
- •«Национальный исследовательский ядерный университет «мифи»
- •Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда
- •Степенные ряды
- •Метод нахождения интервала сходимости степенного ряда
- •Равномерная сходимость степенного ряда
- •Степенной ряд по степеням х-а
- •Ряды Тейлора
- •Единственность разложения функции в ряд Тейлора
- •Условия разложимости функции в ряд Тейлора
- •Ряды Маклорена
- •Тригонометрические ряды Фурье
Ряды Маклорена
Если
в ряде Тейлора
,
то получим ряд Маклорена по степеням
х.
Остаточный
член
Получим разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена и найдём интервалы сходимости этих рядов.
1)
Интервал сходимости
этого ряда найдем непосредственно по
признаку Даламбера.
Интервал
сходимости
При
любом х ряд сходится по признаку
Даламбера.
- интервал сходимости.
2)
т.к
семейство производных любого порядка
равномерно ограничено
при
интервал
сходимости
3)
- интервал
сходимости.
4) Биномиальное разложение
- интервал
сходимости.
5) f(x)=ln(1+x)
Воспользуемся предыдущим биномиальным разложением:
проинтегрируем
почленно на отрезке
снимем
модуль, т.к 1+х>0
- можно показать.
6) f(x)=arctgx
воспользуемся
биномиальным разложением и заменим
проинтегрируем
на
Приближенное вычисление с помощью рядов Тейлора и Маклорена
С помощью рядов Тейлора и Маклорена можно приближенно вычислять значения функций. Для этого функцию раскладывают в степенной ряд Тейлора и заменяем сумму ряда его частичной суммой. Возникающую при этом погрешность (остаточный член) оценивают следующим образом:
1) если ряд знакочередующийся, то последствию из теоремы Лейбница, для знакочередующихся рядов, остаточный член не превосходит модуля 1 отбрасываемого члена.
2) если ряд знакоположительный, то остаточный член оценивается непосредственно.
Примеры:
1)
2)
3)
Тригонометрические ряды Фурье
Тригонометрическим
рядом Фурье для функции f(x)
на интервале от
называется ряд вида:
,
где
Условия разложимости:
Пусть f(x):
1)
Периодическая с
2) Кусочномонотонна
3)
Ограничена на
функциюf(x)
можно разложить в ряд Фурье на
,
который сходится к этой функции во всех
точках непрерывности, в точках разрыва
сумма ряда равна полусумме левого и
правого предела функции.
Замечание: Основная трудность построения рядов Фурье в вычислении интегралов.
Пример:
Разложить
функцию f(x)=x
на
в тригонометрический ряд Фурье, сделать
чертеж.
Тригонометрический
ряд Фурье от четных и нечетных функций
и на интервале
Если
f(x)
– четная
-
ряд Фурье по косинусам.
Если
f(x)
– нечетная
-
ряд Фурье по синусам.
Если
функция f(x)
определена на интервале
ее
нужно продолжить (доопределить) на
интервал
и
только потом построить ряд Фурье.
Продолжение функции на интервал
должно быть естественным, лучшее
продолжение – четное или нечетное.
Четное продолжение:
Нечетное продолжение:
Пример:
Разложить
функцию f(x)=1
на
в тригонометрический ряд Фурье продолжив
её на
нечетным образом.
Тригонометрический
ряд Фурье на интервале
Пусть
f(x)
определена на
и период
Замена:
определена
на
и с периодом
и
ее можно разложить в тригонометрический
ряд Фурье :
,
где
Замена:
t |
|
|
x |
|
|
- тригонометрический
ряд Фурье по на
Условия
разложимости функции в ряд Фурье на
интервале
аналогично условиям на интервале
Пример:
f(x)=2x+3
разложить в ряд Фурье
Ряды
Фурье на интервале
Если
f(x)
кусочно-монотонна и ограничена на
интервале
,
то её нужно продолжить на интервал
либо
чётным, либо нечётным образом.
Для чётного продолжения:
Для нечетного продолжения: