Средние величины.

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признания в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из выражающих признаков.

Важнейшее свойство средней заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Средняя величина будет типичной только тогда, когда она будет рассчитана по качественно однородной совокупности.

Например используя для расчета средние величины доходов: служащих государственных, совместных предприятий, наука, культура и т.п., является крайне неоднородной.

В этом и других случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность не однородна – общее среднее должны быть занесены или дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по по качественно однородным группам.

Виды средних и методы их расчета.

В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений и поэтому для их решения требуются различные средние.

Математическая статистика выводит различные средние из формул степенной средней:

==

При Z = 1 ср. арифметическая

Z = 0 ср. геометрическая

Z =-1 ср. гармоническая

Z =2 ср. квадратическая

Однако вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности введем следующие понятия:

1 признак по которому находится средняя называется осредняемым признаком ()

2 величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется индивидуальным значением осредняемого признака или вариантами (х; х2; х3….хn)

3 Чаcтота – это повторяемость индивидуальных значений признака (f)

Средняя арифметическая – распространенная. Она исчисляется в тех случаях, когда объем определяемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется следующим образом:

1 Н-р Найти средний стаж работы 10 работников: 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4, т.е. даны одиночные значения

= =(6+5+4+3+3+4+5+4+5+4)/10 = 43/10 = 4,3года

2. Когда значение признака встречается несколько раз.

Средня взвешенная арифметическая

= или =

Пример расчета

Взвешенная дискретная		Взвешенная интервальная
Оценки, получаемые на экзамене по математике		Число неявок на занятия
оценки	Кол-во студентов	Группы по числу неявок		Число студентов
2 3 4 5	1 2 10 7	интервальный	дискретный
		До5 6-10 11-15 16-20 >20	8-5=3 8 5 3 1	3 8 5 3 1
Итого:	20	Итого:		20

= (2*1+3*2+4*10+5*7)/20=83/20 = 4.15

=3*3+8*8+13*5+18*3+23/20 = 215/20=10.75

Свойства средней арифметической

П-р Продажа акций АО «Дока хлеб» на торгах фондовой секции ТБМ «Гермес»

Сумма	Кол-во проданных акций, шт.	Курс продажи, руб.
1	500	1080
2	300	1050
3	1100	1145

1 средняя арифметическая из постоянных чисел равна этому постоянному числу

Если х = а. Тогда =

2 Если веса всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно Ито же число, то нового ряда от этого не изменится.

Уменьшатся все f в к раз.

=

= 1112.89=1112.9

2. Сумма положительных и отрицательных отклонений отдельных вариантов от средней, умноженных на веса, равна 0, т.е.

из-за округления.

4 Если все варианты уменьшить или увеличить на какое- либо число, то среднее арифметическое нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

X¹ = x-a

Курс продажи увеличился в 1,5 раза, т.е. на 50%

5Если все варианты уменьшить или увеличить в к раз, то среднее арифметическое нового ряда уменьшится или увеличится во столько же, т.е. в к раз

Пусть

Отсюда в полтора раза

иногда роль частот при исчислении средней играет частота (w) . Посчитаем частоты во втором примере

W, % 15; 40; 25; 15; 5;

Средняя гармоническая.

Это величина обратная средней арифметической, когда z=-1.

Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется средне гармоническая взвешенная.

Н-р, расчет средней цены

Средняя цена =

Город	Цена, руб. хi	реализации т.р.Wi	Частоты fi =
А	30	600	20
Б	20	1000	50
В	35	350	10
Итого:		1950	80

Известны:

1 реализации

2 Цена Найти: Кол-во реализованных единиц.

Неверный путь.

простая

Где - сумма обратных значений вариант

n – число вариант M=fx

Применение: для расчета некоторых индексов, в частности индекса цен.

Средняя геометрическая – это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии Z=0

т.е. прямой подставленной средняя не выводится.n – число вариант

Пример

Доходы населения России представлены табл.

1985г.	244,7 млрд.
1986г	283,6 млрд.
1987г	264,3 млрд.
1988г	287,2 млрд.
1989г	324,6 млрд.
1990 г	384,7 млрд.

Рассчитать средне годовой доход населения

Решение

1 найдем цепные Тр

1985г

1986г 253,6/244,7 =1,04

1987г 264,3/253,6 =1,04

1988г 1,09

1989г 1,13

1990г 1,18

Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношением двух чисел. Поэтому ср. геометрическая используется в расчетах ср. годовых темпов роста.

простая

взвешенная

где х – вариант осредняемого критерия

П – произведение вариантов

f – частота вариантов

Средняя квадратичная.

Z=2

=

В экономических исследованиях ср. квад. в измененном виде широко используется для характеристики вариации признака (дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

Между степенными средними существует следующая зависимость: чем больше показатель степени, тем > значение средней.

Значение к	-1	0	1	2	и т.д.
Отношение м\у сред	<	<	<	<	и т.д.

Соотношение это называется правилом мажорантности.

Формула ср. арифметической взвешенной

m₁i+A , где m₁=

Средняя m₁ из значений называется моментом 1 порядка, а способ вычисления средней – способом моментов. Иногда его называют способом отсчета от условного нуля.

Расчет среднего арифметического способом « условного нуля ».

Валовая продукция, млн. руб	Число пред, %	Середина шт. ед. х	х - 225
До 50	3	25	-200	-4	-12
50-100	6	75	-150	-3	-18
100-150	10	125	-100	-2	-20
150-200	21	175	-50	-1	-21
200-250	33	225	0	0	0
250-300	18	275	50	1	18
Более 300	9	325	100	2	18
итого	100	-	-	-	-35

Пример на решение задачи с применением свойств средней.

х	f	x*100	х*100-48	f	f*х/
0,13	200	13	-35	2	-70
0,28	250	28	-20	2,5	-50
0,33	300	33	-15	3	-45
0,48	350	48	0	3,5	0
0,53	300	53	+5	3	15
0,68	200	68	20	2	40
итого	1600			16	-110

Свойство 1. При увеличении х в 100 раз средняя арифметическая увеличивается в 100 раз.

Свойство 2. Правило условного нуля.

Свойство 3.При уменьшении f в 100 раз средняя не меняется.

Структурные средние величины.

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана.

Модой (М_о) называется чаще всего встречающийся вариант, или модой называется то значение признака, которое соответствует max точке теоретической кривой распределения.

Для дискретных рядов				Для интервальных рядов
Размер обуви	Число купленных пар	f		Стаж(лет)	Число работников	F/
34 35 36 37 38 39 40	2 10 20 88 19 9 2		2 12 32 120 139 148	До 2 2-4 4-6 6-8 8-10 свыше 10	4 23 20 35 11 7		4 27 47 82 93 100
итого	150			итого	100

Мо- это варианта с наибольшей частотой Мо= 37,т.к. f_max =88

Мо приближенно считают центральный вариант модального интервала, т.е., того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала когда найти то значение признака, который является модой.

Если распределение симметрично, то в качестве моды будет середина модального интервала, ото в том случае, если соседние с модальными, мало отличаются друг от друга. В ряду может использовано мод. Наикратное значение моды для интервального ряда.

Мо= Хмо+ hмо (f мо- fмо-1)

(fмо-fмо-1)+(fмо-fмо-1)

Хо+К* f2-f1

(f2-f1)(f2-f3)

Где х_мо - нижняя граница модального интервала

h_мо - величина модального интервала

f_мо -частота модального интервала

f_{мо-1 –} частота предшествующая модальному интервалу

f_мо+1-частота , интервала, следующегоза модальным.

Модальный интервал от 6-8

Мо= 6+2 35-20 6+ 30

35-20+35-11 = 39 = 6+0,77=6,77года

Мо применяется:

1 при изучении цен на рынках

2 при изучении спроса населения на определенный товар т.е. мода характеризует типичность.

Медиана.

Ме называется значение признака у средней единицы ранжированного ряда

Ранжированный ряд -это ряд, у которого значения признака записаны в порядке возрастания или убывания.

Что бы найти Ме определяется:

1 Порядковый № сумма f четное, то ; еслиn-нечетное , то

2 по накопленной частоте определяем ее значение.

Дискретный ряд	Интервальный
Ме определяется по накопленной частоте и номеру Ме. накопленная частота 120 показывает, что купленных пар не привышают 37 размер, а 32, что 32 пары. => 75 пара будет 37р.	где Ме – нужная граница медианного интервала h- величина медианного интервала - порядковый № ме fме-1- частота (частость) наполненная до медианного интервала . fме – частота(частость)медианного интервала.

Ме находит практическое применение вследствие особого свойства абсолютных отклонений членов ряда от Ме есть величина наименьшая

Ме находит широкое практическое применение в маркетинговой деятельности.

Величины, приходящиеся на ¼ и ¾ расстояния от начала ряда называется нижний квартиль, а ¾ и ¼ верхний квартиль.

Т.е. квартиль это варианты, делящие ряд на 4 равные части.

Дециль- варианты, делящие ранжированный ряд на 10 равных частей

1 дециль 1/10 к 9/10

2 дециль2/10 к 8/10 и т.д.

процентиль – на 100 равных частей.

Соотношение между , Мо и Ме.

1 Если = Мо = Ме, то распределение симметрично, т.е. группа симметрична.

2 Ме < при небольшой группе с большими числами.

3 < Ме при большой концентрации данных и не очень больших числах.

4 Мо < , если совокупность неоднородна

5 Мо > , если совокупность небольшая и Мо отчетливо выражена.

Все рассмотренные формы степенной средней обладают важным свойством(в отличие от структурных средних)- в формулу определения средней входят все значения ряда т.е. на размеры средней оказывают влияние значение каждого варианта.

С одной стороны, это весьма положительное свойство т.к. в этом случае учитывается действие всех причин воздействующих на все единицы изучаемой совокупности.

С другой стороны, даже одно наблюдение попавшее в исходные данные случайно может существенным образом исказить представление об уровне развития изучаемого признака в рассматриваемой совокупности.

Особенно большое значение это имеет для коротких рядов.