Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
.pdfВычислим координаты xc, yc центра тяжести С всего сечения по (2.6).
|
x |
F1x1 F2 x2 |
|
49,8 6,25 0 |
3,46см, |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
C |
F1 F2 |
|
|
49,8 40,2 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
y |
F1 y1 |
F2 y2 |
|
|
49,8 16,49 0 |
9,12 см. |
||||
|
|
|
|
|||||||
C |
|
|
F1 |
F2 |
|
|
49,8 40,2 |
|||
|
|
|
|
|
Получаем координаты центра тяжести сечения: С(xс; yс) = С(3,46; 9,12). Поставим эту точку на чертѐж сечения и проведѐм центральные оси (xc, yc) всего сечения (рис. 2.5).
|
20 |
|
|
1 |
|
y2 |
yc |
y1 |
|
|
3,46 |
|
6,71 |
υ,min |
|
|
|
c1 |
12,5 |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
c |
|
|
xc |
|
13,5 |
|
|
|
|
|
o |
αo =-23 25' |
|
|
|
|
||
|
9,12 |
|
α |
|
27 |
|
|
|
u,max |
c2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
||
|
6,25 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
12,5 |
|
|
|
|
|
|
|
с1 (6,25;16,49) |
|
Рис. 2,5 |
Рис. 2.5 |
с2 (0;0) |
|
|
|
|
с3 (3,46;9,12) |
|
|
|
|
|
71
3. Вычисление центральных моментов инерции |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Центральные моменты инерции Ixс, Iyс, Ixсyс |
относительно центральных |
||||||||||||||||
осей (xc, yc) запишем по (2.2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
Fi |
|
2 |
F1 |
Ix 2 |
|
2 |
F2 , |
|
||
|
|
|
Ixc Ixi ai |
Ix1 a1 |
a2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Fi |
|
|
2 |
F1 |
I y 2 |
|
2 |
F2 , |
|
|
|
|
|
I yc I yi bi |
I y1 b1 |
b2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
xcyc |
|
I |
xiyi |
a b F |
I |
x1y1 |
a b F I |
x 2 y 2 |
a |
2 |
b F . |
|||||
|
|
|
|
i i |
i |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 2 |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ai и bi – расстояния между центральными осям i-го элемента и всего сечения, которые вычислим по (2.7) как ai = yi - yC, bi = xi - xC (рис. 2.5, б):
a1 y1 yc 16,49 9,12 7,37 см, |
b1 x1 xc |
6,25 3,46 2,79 см. |
a2 y2 yc 0 9,12 9,12 см, |
b2 x2 xc |
0 3,46 3,46 см, |
Тогда центральный момент инерции всего сечения I xc относительно оси xс получает значение:
I xc = 617 7,372 49,8 5010 ( 9,12)2 40, 2 11676 см4.
Значение центрального момента инерции всего сечения Iyс относительно оси yс равно:
Iyс = 2026 2,792 49,8 260 3,46 2 40,2 3155 см4.
Значение центробежного момента инерции Ixсyс:
Ixсyс = 2775 7,37 2,79 49,8 0 ( 9,12) ( 3,46) 40,2 5068см4.
4. Определение положения главных осей и значений главных моментов инерции
Найдем положение главных осей, используя формулу (2.4):
tg2α0 |
2 I xcyc |
= |
2 5068 |
|
1,19 . |
||
I xc I yc |
11676 |
3155 |
|||||
|
|
|
|||||
Отсюда угол наклона |
главных осей α0 |
=-23,250. Угол получен |
отрицательным, поэтому главные оси (u, v) покажем поворотом центральных осей (xс, yс) на угол 23,250 по часовой стрелке (причѐм ось u всегда наклонена к оси x под углом α0). Нанесѐм главные оси (u, v) на сечение (рис. 2.5).
72
Главные моменты инерции по (2.5) равны
I |
u |
|
I |
max |
|
|
I |
xc |
I |
y c |
|
I |
xc |
I |
y c |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
I 2 xcy c |
|
||||||
|
Imin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Iv |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
11676 3155 |
|
|
11676 3155 |
2 |
|
2 |
|
|
|
14036 |
|
4 |
|
|
|
|
|
14036,5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5068 |
|
|
|
|
|
|
cм . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
794,5 |
|
795 |
|
|
Моменты инерции Iu, Iv − это экстремальные моменты, т. е. один из них
– Imax, другой – Imin. Сумма моментов инерции относительно всех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через данную точку, есть величина постоянная:
Iu + Iv=Imax + Imin=14036+795= Ixc + Iyc=11676+3155=14831 cм4.
И так, получаем Imax =14036см4, Imin =795см4.
Окончательным пунктом вычисления геометрических характеристик является назначение оси максимальных Imax и оси минимальных моментов Imin инерции, что очень важно для рационального расположения сечения по отношению к плоскости нагрузки. Установить назначение этих осей можно после получения значений Imax, Imin и угла αo. Существует правило: ось максимальных моментов инерции Imax наклонена под меньшим углом к той оси (оси xc, или оси yc), относительно которой момент инерции имел наибольшее значение (это Ixс или Iyс).
В нашем случае Ixс=11676см4 > Iyс=3155см4, тогда
Imax=Iu=14036см4, Imin=Iv=795см4,
поэтому подписываем ось u как ось максимальных моментов инерции I max – ось max, а ось v как ось минимальных Imin – ось min.
2-й вариант схемы: сечение из 3-х элементов.
Рассмотрим вычисление главных моментов инерции и определение положения главных осей для несимметричного сечения, составленного из двутавра, швеллера и уголка (рис. 2.6). Сечение состоит из 3-х профилей (говорим: из 3-х элементов): двутавра №16, швеллера №14 и уголка №5/3,2. При вычислении выполняем все пункты, указанные выше.
1. Выполнение чертежа сечения
73
Присвоим индексы элементам сечения: i=1, 2, 3. Габаритные размеры, расстояния до центров тяжести, площадь и моменты инерции выбираем для двутавра из ГОСТ 8239-89, для швеллера – из ГОСТ 8240-93, для уголка – из ГОСТ 8510-97 (см. табл. 4, 5, 7 Прил.). Пользуясь таблицами, запишем следующие значения в собственных осях элементов.
Для 1-го элемента (двутавра № 16) высота h=16см, ширина полки b=8,1см; площадь F1=20,2см2, осевые и центробежный моменты инерции Ix1=873см4, Iy1=58,6см4 и запишем, учитывая симметрию двутавра, Ix1y1=0.
Для 2-го элемента (швеллера № 14) высота h= 14см, ширина полки b=5,8см, расстояние до центральной оси z0=1,67см; площадь F2=15,6см2, осевые и центробежный моменты инерции Ix2=51,5см4, Iy2=493см4 и, как результат симметрии швелллера, Ix2y2=0.
Для 3-го элемента (уголка № 5/3,2) ширина полок B=5см, b=3,2см, расстояния до центральных осей x0=0,76см, y0=1,65см; площадь F3=3,17см2, осевые и центробежный моменты инерции Ix3=7,98см4, Iy3=2,56см4 и Ix3y3=2,59см4. Необходимо помнить, что знак центробежного момента инерции Ixy уголка зависит от расположения его в сечении и направления собственных осей (знак может быть и положительным, и отрицательным). Для этого знака составлена табл. 8 Приложения. В нашем случае будет знак ‹+›.
На чертѐже всего сечения, выполненном в масштабе, ставим габаритные размеры (рис. 2.6), наносим центры тяжести Сi профилей, через которые проведѐм собственные оси элементов. На чертѐже показаны собственные оси всех 3-х элементов сечения.
2. Определение положения центра тяжести
Исходя из удобства, выберем исходные оси (x, y) и укажем в этих осях координаты xi, yi центров тяжести (т. е. точек Сi) всех профилей:
C1(x1, y1)=C1(4,05; 8), C2(x2, y2)=C2(7; 1,8), C3(x3, y3)=C3(13,24; 1,65).
Определим координаты xc, yc центра тяжести (точки С) всего сечения по (2. .), используя здесь и далее для сокращения записи матричную форму, более удобную при i>2:
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
20,2 |
|
|
|
|
|
(x , x |
, x ) |
F |
|
|
(4,05; 7,0; 13,24 ) |
15,6 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,17 |
|
|
|
xc |
|
|
|
|
F3 |
|
|
|
|
5,97 |
см, |
|
|
F1 |
+F2 F |
|
20,2 15,6 3,17 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
74
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.6 |
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
20,2 |
|
|
|
(y , y |
, y |
) F |
|
|
( 8,0; -1,8; 1,65) |
15,6 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,17 |
|
|
yc |
|
|
|
F3 |
|
|
|
|
3,56 см. |
|
F1 +F2 |
F |
|
20,2+15,6 3,17 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Получаем координаты точки С: |
|
|
|
С(xс; yс)=С(5,97; 3,56).
Поставим эту точку на чертѐж сечения и проведѐм центральные оси (xc, yc) всего сечения.
75
3. Вычисление центральных моментов инерции
Далее нужно вычислить в осях (xc, yc) центральные моменты инерции Ixс, Iyс, Ixсyс. Вычисление выполняем по (2.2.), записывая в матричной форме,
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
873 |
|
|
|
|
|
20,2 |
|
|
|
|
x1 |
|
+(а1 |
2 |
2 |
; a3 |
2 |
|
1 |
|
|
51,5 |
|
2 |
2 |
2 |
|
15,6 |
|
4 |
Ixс= |
I x 2 |
|
|
; a2 |
|
)· F2 |
|
= |
|
+(4,34 |
;(-5,36) ; 1,91 |
|
) |
|
=1790,4см , |
||||||
|
I x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
F3 |
|
|
7,98 |
|
|
|
|
|
3,17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где по (2.7) аi = (yi) - yc =
|
8,0 |
|
|
4,34 |
|
= |
1,8 |
- 3,56= |
5,36 |
см; |
|
|
1,65 |
|
|
1,91 |
|
|
|
|
|
|
I y1 |
|
F1 |
|
|
58,6 |
|
Iyс = I y 2 |
|
+(b12; b22; b32) F2 |
|
= |
493 |
+ (-1,922; 1,032; |
|
|
I y 3 |
|
|
|
|
2,56 |
|
|
|
F3 |
|
|
|
20,2 7,272) 15,6 =812,7см4,
3,17
|
4,05 |
|
-1,92 |
|
где по (2.7) (bi) = (xi) - xc = |
7,0 |
|
- 5,97= 1,03 |
см; |
|
|
|
|
|
13,24 |
|
7,27 |
|
|
|
I x1 y1 |
|
F1 |
|
|
|
Ixсyс= |
I |
x 2 y 2 |
|
+ (а1b1; a2b2; а3b3 ) F |
|
= |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
I x 3 y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F3 |
|
|
76
|
|
0,0 |
|
|
20,2 |
|
|
= |
|
0,0 |
|
+ (-1,92 4,34; 1,03 (-5,36); 7,27 (-1,91)) |
15,6 |
|
-299,8cм4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,59 |
|
|
3,17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Определение положения главных осей и значений главных моментов инерции
Найдѐм угол αo наклона главных осей, используя формулу (2.4):
tg(2α |
|
)= |
|
2( 299,8) |
0,63 . |
||
0 |
|
|
|
||||
1790,4 |
812,72 |
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Отсюда угол αo наклона главных осей αo =15,760. Угол получен положительным, поэтому главные оси (u, v) покажем поворотом центральных осей (xс, yс) на угол 15,80 против часовой стрелки (причѐм ось u всегда наклонена к оси x под углом αo). Нанесѐм главные оси (u, v) на сечение.
Главные моменты инерции определяем по (2.5).
Iu |
Imax |
|
I |
xc |
I |
yc |
|
I |
xc |
I |
y c |
2 |
|
|||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
I 2 xcy c = |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Iv |
|
Imin |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1790,4 812,7 |
|
|
1790,4 812,7 |
2 |
299,75 |
2 |
1875 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
728 |
cм . |
||
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Моменты инерции Iu, Iv − это экстремальные моменты, т. е. один из них – Imax, другой – Imin , а сумма моментов инерции относительно всех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через данную точку, есть величина постоянная:
Iu+Iv=Imax+Imin=1875+ 728= Ixc I y ñ =1790,4+812,7=2603см4.
Получаем Imax =1875см4, Imin = 728 см4.
Окончательным пунктом вычисления геометрических характеристик является назначение оси максимальных Imax и оси минимальных моментов Imin инерции, что очень важно для рационального расположения сечения по отношению к плоскости нагрузки. Установить назначение этих осей можно после получения значений Imax, Imin и угла α0. Используем правило: ось максимальных моментов инерции Imax наклонена под меньшим углом к той
77
оси (оси xc, или оси yc), относительно которой момент инерции имел наибольшее значение (это Ixс или Iyс).
В нашем случае Ixс=1790,4см4 > Iyс=812,7см4, тогда
Imax=Iu=1875см4, Imin=Iv= 728см4,
поэтому подписываем ось u как ось максимальных моментов инерции Imax – ось max, а ось v как ось минимальных Imin – ось min.
Задача 11. Вычисление геометрических характеристик несимметричных сечений из простых фигур
Дана схема сечения (рис. 2.7, а), составленного из 2-х простых фигур: прямоугольника а 4а, т. е. высотой а и шириной 4а, и четверти круга радиуса r=1,7а. Значение отрезка a равно a=3 мм.
Решение:
1. Выполнение чертежа сечения
Используя заданное значение a =3см, найдѐм высоту прямоугольника как h=3см, ширину прямоугольника b=12см, и радиус четверти круга r=5см.
Выполним чертѐж сечения и проставим числовые размеры фигур (рис. 2.7, б). Сечение состоит из 2-х элементов: прямоугольника и четверти круга. Присвоим им индексы i=1, 2, укажем их на чертеже сечения.
2. Определение положения центра тяжести всего сечения
Найдем положение центра тяжести всего сечения, взяв вспомогательные координатные оси (х, у). Для удобства вычислений оси х и у проведены так, что они совпадают с основаниями четверти круга.
Укажем координаты хi и уi центров тяжести каждого элемента сечения относительно осей хоу (рис. 2.7, б):
C1( х1; у1) = C1 (-1; -1,5) , C2 (х2; у2) = C2 (2,12; 2,12).
Определим координаты xc, yc центра тяжести (точки С) всего сечения по (2.6).
|
|
|
x |
F1x1 F2 x2 |
|
36 ( 1) 19,6 2,12 |
0,1см, |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
C |
F1 F2 |
|
36 19,6 |
||||
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
F1 y1 |
F2 y2 |
|
36 ( 1,5) 19,6 2,12 |
0,22см. |
|||
C |
|
|
|
|||||||
|
|
F1 |
F2 |
|
36 19,6 |
|||||
|
|
|
|
78
а ─ Заданная схема |
б ─ чертѐж составного сечения |
сечения |
|
в ─ 1-й элемент сечения |
г ─ 2-й элемент сечения |
Рис. 2.7
Получаем координаты центра тяжести (точки С) всего сечения:
С(xс; yс)= =С(0,1; -0,22).
Поставим эту точку на чертѐж сечения и проведѐм центральные оси (xc, yc) всего сечения.
3. Вычисление центральных моментов инерции
В начале найдѐм геометрические характеристики элементов: центральные оси, площадь, осевые и центробежный моменты инерции. Для удобства изобразим отдельно элементы (рис. 2.7, в), нанесѐм центры тяжести каждого как Сi (см. табл. 10 Прил.). Для прямоугольника центр тяжести С1 расположен на расстоянии h/2 =1,5см и b/2=6см от его сторон, а для четверти круга удалѐн от оснований на 0,424·r=0,424·5=2,12см. Через точки Сi проведѐм собственные оси каждого элемента (xi, yi).
Площади и моменты инерции элементов (осевые Ixi, Iyi и центробежный Ixiyi) относительно собственных осей элементов (xi, yi), подсчитаем по известным формулам, которые можно найти в справочниках или взять из табл. 10 Приложения.
79
Для 1-го элемента (прямоугольника): площадь F1=12∙3=36 см2; моменты инерции относительно своих центральных осей: осевые
|
|
b h3 |
|
12 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
h |
|
123 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ix1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 см4 , |
|
I y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
432 см4, |
|||||||||
|
12 |
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
центробежный момент инерции в силу симметрии Ix1 y1 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Для 2-го элемента (четверти круга): площадь F |
r2 |
|
5 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
19,6 см2; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
моменты инерции относительно своих центральных осей |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ix1 I y1 |
0,0549 r4 |
0,0549 54 34,3 см4, |
|
|||||||||||||||||||
центробежный момент инерции согласно с табл. 8 Прил. запишем со |
|||||||||||||||||||||||||||||||
знаком «-»: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ix1 y1 -0,0165 r4 |
-0,0165 54 |
10,29 см4. |
|
|||||||||||||||||||
Центральные моменты инерции Ixс, Iyс, Ixсyс |
всего сечения вычислим в |
||||||||||||||||||||||||||||||
осях (xc, yc) по (2.2.) как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I |
xc |
|
|
|
I |
xi |
a2 F , |
I |
yc |
|
|
I |
yi |
b2 F |
|
, |
I |
xcyc |
|
|
I |
xiyi |
a b F , |
||||||||
|
|
|
|
i i |
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i i i |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
где ai и bi – расстояния между |
центральными осям i-го элемента и всего |
||
сечения по (2.7) равны ai = yi - yC, |
bi = xi - xC : |
|
|
a1 y1 yc |
1,5 ( 0,22) 1,28 см, |
b1 x1 xc 1 0,1 1,1см, |
|
a2 y2 yc |
2,12 ( 0,22) 2,34 см, |
b2 x2 xc 2,12 0,1 2,02 см. |
Центральный момент инерции всего сечения относительно оси xС принимает значение:
I |
xc |
I |
x1 |
a2 |
F I |
x 2 |
a2 |
F |
= |
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
27 ( 1,282 36 34,4 2,342 19,6 227,7 см4.
Вычислим центральный момент инерции всего сечения относительно оси yс:
I |
yc |
I |
y1 |
b2 |
F I |
y 2 |
b2 |
F |
= |
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
432 ( 1,1)2 36 34,4 2,022 19,6 590 см4.
80