1. Неопределенный интеграл

Поскольку сейчас речь пойдет только о неопределенном интеграле, то для сокращения термин «неопределенный» будем опускать.

Для того чтобы научиться вычислять интегралы (или, как говорят, интегрировать функции), нужно, прежде всего, выучить таблицу интегралов:

Таблица1. Таблица интегралов

1. . 2. (), u>0. 2a. (α=0); 2б. (α=1); 2в. (α=). 3. 3а. 4. 5. 5а) 6. 6а. 7. 7а.

8. 9. 10. 10а. 11. 11а. 12. 13. 13а.

Кроме того, потребуется умение вычислять производную от заданной функции, а значит, нужно вспомнить правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций:

Таблица 2. Таблица производных и правила дифференцирования:

( с) = 0 (cu) = cu ( u + v ) = u + v ( u - v ) = u - v ( u v) = uv + uv 6.а.

(sin и) = cos и  и (cos u) = – sin и и

А еще нам потребуется умение находить дифференциал функции. Напомним, что дифференциал функции находят по формуле , т.е. дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал её аргумента. Полезно держать в памяти и следующие известные соотношения:

Таблица 3. Таблица дифференциалов

1. (b=Const) 2. () 3. 4. 5. (b=Const) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

Причем использовать эти формулы можно, как читая их слева направо, так и справа налево.

Рассмотрим последовательно три основных приема вычисления интеграла. Первый из них называют методом непосредственного интегрирования. Он основан на использовании свойств неопределенного интеграла, включает два основных приема: разложение интеграла на алгебраическую сумму более простых и подведение под знак дифференциала, причем эти приемы могут быть использованы как самостоятельно, так и в совокупности.

А) Рассмотрим разложение на алгебраическую сумму – этот прием предполагает использование тождественных преобразований подынтегральной функции и свойств линейности неопределенного интеграла: и .

Пример 1. Найти интегралы:

а); б) ;

в) г)

д) .

Решение.

а) Преобразуем подынтегральную функцию, разделив почленно числитель на знаменатель:

.

Здесь использовано свойство степеней: .

б) Сначала преобразуем числитель дроби, затем разделим почленно числитель на знаменатель:

.

Здесь также использовано свойство степеней: .

в)

.

г)

.

Здесь использовано свойство: , .

д)

.

Здесь использованы формулы 2 и 5 таблицы 1.

Пример 2. Найти интегралы:

а) ; б) ;

в) г)

д) .

Решение.

а) Преобразуем подынтегральную функцию, используя тригонометрическое тождество :

.

Здесь вновь использовано почленное деление числителя на знаменатель и формулы 8 и 9 таблицы 1.

б) Аналогично преобразуем, используя тождество :

.

в) Сначала разделим почленно числитель на знаменатель и вынесем за знак интеграла константы, затем используем тригонометрическое тождество :

.

г) Применим формулу понижения степени:

,

Получим:

.

д) Используя тригонометрические тождества, преобразуем:

.

.

Б) Рассмотрим прием интегрирования, который называют подведением под знак дифференциала. В основе этого приема лежит свойство инвариантности неопределенного интеграла:

если , то для любой дифференцируемой функции и = и(х) имеет место: .

Это свойство позволяет значительно расширить таблицу простейших интегралов, так как в силу этого свойства формулы таблицы 1 справедливы не только для независимой переменной и, но и в случае, когда и – дифференцируемая функция какой-либо другой переменной.

Например, , но и , и , и .

Или и , и .

Суть метода заключается в выделении в заданном подынтегральном выражении дифференциала некоторой функции так, чтобы этот выделенный дифференциал вместе с остальным выражением составляли табличную формула относительно этой функции. В случае необходимости при таком преобразовании можно соответствующим образом добавлять константы. Например:

а) ;

б)

.

в)

(в последнем примере записано ln(3 + x²) вместо ln|3 + x²| , так как выражение 3 + x² всегда положительно).

Пример 3. Найти интегралы:

а) ; б) ; в);

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

Решение.

а) .

Здесь использованы формулы 2а, 5а и 7а таблицы 1, две последние из которых получены как раз путем подведения под знак дифференциала:

,

.

Интегрировать функции вида приходится очень часто в рамках вычисления интегралов от более сложных функция. Чтобы каждый раз не повторять описанные выше действия, рекомендуем запомнить соответствующие формулы, приведённые в таблице 1.

б)

.

Здесь использована формула 3 таблицы 1.

в) Аналогично, учитывая что , преобразуем:

.

Здесь использована формула 2в таблицы 1.

г)

.

д) ;

е)

.

ж) ;

з)

.

Пример 4. Найти интегралы:

а) б)

в) .

Решение.

а) Преобразуем:

.

Здесь так же использована формула 3 таблицы 1.

б) Используем формулу понижения степени :

.

Здесь использованы формулы 2а и 7а таблицы 1.

в)

.

Здесь наряду с формулами 2 и 8 таблицы 1 использованы и формулы таблицы 3: , .

Пример 5. Найти интегралы:

а) ; б)

в); г) .

Решение.

а) Произведение можно дополнить (см. формулы 4 и 5 таблицы 3) до дифференциала функции , где а и b – любые константы, . Действительно, , откуда .

Тогда имеем:

.

б) Используя формулу 6 таблицы 3, имеем , а также , значит, присутствие в подынтегральном выражении произведения означает подсказку: под знак дифференциала нужно внести выражение . Поэтому получаем

.

в) Так же как в пункте б), произведение можно дополнить до дифференциала функции . Тогда получим:

.

г) Сначала воспользуемся свойствами линейности интеграла:

.

Пример 6. Найти интегралы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение.

а) Учитывая, что (формула 9 таблицы 3), преобразуем:

.

б) Используя формулу 12 таблицы 3, получим

в) Учитывая формулу 11 таблицы 3, преобразуем

г) Используя формулу 16 таблицы 3, получим:

.

Пример 7. Найти интегралы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение.

а) Все представленные в этом примере интегралы имеют общую особенность: подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен. Поэтому и способ вычисления этих интегралов будет основан на одном и том же преобразовании – выделении полного квадрата в этом квадратном трехчлене.

.

б)

.

в)

.

г)

.

Прием подведения под знак дифференциала является устной реализацией более общего приема вычисления интеграла, называемого методом подстановки или заменой переменной. Действительно, каждый раз, подбирая подходящую формулу таблицы 1 к полученной в результате подведения под знак дифференциала функции, мы мысленно заменяли буквой и функцию, внесенную под знак дифференциала. Поэтому, если интегрирование путем подведения под знак дифференциала не очень получается, можно непосредственно делать замену переменной. Подробнее об этом – в следующем пункте.