FAIT1 / Интегралы-Помощь / 3. Замена переменной (метод подстановки)

.

б) В данном интеграле аналогично подбираем замену так, чтобы можно было извлечь и корень квадратный, и корень четвертой, и корень шестой степени:

.

в) Аналогично подбираем замену:

= =

=

.

Пример 8. Найти интегралы:

а) ; б) ; в) .

_{Решение}

а) Здесь, также как и в примере 7, подкоренную функцию нужно заменить такой степенью новой переменной, из которой извлекаются имеющиеся в подынтегральной функции квадратные корни:

.

б) Аналогично, подкоренную функцию _, нужно заменить такой степенью новой переменной, из которой извлекаются все имеющиеся в подынтегральной функции корни:

.

В полученной неправильной рациональной дроби разделим числитель на знаменатель, получим

.

Тогда

.

в) Действуем так же, как и в предыдущем примере:

.

Пример 9. Найти интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Решение.

а) Данный интеграл можно найти двумя способами: 1) относя его к интегралам вида 2.5. таблицы 5, либо 2) относя его к интегралам от дифференциального бинома 2.8. Рассмотрим оба способа.

1) Согласно пункту 2.5. таблицы 5, нужно выполнить тригонометрическую подстановку (считая ):

.

Здесь использовано тригонометрическое тождество .

2) Чтобы проинтегрировать вторым способом, преобразуем подынтегральную функцию к виду 2.8 таблицы 5:

.

Тогда . Проверим возможность применения соответствующей подстановки пункта 2.8:

р – не целое, случай а) отпадает;

– целое, следовательно, возможно применение замены (случай б пункта 2.8):

.

Как видим, второй способ оказался немного короче. Но это не значит, что использование дифференциального бинома предпочтительнее. В некоторых случаях его использование, наоборот, приводит к громоздким преобразованиям.

Тот факт, что методы привели к различным первообразным, означает лишь, что это различие чисто внешнее: по существу каждая из этих функций может быть преобразована к другой в результате использования тех или иных алгебраических и тригонометрических тождеств.

б) Рассмотрим вычисление этого интеграла также двумя способами.

1) Данный интеграл можно отнести к интегралам вида 2.6. таблицы 5. Применим соответствующую подстановку:

;

Запишем подынтегральное выражение в виде дифференциального бинома 2.8: . Тогда . Проверим возможность применения какой-либо подстановки пункта 2.8:

р – не целое, случай а) отпадает;

– целое, следовательно, можно сделать замену (случай б пункта 2.8). Получим:

.

в) Также рассмотрим два способа.

1)

.

2) Запишем интеграл в виде :

.

Тогда . Проверим возможные случаи:

р – не целое; – не целое; –целое, значит, возможна замена вида , где k – знаменатель дроби р. В нашем случае – это замена . Получим:

г) Здесь рассмотрим только тригонометрическую подстановку. Случай дифференциального бинома попробуйте рассмотреть самостоятельно.

.

д) Здесь снова рассмотрим два способа.

1)

.

2)

.