Метод нахождения интервала сходимости степенного ряда

1) Дан , фиксируем х, получаем числовой ряд, и применим к ряду из модулей (для знакоположительности) признак Даламбера.

2) По признаку Даламбера вычисляем

- чтобы ряд сходился по признаку Даламбера.

3) Рассмотрим неравенство

<1|:

- интервал сходимости.

4) На концах интервала сходимости, в точках инужно провести дополнительное исследование.

Замечание: Частным случаем может оказаться, что , тогда интервал сходимости вырождается в точку х=0точка сходимости.степенной ряд сходится на всей числовой оси и интервал сходимости

Примеры:

1)

2)

3)

4)

Равномерная сходимость степенного ряда

Теорема: равномерно сходится на любом отрезке от целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Доказательство:

Степенной ряд сходится в точкесходится числовой ряд

Возьмем степенной рядмажорируется насходящимся числовым рядомпо признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости степенного ряда, равномерносходится на

Конец доказательства.

Следствия:

1) Т.к члены степенного ряда являются непрерывными функциями, то внутри интервала сходимости сумма ряда тоже будет тоже непрерывной функцией.

2)Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом лежащем внутри интервала сходимости.

3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать внутри интервала сходимости, т.к интервал сходимости ряда из производных будет точно таким же.

Доказательство:

- степенной ряд.

- ряд из производных.

<1 у ряда из производных тот же интервал сходимости.

Конец доказательства.

Степенной ряд по степеням х-а

Рассмотрим

Сделаем замену: x-a=X

Найдём интервал сходимости полученного ряда, -R<x<R, сделаем обратную замену: -R<x-a<R|+a, a-R<x<a+R

Интервал сходимости полученного ряда имеет центр в точке А.

Пример:

Ряды Тейлора

На I курсе рассматривалась формула Тейлора для функции f(x) n+1 раз дифференцируемая в окрестности точки .

где

Если f(x) любое число раз дифференцируема в окрестности точки переходя к пределув формуле Тейлора получим:

ряд стоящий в правой части равенства называется рядом Тейлора для функции f(x) по степеням , а сама формула называетсяразложением функции f(x) в ряд Тейлора.

Формально ряд Тейлора может быть получен для любой функции, но сходится к этой функции он будет только тогда, когда

Если этот предел , то ряд либо расходится, либо сходится к совсем другой функции.

Единственность разложения функции в ряд Тейлора

Теорема: Если функция f(x) разлагается в степенной ряд по степеням , то это обязательно ряд Тейлора.

Доказательство:

Пусть функция разлагается в степенной ряд вида:

Найдём коэффициенты степенного ряда, Подставим

Продифференцируем 1 раз

Подставим

Продифференцируем 2 раз

Подставим

Продифференцируем 3 раз

Подставим

Аналогично покажем

Коэффициенты степенного ряда совпадают с коэффициентами рядами Тейлора.

Конец доказательства.

Условия разложимости функции в ряд Тейлора

Определение: Семейство функций называетсяравномерно ограниченным на множестве D, если существует число M>0, что сразу для всех функций семейства и любого.

Теорема:Пусть функция -любое количество раз дифференцируема в окрестности точкии семейство ее производных любого порядка равномерно ограничено в окрестности точки,то функциюможно разложить в ряд Тэйлора в окрестности точки.

Покажем что

Остаточный член

, где M>0 (т.к семейство производных равномерно ограничено)

Рассмотрим

Можно показать по признаку Даламбера, что ряд сходится при любом х.

По необходимому признаку сходимости

Рассмотрим

Конец доказательства.