Чубаров лаба 1
.docxФедеральное государственное автономное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт управления бизнес-процессами и экономики
Кафедра бизнес-информатики
ОТЧЕТ О ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1
По дисциплине «Методы моделирования и прогнозирования экономики»
Вариант 6
Студент УБ 11-01 __________ Ивкина В.А.
Руководитель __________ Чубаров А.В.
Красноярск 2013
Оглавление
Постановка задачи 6
Алгоритмическая часть 7
Заключение 9
Теоретические сведения
Метод наименьших квадратов - математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных.
Он может использоваться для решения переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции.
Метод наименьших квадратов является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.
Впервые метод наименьших квадратов был использован Лежандром в 1806 году для решения задач небесной механики на основе экспериментальных данных астрономических наблюдений.
Пусть дана система уравнений , ,
где - некоторые функции,
- некоторые известные значения,
x - набор неизвестных (искомых) переменных.
Наиболее точную зависимость переменных Y от X можно установить путем приближения функции к другой функции то есть провести сглаживание экспериментальной зависимости.
Суть метода наименьших квадратов заключается в том, чтобы найти такие значения, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений (1):
(1)
В частности, метод наименьших квадратов может использоваться для решения системы линейных уравнений.
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров - a и b . Из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается
так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной.
Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции надо вычислить частные производные по каждому из
параметров a и b и приравнять их к нулю.
Обозначим через S (a,b), тогда
,(3)
После несложных преобразований, получим следующую систему
линейных уравнений для оценки параметров a и b (4):
,(4)
Решая систему уравнений, найдем искомые оценки параметров a
и b. Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые
следуют непосредственно из решения системы (5):
, (5)
Где, - среднее значение результативного признака,
– среднее значение фактора,
- дисперсия признака x,
– ковариация признаков x и y.
Существует показатель, который определяет тесноту связи между Y - результирующий признак и X - фактор, а именно коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле (6):
, (6)
Где, - коэффициент корреляции;
- результативный признак;
- фактор, влияющий на результативный признак.
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах:
. Чем ближе абсолютное значение r к единице, тем сильнее зависимость между факторами.
Чем меньше отличается абсолютная величина r от единицы, тем ближе к линии регрессии располагаются экспериментальные точки. Если коэффициент корреляции равен нулю, то переменные x и y называют некоррелированными.
Для того чтобы оценить значимость коэффициента корреляции, применяется t - критерий Стьюдента. Вычисленное значение критерия Стьюдента определяется по формуле (7):
, (7)
Где, n - объем выборки;
Значение t сравнивается с табличным значением tтабл., при заданном уровне значимости и степенях свободы Если tфакт больше tтабл., то коэффициент корреляции значительно отличается от нуля.
Постановка задачи
-
Используя метод наименьших квадратов аппроксимировать функцию Q=f(s), заданную таблично в многочлен второй степени вида : Q=a1+a2s+a3s2.
-
Построить линию тренда и сравнить результаты.
В качестве исходных данных имеем значения s и Q, заданные таблично (табл.1)
Таблица 1 - Исходные данные
N |
s |
Q |
1 |
1 |
5,21 |
2 |
1,25 |
4,196 |
3 |
1,5 |
3,759 |
4 |
1,75 |
3,672 |
5 |
2 |
4,592 |
6 |
2,25 |
4,621 |
7 |
2,5 |
5,758 |
8 |
2,75 |
7,173 |
9 |
3 |
9,269 |
Алгоритмическая часть
Выполним расчеты, которые необходимы для решения системы уравнений (табл.2).
Таблица 2 - Расчеты, необходимые для решения системы уравнений
s |
Q |
s^2 |
s^4 |
s^4 |
sQ |
s(Q^2) |
1 |
5,21 |
1 |
1 |
1 |
5,21 |
27,1441 |
1,25 |
4,196 |
1,5625 |
1,953125 |
2,441406 |
5,245 |
22,00802 |
1,5 |
3,759 |
2,25 |
3,375 |
5,0625 |
5,6385 |
21,19512 |
1,75 |
3,672 |
3,0625 |
5,359375 |
9,378906 |
6,426 |
23,59627 |
2 |
4,592 |
4 |
8 |
16 |
9,184 |
42,17293 |
2,25 |
4,621 |
5,0625 |
11,39063 |
25,62891 |
10,39725 |
48,04569 |
2,5 |
5,758 |
6,25 |
15,625 |
39,0625 |
14,395 |
82,88641 |
2,75 |
7,173 |
7,5625 |
20,79688 |
57,19141 |
19,72575 |
141,4928 |
3 |
9,269 |
9 |
27 |
81 |
27,807 |
257,7431 |
18 |
48,25 |
39,75 |
94,5 |
236,7656 |
104,0285 |
666,2844 |
Составим матрицу коэффициентов, используя систему уравнений (табл.3):
,
Таблица 3 - Матрица коэффициентов
9 |
18 |
39,75 |
18 |
39,75 |
94,5 |
39,75 |
94,5 |
236,7656 |
Составим обратную матрицу с помощью функции «МОБР» в excel (табл.4):
Таблица 4 - Обратная матрица
11,85044 |
-12,447 |
2,978417 |
-12,447 |
13,56564 |
-3,32474 |
2,978417 |
-3,32474 |
0,831186 |
Умножим каждую строку обратной матрицы на правую часть уравнений матрицы коэффициентов с помощью функции «МУМНОЖ» в excel и получим коэффициенты уравнения (табл.5):
Таблица 5 - Коэффициенты уравнения
C |
1261,414 |
B |
-1404,58 |
A |
351,6468 |
Получим функцию : Q= 351,65s2-1404,58s+1261,41
Далее строим график и на нем линию тренда (рис.1):
Рисунок 1. Линия график функции с линией тренда.
Заключение
Использовав МНК аппроксимировали функцию Q=f(s), заданную таблично многочленом второй степени, получили модель вида Q=as2+bs+c. Построили линию тренда и сравнили результаты.
При оценке результатов можно отметить, что линия тренда отклоняется от заданных значений на большие. Чтобы увеличить точность линии тренда, можно, например, добавить больше значений к исследуемой функции, выбрать большую степень при аппроксимировании или уточнить входные данные.