Таким образом,

ω−→ ϕ Z0(U ∩ V ).

Если взять другую форму ω, ей когомологичную, то при этом сопоставлении тоже получится форма, ей когомологичная. В частности, если ω = dϕ

— точная форма, то

ω−→ 0 Z0(U ∩ V ).

Таким образом, корректно определено отображение групп когомологий

H1(S1) −→ H0(U ∩ V ).

Это отображение не является изоморфизмом. Чтобы изучить его подробнее, используем разбиение единицы, подчиненное покрытию (U, V ).

Функция ϕ — локально постоянная, поскольку пересечение U ∩ V состоит из двух несвязных компонент, она может быть равной константе c1

на одной из компонент и c2 ̸= c1 — на другой. Таким образом, исходной форме ω мы поставили в соответствие точку (c1, c2) R2. Это соответствие не однозначное, поскольку любые две первообразные на множествах U и V отличаются на константу. Поэтому, на самом деле, форме ω ставится в соответствие множество чисел вида (c1 + t, c2 + t), t R. В частности, всем глобально точным формам ω = dψ ставится в соответствие диагональ (t, t) R. Ясно, что фактору Z1(S1)/B1(S1) ставится в соответствие множество прямых в R2, параллельных (t, t).

Докажем теперь, что для каждой пары (c1, c2) существует на окружности форма ω степени 1, такая, что ω → (c1, c2).

Лемма 14.1. Для любой c = (c1, c2) R существует ω Z1(S1), такая, что ω → c.

Доказательство. Пусть ρU , ρV — гладкое (класса C∞) разбиение единицы, подчиненное покрытию окружности (U, V ), тогда функции c · ρU , c · ρV

также гладкие и определены на всей S1.

Рассмотрим две дифференциальные формы:

ωV = d(c · ρU ), ωU = −d(c · ρV ).

Функция c·ρU гладкая в V , следовательно ωV C∞(V ), аналогично, функция c · ρV гладкая в U, и значит ωU C∞(U).

На пересечении U ∩ V эти функции совпадают:

ωV − ωU = d(c · ρU ) − d(−c · ρV ) = d(ρU + ρV ) · c = dc = 0.

Таким образом, пара дифференциальных форм (ωU , ωV ) составляют единую дифференциальную форму ω, поскольку ω = d(c ·ρU ) и ω = −d(c ·ρV ) соответственно на U и на V , и при указанном соответствии ω сопоставляется разность c · ρU − (−c · ρV ) = c на U ∩ V . Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между H1(S1)

и фактором R2 по диагонали (t1, t2). Ясно, что этот фактор изоморфен R. Таким образом, H1(S1) R.

2. Когомологии сферы Sn

Все сферы Sn — это простейшие многообразия, в том смысле, что они не вкладываются в Rn и покрываются всего двумя областями, диффеморфными Rn. Это позволяет применить для вычисления когомологий сферы произвольной размерности метод рассуждения, примененный выше для окружности.

Теорема 14.1. Когомологии сферы:

H0(Sn) Hn(Sn) R

Hp(Sn) 0, p ̸= 0, n.

Доказательство. Представим сферу Sn как объединение двух открытых множеств U V , где

U = Sn \ {N} и V = Sn \ {S}.

108 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆

Очевидно, U, V гомеоморфны Rn, а их пересечение U ∩ V гомеоморфно

Rn \ {0}.

Поскольку по определению d ϕ локально точна, то она замкнута: d ϕ Zp(Sn). Покажем, что если ϕ точна в U ∩V , то d ϕ точна в Sn, тем самым, гомоморфизм 14.1 будет обоснован. Пусть ϕ = dψ, ψ Ωp−2(U ∩ V ).

Лемма 14.2. Оператор d имеет следующие свойства:

a) d − инъекция, если p > 2; b) d − сюръекция, если p > 1.

Доказательство. a) Пусть d ϕ — точная форма на Sn. Докажем, что и ϕ точна (при p > 2).

Итак, пусть d ϕ = dϕ1, где ϕ1 Ωp−1(Sn). По определению d имеем

d(ρU ϕ − ϕ1) = 0 на V, d(−ρV ϕ − ϕ1) = 0 на U.

Но т.к. U и V гомеоморфны Rn, то по лемме Пуанкаре при p − 1 > 1

(т.е. при p > 2) замкнутые формы ρU ϕ − ϕ1 и ρV ϕ + ϕ1 точны на V и U

соответственно:

Складывая эти равенства на U ∩ V , получим

(ρU + ρV )ϕ = d(ψV + ψU ) или ϕ = d(ψV + ψU ),

т.е. что ϕ точна в U ∩ V .

b)Пусть p > 1. Рассмотрим произвольную форму

ωZp(Sn) = Zp(U V ).

Т.к. U и V гомеоморфны Rn, то при p > 1 форма ω точна в U и V :

Форма ϕ := ϕV − ϕU замкнута в U ∩ V . Покажем, что [d ϕ] = [ω], т.е.

мы на U V = Sn.

Итак, по доказанному утверждению гомоморфизм 14.1 является изоморфизмом при p > 2.

Теперь уже легко доказать теорему. Для p > 2 имеем

Hp(Sn) Hp−1(U ∩ V ) Hp−1(Rn \ {0}) Hp−1(Sn−1).

Следовательно, для 2 6 p 6 n

Hp(Sn) Hp−1(Sn−1) · · · Hp−1(Sn−p+1).

Если p = n, то получаем Hn(Sn) H1(S1) R.

Если 2 6 p < n, то Hp(Sn) H1(Sk), k > 2.

Докажем, что

H1(Sk) 0, k > 2.

В самом деле, пусть ω Z1(Sk) и Sk = U V . Имеем ω = dF1 в U, ω = dF2 в V . Но в U ∩ V имеем F1 − F2 = const, следовательно функция

F2 = F1 + const — гладкая всюду на Sk, так что ω = dF2 —точная форма. Итак, H1(Sn) 0 если n > 2 и Hp(Sn) 0, если 1 6 p 6 n.

Теорема доказана.