СТАТИСТИКА (для студентов заочников) / Пособие по статистике (И.В.Шадрина)

Поскольку генеральная доля (p) неизвестна (ради ее определения и проводится выборочное обследование), то для практических целей используются расчетные формулы, в которых вместо генеральной доли (p) принимается выборочная частость ( ).

Таким образом, формула средней ошибки для доли будет

И соответственно предельная ошибка для доли будет исчисляться по формуле

Все приведенные выше формулы для нахождения ошибок выборки приводились применительно к повторному отбору. Однако на практике чаще применяется бесповторный отбор, гарантирующий более точные результаты (большую репрезентативность), поскольку при этом отборе исключается возможность повторного обследования одних и тех же единиц, генеральной совокупности. При бесповторном отборе предельная ошибка выборки для средней величины определяется по формуле

дельная ошибка выборка, рассчитываемая по формулам бесповторного отбора, будет меньше, чем при расчете по формулам повторного отбора, что и подтверждает большую репрезентативность бесповторного отбора.

Использование формул предельной ошибки выборки. На основе формул предельной ошибки выборки могут решаться следующие задачи:

-определение доверительных пределов генеральной средней (или доли)

сзаданной вероятностью;

-определение вероятности того, что расхождение между выборочными и генеральными характеристиками не превзойдет определенную заданную величину;

-определение необходимой численности (объема) выборки, которая с определенной вероятностью обеспечит заданную точность выборочных показателей.

Рассмотрим решение этих задач на конкретных примерах.

А) Определение доверительных пределов средней.

45

Для определения зольности угля в порядке собственно-случайной выборки было обследовано 100 проб угля. В результате обследования установлено, что средняя зольность угля в выборке 16%, при среднеквадратическом отклонении равном 5%, с вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будет находиться средняя зольность угля в месторождении.

При решении задач данного типа рассчитывается выборочная средняя

( ~ ) в задаче она составляет 16% и с заданной вероятностью Р=0,954 коэффи-

то есть с вероятностью Р=0,954 можно утверждать, что средняя зольность угля во всем месторождении колеблется в пределах от 15 до 17 процентов.

Б) Определение доверительных пределов доли.

Аналогично решается задача и при определении пределов для генеральной доли.

Предположим, что в 10 пробах на определение средней зольности угля, зольность составила 20%, то есть выборочная доля (частость) составила10100 = 0,1. Предельная ошибка выборки для доли проб с зольностью бо-

Генеральная доля будет равна: , а доверительные пре-

делы генеральной доли будут выражаться следующим образом:. Доверительные пределы генеральной доли составят:

0,1- 0,06 ≤ р ≤ 0,1 + 0,06; 0,04 ≤ р ≤ 0,16 или 4% ≤ р ≤ 16%

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля с зольностью более 20% в месторождении будет находиться в пределах от 4 до 16 процентов.

В) Определение доверительной вероятности.

При расчете выборочных характеристик может ставиться задача определения вероятности допуска той или иной ошибки, т.е. отклонения от соответствующих характеристик генеральной совокупности не более чем на определенную заданную величину, которую можно рассматривать как предельную ошибку выборки.

46

Предположим, из совокупности в 1000 деталей собственно-случайной бесповторной выборкой обследовано 250 деталей на определение доли брака. Доля брака по выборочным данным оказалась равной 3,8%

Г) Определение необходимой численности выборки.

В практике выборочного наблюдения возникает потребность нахождении численности (объема) выборки, которая с определенной вероятностью обеспечит заданную точность результатов наблюдения. Формулы для определения необходимой численности выборки (n) легко получить непосредственно из формул ошибок выборки.

При собственно–случайном повторном отборе численность выборки определяется по формуле

Дисперсию альтернативного признака (pq), если ничего неизвестно о доле (р), можно принять максимальной pq = 0,25, получаемое при предположении равенства p и q, т.е. если p=q=0,5.

Рассмотрим пример. В районе проживает 2000 семей. Предполагается с помощью выборочного обследования определить средний размер семьи.

Каким должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит 1 человека при среднем квадратическом отклонении по пробной выборке 3 человека.

Ошибки механической выборки. Это разновидность собственно – случайной. В этом случае вся генеральная совокупность делится на n равных частей и затем из каждой части отбирается одна единица.

Все единицы генеральной совокупности должны располагаться в определенном порядке. При этом по отношению к изучаемому показателю единицы генеральной совокупности могут быть упорядочены по существенному, второстепенному или нейтральному признаку. При этом из каждой группы должна отбираться та единица, которая находится в середине каждой группы. Это позволяет избежать систематической ошибки выборки.

47

Данный вид выборки применяют при обследовании покупателей в магазинах, посетителей в поликлиниках, например обследуется каждый 5 или 100 –ая единица.

Формулы для расчета средней и предельной ошибок выборки такие же как и для собственно–случайной выборки.

Рассмотрим на примере. Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была произведена 5% механическая выборка, в которую попало 100 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным кредитом 30 дней при среднем квадратическом отклонении ( ) 9 дней, в 5-ти счетах срок пользования кредитом составил более 60 дней. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будет находиться срок пользования краткосрочным кредитом в генеральном совокупности и долю счетов со сроком пользования кредитом более 60 дней.

Для определения пределов для среднего срока пользования кредитом

можно утверждать, что средний срок пользования кредитом в генеральной совокупности из 2000 счетов находится в пределах 30 – 2 ≤ ≤ 30 + 2 или от 28 до 32 дней.

Для определения доли кредитов со сроком более 60 дней в генеральной совокупности воспользуемся формулой (46). Доля кредитов со сроком более

60дней рассчитывается из соотношения 1005 0,05.

Предельную ошибку выборки для доли рассчитаем следующим обра-

с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля кредитов в банке со сро-

кредитов со сроком пользования более 60 дней находится в генеральной совокупности в пределах от 0,8% до 9,2%.

Ошибки выборки при типической выборке. При типической выбор-

ке отбор единиц осуществляется не непосредственно из всей массы единиц генеральной совокупности, а из отдельных ее частей, выделенных по определенному существенному признаку, то есть генеральная совокупность разде-

48

ляется на однородные типические группы. Затем из каждой типической группы собственно–случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность. Следовательно, ошибка выборки при этом методе отбора будет зависеть не от вариации признака во всей совокупности, а от вариации признака внутри каждой группы, а эта внутригрупповая вариация измеряется средней из групповых дисперсий.

При типической выборке в формулах ошибок выборки вместо общей

Таким образом, формулы предельной ошибки выборки при типическом отборе представлены в табл.5.1. Поскольку, исходя из правила сложения дисперсий, средняя из групповых дисперсий всегда меньше общей дисперсии, то, очевидно, что при типическом отборе ошибка выборки будет меньше.

Записанные выше формулы, применимы при пропорциональном отборе, т.е. когда из каждой выделенной группы отбирается одинаковый процент единиц.

Таблица 5.1 Формулы для расчета предельной ошибки выборки при типическом отборе

Показатель Для повторного отбора Для бесповторного отбора

Объем выборки из типической группы при отборе пропорциональном

где ni – объем выборки из типической группы; Ni – объем типической группы.

Рассмотрим пример. Для определения среднего возраста мужчин, вступающих в брак, в районе была произведена 5% выборка с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Внутри групп применялся механический отбор.

С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будут находиться средний возраст мужчин, вступивших в брак, и долю мужчин, вступивших в брак вторично.

Исходные данные представлены в табл.5.2:

Таблица 5.2

49

Исходные данные

с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний возраст мужчин, вступающих в брак, будет находиться в пределах 25,2 1,2 х 25,2 1,2 , то есть от

24 до 26,4 года.

Доля мужчин, вступающих во второй брак, находиться в пределах

Определим пределы для доли мужчин, вступающих в брак повторно,

по формуле ~ 14 6,7 , т.е. 14 6,7 14 6,7 .

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля мужчин, вступающих в брак во второй раз, в совокупности из 2000 мужчин находится в пре-

делах от 7,3% до 20,7%.

50

Для определения необходимой численности выборки при типическом

а затем уже определяется необходимый отбор из каждой группы в зависимости от вида отбора: пропорционального, непропорционального, оптимального, учитывающего и численность единиц в каждой группе, и вариацию признака.

Ошибки выборки при серийном отборе. При серийной выборке со-

вокупность делят на одинаковые по объему группы – серии. В выборочную совокупность отбираются серии. Внутри серий производится сплошное наблюдение единиц, попавших в серию. Ошибка выборки будет зависеть не от вариации признака во всей совокупности, а от вариации серийных средних, которая измеряется межсерийной дисперсией.

Если общее число серий в генеральной совокупности обозначить через R, а число отобранных – через r, то формулы предельной ошибки выборки при серийном отборе можно записать следующим образом:

Для повторного отбора

Пример. В цехе 10 бригад с целью изучения производительности труда в бригадах осуществлена 20–ти процентная серийная выборка, в которую попали 2 бригады. В результате обследования установлено, что x1 4,6т

с вероятностью 0,997 можно утверждать,

ха находится в пределах x 3,8 1,5т или 2,3 х 5,3т .

Комбинированная выборка. В статистической практике выборочное наблюдение из больших массивов генеральной совокупности часто проводится в виде комбинированной, или ступенчатой, выборки. При комбинированной выборке выборочная совокупность единиц формируется в результате так называемого ступенчатого отбора. Например, для обследования успеваемости студентов факультета выборочную совокупность можно сформировать в результате двухступенчатого отбора: вначале провести случайный отбор групп (как серий), а затем в каждой группе методом механической или соб- ственно-случайной выборки отобрать определенное число студентов.

Распространение результатов выборки на генеральную совокуп-

ность. Конечной целью выборки является распространение выборочных данных на генеральную совокупность. Если исследователя интересуют средние показатели или доля, то в таком случае, как было указано выше, к выборочной средней или частости прибавляется предельная ошибка выборки и определяются доверительные интервалы средней (или доли) относительно генеральной совокупности.

Эти интервалы служат основой для оценки абсолютных, итоговых величин генеральной совокупности. В таких случаях для распространения выборочных данных необходимо обязательно знать численность единиц генеральной совокупности.

Есть два способа распространения выборочных данных на генеральную совокупность: способ прямого пересчета и способ поправочных коэффициентов.

При первом способе среднее значение признака выборочной совокупности умножается на число единиц в генеральной совокупности.

Второй способ применяется в более сложных случаях, например при обследовании совокупности по ряду признаков, отличающихся своей репре-

52

зентативностью, а также когда выборочное наблюдение проводится с целью уточнения результатов сплошного наблюдения.

ТЕМА 6. АНАЛИЗ РЯДОВ ДИНАМИКИ Понятие рядов динамики. Ряд динамики представляет собой ряд чис-

ловых значений определенного показателя в последовательные моменты, или периоды времени.

Числовые значения того или иного показателя, составляющие динамический ряд, называют уровнями ряда (у).

Ряды динамики выражают в таблицах или графически. При графическом изображении динамического ряда на оси абсцисс строится шкала времени (t), а на оси ординат – шкала уровней ряда (y).

Одной из основных задач исследования рядов динамики является выявление определенной закономерности в изменении уровней ряда (тренда).

Виды рядов динамики. В зависимости от вида показателей, ряды динамики подразделяют на ряды абсолютных, относительных и средних величин. При этом ряды абсолютных величин рассматриваются как исходные, а ряды относительных и средних величин как производные.

Кроме того, уровни рядов динамики могут относиться к определенным моментам или интервалам времени. В зависимости от этого различают моментные и интервальные ряды.

Моментным называется ряд, уровни которого характеризуют величину явления по состоянию на определенные моменты времени, определенные даты (например, на 1 января, 23 марта и т.д.).

Интервальным называется такой ряд, уровни которого характеризуют величину изучаемого показателя, полученную в итоге за определенный период времени (например, 2005 год, 2006 год и т.д.). Отличительной особенностью интервальных рядов абсолютных величин является то, что уровни их можно дробить и складывать. Уровни моментных рядов складывать нельзя так как в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда может возникнуть повторный счет, поэтому их не складывают.

Сопоставимость рядов. При изучении явлений общественной жизни в статистике приходится иметь дело с различными видами динамических рядов. Основное требование к ним – сопоставимость уровней. Несопоставимость уровней в рядах динамики может возникнуть:

-изменение территории, к которой отнесены показатели;

-изменение методологии учета и расчета показателей;