Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства

Определение: Система функций - называется линейно независимой , если линейная комбинация коэффициенты .

Определение: Систему функций - называют линейно зависимой, если и есть коэффициенты .

Возьмём систему двух линейно зависимых функций т.к или - условие линейной независимости двух функций.

Примеры:

1) линейно независимы

2) линейно зависимы

3) линейно зависимы

Определение: Дана система функций - функций переменной х.

Определитель - определитель Вронского для системы функций .

Для системы двух функций определитель Вронского выглядит следующим образом:

Свойства определителя Вронского:

1. Если - линейно зависимы на [a;b]на этом отрезке.

2. Если - линейно независимые, решения дифференциального уравнения при любых значениях х в области, где определены функции а₁…а_n

Теорема: Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка.

Если y₁ и y₂ – линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка, то

общее решение имеет вид:

Доказательство: - решение по следствию из Т1 и Т2.

Если даны начальные условия то и должны находится однозначно.

- начальные условия.

Составим систему для нахождения и . Для этого подставим начальные условия в общее решение.

определитель этой системы: - определитель Вронского, вычисленный в точке х₀

т.к и линейно независимы(по 2⁰)

т.к определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение и и находятся из системы однозначно.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n

(*)

Можно показать что уравнение имеет n линейно независимых решений

Определение: n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n называется фундаментальной системой решения.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n , т.е (*) – линейная комбинация фундаментальной системы решений:

, где - фундаментальная система решения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида: , где p и g – числа(*)

Определение: Уравнение - называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (*) – обычное квадратное уравнение, решение которого зависит от D, возможны следующие случаи:

1)D>0 - два действительных различных решения.

2)D=0 - один действительный корень кратности 2.

3)D<0- два комплексно сопряжённых корня.

Для каждого из этих случаев укажем фундаментальную систему решений, составленную из 2 функций и .

Будем показывать что:

1) и - ЛНЗ

2) и - решение (*)

Рассмотрим 1 случай D>0 - 2 действительных различных корня.

Характеристическое уравнение:

В качестве ФСР возьмём:

а) покажем ЛНЗ

б) покажем, что - решение (*), подставим

+ p+g=0

верное равенство решение (*)

аналогично показывается для y₂.

Вывод: - ФСР (*) общее решение

Рассмотрим 2случай: D=0 - 1 действительный корень кратности 2.

В качестве ФСР возьмём:

ЛНЗ: ЛНЗ есть.

- решение уравнения (см. 1 случай). Покажем что - решение.

подставим в ДУ

- решение.

Вывод: ФСР

Пример:

3 случай: D<0- 2 комплексно сопряжённых корня.

подставим в характ. уравнение

комплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0.

- будем использовать.

Покажем, что - образуют ФСР.

А)ЛНЗ:

Б) - решение ДУ

верное равенство- решение ДУ.

Аналогично показывается, что тоже решение.

Вывод: ФСР:

Общее решение:

Пример:

Если заданы н.у.

- то сначала находят общее решение , его производную: , а потом в эту систему подставляют н.у и находят и .

Пример:

Н.у: