FAIT1 / Интегралы-Помощь / 3. Замена переменной (метод подстановки)
.doc2. Замена переменной (метод подстановки)
Суть метода подстановки заключается в том, что в результате введения новой переменной заданный сложный интеграл приводится к табличному или такому, прием вычисления которого известен.
Пусть требуется вычислить интеграл . Существует два правила подстановки:
-
Независимую переменную заменяют по формуле , где -дифференцируемая функция, имеющая обратную . Затем обязательно находят , преобразовывают заданный интеграл и вычисляют полученный:
.
Общего правила подбора функции не существует, но есть несколько типов подынтегральных функций, для которых имеются рекомендации по подбору функции.
-
Полагают , затем либо находят и с его помощью заменяют часть подынтегрального выражения, либо выражают х, по нему находят dx и подставляют в подынтегральное выражение. В результате получается интеграл относительно переменной t, вычисление которого осуществить проще, чем исходного. Часто функцию выбирают либо интуитивно из желания убрать какое-либо сложное выражение, либо из тех соображений, что в подынтегральном выражении можно выделить дифференциал некоторой функции .
Замену переменных можно применять несколько раз, пока не будет получен результат.
Пример 1. Найти интегралы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е).
Решение.
а) Среди табличных интегралов нет содержащих радикалы различных степеней, поэтому «хочется избавиться», прежде всего, от и . Для этого потребуется заменить х таким выражением, из которого легко извлекались бы оба корня:
;
б) Типичный пример, когда возникает желание «избавиться» от показательной функции . Но в данном случае удобнее за новую переменную взять всё выражение, стоящее в знаменателе дроби:
;
в) Замечая, что в числителе стоит произведение , являющееся частью дифференциала подкоренного выражения, заменим все это выражение новой переменной:
;
г) Здесь, как и в случае а), хочется избавиться от радикала. Но поскольку, в отличие от пункта а), здесь только один корень, то именно его и заменим новой переменной:
.
д) Здесь выбору замены способствуют два обстоятельства: с одной стороны интуитивное желание избавиться от логарифмов, с другой стороны – наличие выражения , являющегося дифференциалом функции . Но так же как и в предыдущих примерах, в замену лучше включить и сопутствующие логарифму константы:
.
е) Здесь, так же как и в предыдущем примере, интуитивное желание избавиться от громоздкого показателя в подынтегральной функции согласуется с известным фактом: (формула 8 таблицы 3). Поэтому имеем:
.
Замена переменных для некоторых классов функций
Рассмотрим некоторые классы функций, для которых могут быть рекомендованы определенные подстановки.
Таблица 4. Рациональные функции
Вид интеграла |
Способ интегрирования |
1.1. |
|
1.2. |
|
1.3. |
Выделение полного квадрата: |
1.4. |
Рекуррентная формула |
Трансцендентные функции:
1.5. – подстановка t = ex;
1.6. – подстановка t = logax.
Пример 2. Найти интегралы от рациональных функций:
а) ; б) ;
в) ; д) .
Решение.
а) Этот интеграл нет необходимости вычислять с помощью замены переменных, здесь проще использовать подведение под знак дифференциала:
;
б) Аналогично, используем подведение под знак дифференциала:
;
в) Перед нами интеграл типа 1.3 таблицы 4, воспользуемся соответствующими рекомендациями:
.
д) Аналогично предыдущему примеру:
.
Пример 3. Найти интегралы
а) ; б) .
Решение.
а) Воспользуемся рекомендацией 1.5: если подынтегральное выражение содержит показательную функцию, то желательно заменить именно эту функцию новой переменной. Получим:
.
б) Подынтегральное выражение содержит логарифм, поэтому воспользуемся рекомендацией 1.6. Только в данном случае удобнее заменить не просто функцию , а все подкоренное выражение:
.
Таблица 6. Тригонометрические функции (R – рациональная функция своих аргументов)
Вид интеграла |
Способ интегрирования |
3.1. |
Универсальная подстановка , , , |
3.1.1. , если |
Подстановка
|
3.1.2. , если |
Подстановка . |
3.1.3. . , если
(т.е. есть только четные степени функций ) |
Подстановка
|
3.2. |
Если – нечетное, то см. 3.1.1; если – нечетное, то см. 3.1.2; если – четное, то см. 3.1.3; если – четные, то использовать формулы понижения степени , |
3.3. , ,
|
Использовать формулы , , . |
Пример 4. Найти интегралы:
а) ; б) ; в) ; д) .
Решение.
а) Здесь интегрируем тригонометрическую функцию. Применим универсальную подстановку (таблица 6, 3.1):
.
б) Здесь также применим универсальную подстановку:
.
Заметим, что в рассмотренном интеграле замену переменных пришлось применить дважды.
в) Вычисляем аналогично:
.
д) Рассмотрим два приема вычисления данного интеграла.
1)
.
2)
.
Как видим, получили разные функции-первообразные. Это не означает, что один из использованных приемов дает неверный результат. Дело в том, что используя известные тригонометрические тождества, связывающие тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла, имеем
,
Таким образом, найденные первообразные совпадают друг с другом.
Пример 5. Найти интегралы:
а) ; б) ; в) ; г).
Решение.
а) В этом интеграле тоже можно применить универсальную подстановку , но поскольку входящий в подынтегральную функцию косинус – в четной степени, то рациональнее использовать рекомендации пункта 3.1.3 таблицы 6:
.
б) Сначала приведем все тригонометрические функции, входящие в подынтегральное выражение к одному аргументу:
.
В полученном интеграле можно применить универсальную подстановку, но замечаем, что подынтегральная функция не меняет знак при изменении знаков синуса и косинуса:
.
Следовательно, функция обладает свойствами, указанными в пункте 3.1.3 таблицы 6, поэтому наиболее удобной будет подстановка . Имеем:
.
в) Если в заданной подынтегральной функции поменять знак у косинуса, то вся функция поменяет знак:
.
Значит, подынтегральная функция обладает свойством, описанным в пункте 3.1.2. Следовательно, рационально воспользоваться подстановкой . Но прежде, как и в предыдущем примере, преобразуем подынтегральную функцию:
.
г) Если в заданной подынтегральной функции поменять знак у синуса, то вся функция поменяет знак, значит, имеем случай, описанный в пункте 3.1.1 таблицы 6, поэтому новой переменной нужно обозначить функцию . Но поскольку в подынтегральном выражении не наблюдается ни наличия функции , ни ее дифференциала, предварительно преобразуем:
.
Пример 6. Найти интегралы:
а); б) ;
в) г) .
Решение.
а) Данный интеграл относится к интегралам вида 3.2 таблицы 6. Поскольку синус в нечетной степени, то согласно рекомендациям, удобно заменить функцию . Но сначала преобразуем подынтегральную функцию:
.
б) Данный интеграл относится к тому же типу, что и предыдущий, но здесь функции и имеют четные степени, поэтому нужно применить формулы понижения степени: , . Получим:
=
.
в) Преобразуем функцию:
г) Согласно рекомендациям 3.1.3 таблицы 6, в данном интеграле удобно сделать замену . Получим:
.
Таблица 5. Иррациональные функции (R – рациональная функция своих аргументов)
Вид интеграла |
Способ интегрирования |
2.1. |
Подстановка , где k – общий знаменатель дробей …, . |
2.2. |
Подстановка , где k –общий знаменатель дробей …, |
2.3. |
Подстановка, , где k – общий знаменатель дробей-показателей …, |
2.4. |
Подстановка . |
2.5. |
Подстановка , |
2.6. |
Подстановка , . |
2.7. |
Подстановка , . |
2.8. (дифференциальный бином), интегрируется только в трех случаях: а) р – целое (подстановка х = tk , где k – общий знаменатель дробей т и п); б) – целое (замена = tk, где k –знаменатель дроби р); в) – целое (замена = tk, где k –знаменатель дроби р). |
Пример 7. Найти интегралы:
а) ; б); в) .
Решение.
а) Данный интеграл можно отнести к интегралам вида 2.1, поэтому выполним соответствующую подстановку. Напомним, что смысл замены в этом случае состоит в том, чтобы избавиться от иррациональности. А это означает, что заменить следует подкоренное выражение такой степенью новой переменной, из которой извлекались бы все имеющиеся под интегралом корни. В нашем случае это, очевидно :
Под интегралом получилась неправильная рациональная дробь. Интегрирование таких дробей предполагает, прежде всего, выделение целой части. Поэтому разделим числитель на знаменатель:
Тогда получаем , отсюда