Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4. Интегрирование рациональных дробей

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

04.06.2015

Размер:

440.83 Кб

Скачать

☆

Интегрирование дробно-рациональных функций

(рациональных дробей)

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называют функцию вида

Из линейной алгебры известно, что всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей типа

I. ( А, а – константы)

, ( k  2 целое число)
(М, N, p, q – константы, дискриминант знаменателя меньше нуля)
( k  2 целое, знаменатель не имеет действительных корней).

А всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби.

Таким образом, интегрирование рациональной дроби может быть сведено к интегрированию многочлена и простейших дробей, перечисленных выше. Рекомендации по интегрированию простейших дробей мы рассматривали в теме «Замена переменной».

Напомним еще раз эти принципы:

Таблица 4. Рациональные функции

Вид интеграла	Способ интегрирования
1.1.
1.2.
1.3.	Выделение полного квадрата:
1.4.	Рекуррентная формула

Итак, алгоритм интегрирования рациональной дроби таков:

Выяснить, является ли дробь правильной. Если дробь неправильная, то разделив числитель на знаменатель, выделить целую часть:

Знаменатель правильной дроби разложить на неприводимые множители вида .
Разложить правильную дробь на простейшие, записав в это разложение для каждого множителя дроби по принципу:

для множителя в сумме записывается дробь ;

для множителя записывается сумма k дробей ;

для множителя записывается дробь ;

для множителя записывается сумма k дробей .

Найти коэффициенты разложения и представить интеграл от заданной функции как интеграл от полученной суммы дробей.
Разложить интеграл от полученной суммы на сумму интегралов и вычислить каждый из интегралов-слагаемых.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти интегралы:

а); б); в) .

Решение.

а) В интеграле подынтегральная функция есть правильная рациональная дробь. Разложим ее на простейшие дроби:

Приравняем числители исходной и полученной дробей:

Приравняем коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой частях этого равенства, получим:

Получили систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения. Решая ее, находим:

Тогда получим

Интегрируем:

б) Дано:. Аналогично, разложим подынтегральную, правильную, дробь на простейшие:

Приравняем числители исходной и полученной дробей:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, получим систему уравнений:

Умножим первое уравнение на (–4) и прибавим к третьему; второе уравнение умножим на (–4) и прибавим к четвертому, получим:

Тогда получаем

Теперь интегрируем эту сумму:

в) . Поступаем аналогично:

Тогда получим

 .

Отсюда

Теперь интегрируем

Здесь использовано свойство логарифмов: .

Пример 2. Найти интегралы:

а); б); в).

Решение.

а) Вычисление от правильной рациональной дроби проводим аналогично тому, как делали это в примере 1. Разложим дробь на простейшие,

учитывая, что знаменатель есть разность кубов и его можно представить в виде произведения по соответствующей формуле сокращенного умножения:

Приравняем числители дробей:

Тогда

Теперь интегрируем:

б) Вычислим . Подынтегральная дробь – неправильная, поэтому сначала разделим числитель на знаменатель:

Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы интегралов:

Первый из этих интегралов легко вычисляется:

Вычислим второй интеграл – интеграл от правильной рациональной дроби. Для этого, прежде всего, разложим знаменатель на неприводимые множители:

Тогда

Приравниваем числители первой и последней дробей:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов и решим её:

Тогда разложение дроби имеет вид

А интеграл от этой функции равен

Теперь можно зависать окончательный результат вычислений исходного интеграла:

в) Данный интеграл – от правильной рациональной дроби, поэтому разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби. Для этого сначала разложим знаменатель на неприводимые множители. В отличие от предыдущего примера, группировка слагаемых к цели не приведет. Поэтому попробуем найти хотя бы один корень многочлена . Известно из алгебры, что если многочлен имеет целочисленные корни, то их нужно искать среди делителей свободного члена. Свободный член (–6) нашего многочлена делится на числа . Проверим подстановкой, является ли какое-либо из этих чисел корнем многочлена:

значит, число 1 – корень данного многочлена .

Разделим многочлен на двучлен (х–1):

Тогда имеет место разложение .

Найдем корни квадратного трехчлена , решив уравнение =0, получим . Значит, справедливо равенство. Тогда можно записать

Теперь можно разложить заданную дробь на простейшие:

Приравниваем числители:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной, получим:

П Группа 7 олученную систему уравнений решим методом Гаусса:

Группа 13 

Следовательно, имеем разложение:

Теперь можно проинтегрировать:

Пример 3. Найти интегралы:

а); б).

Решение.

а) В заданном интеграле подынтегральная функция есть правильная рациональная дробь, причем знаменатель её уже разложен на неприводимые множители^{^*)}. Запишем разложение на простейшие дроби:

Приравниваем числители исходной и полученной дробей:

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной в левой и правой частях последнего равенства. Получим:

С Группа 19 нова применим метод Гаусса:

Группа 20

Теперь можно записать разложение подынтегральной функции

Интегрируем заданную функцию:

б) В интеграле подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь. Разделим числитель этой дроби на знаменатель, чтобы выделить целую часть:

Следовательно, подынтегральная функция представима в виде суммы

Рассмотрим правильную дробь и разложим её на простейшие дроби.

Для этого сначала разлагаем знаменатель на неприводимые множители. Многочлен есть биквадратный трехчлен. Положим в нём , получим . Этот квадратный трехчлен имеет корни , и, следовательно, имеет место разложение . Сделав в этом равенстве обратную замену, получим разложение знаменателя на неприводимые множители: