Лекция 1 Матрицы

5

Модуль 1. линейная алгебра

Лекция 1. Матрицы

1. Матрицы и их виды

2. Операции над матрицами

3. Свойства операций над матрицами

1. Матрицы и их виды

Матрицей размерности называется таблица чисел, расположенных в строках и столбцах:

,

Матрицы обозначаются латинскими буквами А, В, С, …

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Каждый элемент матрицы А имеет два индекса - номер строки, - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Для матриц используют обозначение или , .

Пример 1. Матрицы

Матрица-строка: .

Матрица-столбец: .

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов (₎, называется квадратной, иначе матрица называется прямоугольной.

Элементы квадратной матрицы , для которых , называются диагональными, а диагональ матрицы, на которой они находятся, - главной диагональю.

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны , а остальные элементы равны :

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме диагональных, равны 0, называется диагональной:

.

2. Операции над матрицами

1. Равенство матриц.

Матрица называется равной матрице , если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы равны.

2. Транспонирование матриц.

Если элементы каждой строки матрицы строки записать в том же порядке в столбцы матрицы , то матрица называется транспонированной матрицей. Она обозначается _.

.

Пример 2. Дана матрица . Получить матрицу .

Решение.

3. Сложение (вычитание) матриц.

Суммой (разностью) матриц и одинаковой размерности называется матрица , которая имеет ту же размерность, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц и : .

4. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы любой размерности на произвольное число называется матрица той же размерности, у которой каждый элемент равен произведению элементов на число : .

Пример 3. Дана матрица . Найти , если .

Решение.

Матрица называется противоположной для матрицы .

5. Умножение матриц.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , удовлетворяющая следующим условиям:

1. матрица существует, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы ;

2. число строк матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов матрицы равно числу столбцов матрицы ;

3. каждый элемент матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -ого столбца матрицы :

.

Пример 4. Даны матрицы и . Найти произведение .

Решение.

№ строки № столбца

, и так далее.

,

,

,

.

Итак, матрица .

Операции деления для матриц нет.

6. Возведение матрицы в степень.

-ой степенью матрицы называется такая матрица, которая получена умножением матрицы саму на себя раз:

.

3. Свойства операций над матрицами

Свойства операции транспонирования матриц.

Свойства операции сложения матриц

1. - коммутативность.

1. - ассоциативность.

1. – дистрибутивность относительно сложения матриц.

1. – дистрибутивность относительно сложения чисел.

Свойства умножения матрицы на число

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Свойства операции умножения матриц

1. - матрицы не перестановочны относительно умножения, даже если определены оба произведения и . Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

2. _,

3. _,

4. дистрибутивность.

5. дистрибутивность.

6. ассоциативность.

7. Если определено произведение , то определено и произведение и выполняется равенство , где индексом обозначается транспонированная матрица.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение матрицы и укажите ее виды.

1. Как проводятся линейные операции над матрицами - сложение матриц, умножение на число?

2. Даны матрицы . При каких условиях на определены матрицы ?

3. Как умножить матрицу на матрицу? Запишите условие, которому должны удовлетворять первая и вторая матрицы-сомножители.

2. Как найти любой элемент произведения матриц?

4. Даны матрицы . При каких условиях на определены матрицы ?

5. Запишите свойства суммы и произведения матриц.

6. Какая матрица называется транспонированной к данной? Составьте матрицу и транспонируйте ее. Какова ее размерность? Запишите свойства операции транспонирования.

7. Какая матрица называется единичной? Нулевой? Приведите примеры.

8. Запишите элементы матрицы и элементы матрицы .