Линейные однородные ду порядка n с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида: , где а_i – числа.

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

Слева стоит многочлен степени n, который имеет n корней с учётом их кратности и комплексности, следовательно, ФСР будет состоять из n решений:

1. Каждому простому корню характеристического уравнения , (имеющему кратность 1) ставится в соответствие

2. Каждому действительному корню кратности r ставится в соответствие r решений:

3. Каждой паре комплексно сопряжённых корней 2 фундаментальных решения:

4. Если пара комплексно сопряжённых корней имеет кратность 2 и выше, то ФСР строятся аналогично 2 случаю.

Общее решение уравнения – линейная комбинация фундаментальных решений

Основная трудность состоит в том, чтобы правильно решить характеристическое уравнение.

Пример:

Линейные неоднородные ду

Это уравнения вида:

Теорема об общем решении ДУ: Общее решение ДУ(*) имеет вид:

, где - общее решение соответствующего однородного уравнения.

Доказательство: подставим в

раскроем скобки и перегруппируемся:

(верно)

Если даны н.у

нужно показать, что все константы находятся однозначно

, где ФСР

Продифференцируем нужное количество раз и подставим н.у

получим систему n-линейных уравнений с n неизвестными . Определитель этой системы

- определитель Вронского системы функций .

Т.к - ФСР линейная система имеет единственное решение и все константы находятся однозначно.

Конец доказательства.

Замечание: Общее решение соответствующего однородного уравнения

- линейная комбинация ФСР – известно

Основная трудность нахождения y_ч – решения неоднородного уравнения.

Линейные неоднородные ду 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Рассм. ДУ

Общее решение такого уравнения:

, где

ФСР - уже рассматривали

Укажем метод нахождения частного решения неоднородного уравнения

, если f(x) имеет специальный вид.

Рассмотрим следующие случаи:

I. , где - многочлен степени n.

а) - не корень характеристического уравнения

, где - многочлен степени n с неопределенными буквенными коэффициентами. Подставим в ДУ и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях найдём все буквы.

б) - корень характеристического уравнения кратности 1

в) - корень характеристического уравнения кратности 2

2. . ,где M,Nчисла

a) не корень характеристического уравнения неопределенные коэффициенты.Подставив в ДУ и приравняв коэффициенты при

находим А и В

б) корень характеристического уравнения кратности 1

Замечание : Если в правой части есть только или

в частном решении должны быть и sin и cos , т.е тригонометрия должна быть полной.

2. .

Где ,-многочлены степеней m и n

a) не корень характеристического уравнения многочлены степени к с неопределенными коэффициентами

б) корень характеристического уравнения

Метод вариации

Рассмотрим ДУ:

Где правая часть f(x) произвольного вида (необязательно специального).

Общее решение соответствующего однородного уравнения:

, где и - произвольные const, - ФСР.

Будем варьировать и и считать, что и зависит от х. Будем искать общее решение неоднородного уравнения (исходного) в виде:

(*)

объединим и в систему

- эта система для нахождения и имеет единственное решение, т.к определитель системы ,

для системы 2-х ЛНЗ надежнее решать систему по формулам Крамера

, где

, где

решая систему получим и , проинтегрируем полученные функции по переменной х.

- проинтегрируем по х

, где А и В – константы интегрирования

Таким образом общее решение неоднородного уравнения:

Пример:

1)