
FAIT1 / Интегралы-Помощь / 4. Интегрирование рациональных дробей
.docИнтегрирование дробно-рациональных функций
(рациональных дробей)
Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называют функцию вида
.
Из линейной алгебры известно, что всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей типа
-
I.
( А, а – константы)
-
, ( k 2 целое число)
-
(М, N, p, q – константы, дискриминант знаменателя меньше нуля)
-
( k 2 целое, знаменатель не имеет действительных корней).
А всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби.
Таким образом, интегрирование рациональной дроби может быть сведено к интегрированию многочлена и простейших дробей, перечисленных выше. Рекомендации по интегрированию простейших дробей мы рассматривали в теме «Замена переменной».
Напомним еще раз эти принципы:
Таблица 4. Рациональные функции
Вид интеграла |
Способ интегрирования |
1.1.
|
|
1.2.
|
|
1.3.
|
Выделение полного квадрата:
|
1.4.
|
Рекуррентная формула |
Итак, алгоритм интегрирования рациональной дроби таков:
-
Выяснить, является ли дробь правильной. Если дробь неправильная, то разделив числитель на знаменатель, выделить целую часть:
-
Знаменатель правильной дроби разложить на неприводимые множители вида
.
-
Разложить правильную дробь на простейшие, записав в это разложение для каждого множителя дроби по принципу:
для
множителя
в сумме записывается дробь
;
для
множителя
записывается сумма k
дробей
;
для
множителя
записывается дробь
;
для
множителя
записывается сумма k
дробей
.
-
Найти коэффициенты разложения и представить интеграл от заданной функции как интеграл от полученной суммы дробей.
-
Разложить интеграл от полученной суммы на сумму интегралов и вычислить каждый из интегралов-слагаемых.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Найти интегралы:
а);
б)
;
в)
.
Решение.
а)
В интеграле
подынтегральная функция есть правильная
рациональная дробь. Разложим ее на
простейшие дроби:
Приравняем числители исходной и полученной дробей:
.
Приравняем коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой частях этого равенства, получим:
Получили систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения. Решая ее, находим:
.
Тогда получим
.
Интегрируем:
.
б)
Дано:.
Аналогично, разложим подынтегральную,
правильную, дробь на простейшие:
.
Приравняем числители исходной и полученной дробей:
,
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, получим систему уравнений:
Умножим первое уравнение на (–4) и прибавим к третьему; второе уравнение умножим на (–4) и прибавим к четвертому, получим:
.
Тогда получаем
.
Теперь интегрируем эту сумму:
.
в)
.
Поступаем аналогично:
.
Тогда получим
,
.
Отсюда
.
Теперь интегрируем
.
Здесь
использовано свойство логарифмов:
.
Пример 2. Найти интегралы:
а);
б)
;
в)
.
Решение.
а)
Вычисление
от правильной рациональной дроби
проводим аналогично тому, как делали
это в примере 1. Разложим дробь на
простейшие,
учитывая, что знаменатель есть разность кубов и его можно представить в виде произведения по соответствующей формуле сокращенного умножения:
.
Приравняем числители дробей:
.
Тогда
.
Теперь интегрируем:
б)
Вычислим
.
Подынтегральная дробь – неправильная,
поэтому сначала разделим числитель на
знаменатель:
Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы интегралов:
.
Первый из этих интегралов легко вычисляется:
.
Вычислим
второй интеграл
– интеграл от правильной рациональной
дроби. Для этого, прежде всего, разложим
знаменатель на неприводимые множители:
.
Тогда
.
Приравниваем числители первой и последней дробей:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов и решим её:
Тогда разложение дроби имеет вид
.
А интеграл от этой функции равен
.
Теперь можно зависать окончательный результат вычислений исходного интеграла:
.
в)
Данный интеграл
– от правильной рациональной дроби,
поэтому разложим подынтегральную дробь
на простейшие дроби. Для этого сначала
разложим знаменатель на неприводимые
множители. В отличие от предыдущего
примера, группировка слагаемых к цели
не приведет. Поэтому попробуем найти
хотя бы один корень многочлена
.
Известно из алгебры, что если многочлен
имеет целочисленные корни, то их нужно
искать среди делителей свободного
члена. Свободный член (–6) нашего
многочлена делится на числа
.
Проверим подстановкой, является ли
какое-либо из этих чисел корнем многочлена:
,
значит,
число 1 – корень данного многочлена
.
Разделим
многочлен
на двучлен (х–1):
Тогда
имеет место разложение
.
Найдем
корни квадратного трехчлена
,
решив уравнение
=0,
получим
.
Значит, справедливо равенство
.
Тогда можно записать
.
Теперь можно разложить заданную дробь на простейшие:
.
Приравниваем числители:
,
,
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной, получим:
Полученную
систему уравнений решим методом Гаусса:
Следовательно, имеем разложение:
.
Теперь можно проинтегрировать:
.
Пример 3. Найти интегралы:
а);
б)
.
Решение.
а)
В заданном интеграле
подынтегральная функция есть правильная
рациональная дробь, причем знаменатель
её уже разложен на неприводимые
множители*).
Запишем разложение на простейшие дроби:
Приравниваем числители исходной и полученной дробей:
,
.
Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной в левой и правой частях последнего равенства. Получим:
Снова
применим метод Гаусса:
.
Теперь можно записать разложение подынтегральной функции
.
Интегрируем заданную функцию:
б)
В
интеграле
подынтегральная функция – неправильная
рациональная дробь. Разделим числитель
этой дроби на знаменатель, чтобы выделить
целую часть:
Следовательно, подынтегральная функция представима в виде суммы
.
Рассмотрим
правильную дробь
и
разложим её на простейшие дроби.
Для
этого сначала разлагаем знаменатель
на неприводимые множители. Многочлен
есть биквадратный
трехчлен. Положим в нём
,
получим
.
Этот квадратный трехчлен имеет корни
,
и, следовательно, имеет место разложение
.
Сделав в этом равенстве обратную замену
,
получим разложение знаменателя на
неприводимые множители:
.
Тогда можно записать
.
Далее имеем
.
Отсюда получим систему уравнений:
Тогда рассматриваемая дробь примет вид
а подынтегральная функция запишется так
,
Теперь проинтегрируем
.
*)
Квадратный
трехчлен
не
имеет действительных корней, т.к. у него
отрицательный дискриминант:
.