27

Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

Методические указания к выполнению ИДЗ по теме «Числовые ряды»

ЧИСЛОВОЙ РЯД. СХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА

Выражение вида (1)

где ─ числа, называется числовым рядом.

Числа ; ;…;; … ― члены ряда; число ― общий член ряда.

Последовательность ; ;…; называется последовательностью частичных сумм, а ― п-й частичной суммой ряда.

Если существует и равен числу S, т.е. , то ряд (1) называется сходящимся, а S – его суммой. Если не существует или бесконечен, то ряд (1) называется расходящимся и суммы не имеет.

Пример 1. Дан ряд . Установить сходимость этого ряда и найти его сумму.

Решение. Представим общий член ряда в виде суммы простых дробей методом неопределённых коэффициентов.

Корни квадратного трёхчлена :

, , ,

;

,

; .

Следовательно, .

Запишем п-ю частичную сумму ряда и преобразуем её:

Поскольку , то данный ряд сходится и его сумма S=.

Ответ: сходится; S=.

Необходимый признак сходимости ряда

Если числовой ряд сходится, то .

Замечание. Обратное утверждение не верно.

Достаточный признак расходимости ряда

Если , то числовой ряд расходится.

Пример 2. Исследовать ряды на сходимость:

а).

Решение. Общий член ряда . Так как то ряд расходится по достаточному признаку расходимости.

Ответ: расходится.

б) .

Решение. Общий член ряда .

Так как то данный ряд расходится по достаточному признаку расходимости.

Ответ: расходится.

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Первый признак сравнения

Даны два ряда с положительными членами (1) и (2) и, начиная с некоторого номера , выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Второй признак сравнения (предельный)

Даны два ряда с положительными членами (1) и (2) и существует конечный, равный числу А (0), тогда ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

В качестве рядов для сравнения целесообразно выбирать:

1) ряд из членов геометрической прогрессии , который сходится при и расходится при .

2) обобщенный гармонический ряд , где p>0, который сходится при и расходится при .

Пример 3. Исследовать ряды на сходимость:

а).

Решение. Так как >, то, перейдя к обратным выражениям, получим . Для сравнения возьмем сходящийся обобщенный гармонический ряд . ; . Так как , то по первому признаку сравнения из сходимости следует сходимость ряда . Итак, исходный ряд сходится (его члены меньше членов сходящегося ряда).

Ответ: сходится.

б).

Решение. Так как , то, перейдя к обратным выражениям, получим . Для сравнения возьмем расходящийся обобщенный гармонический ряд . ; .

Так как , то по первому признаку сравнения из расходимости следует расходимость ряда . Итак, исходный ряд расходится (его члены больше членов расходящегося ряда).

Ответ: расходится.

в) .

Решение. Так как , то, перейдя к обратным выражениям и домножив обе части неравенства на , получим . Для сравнения возьмём сходящийся ряд из членов геометрической прогрессии , : ; .

Так как , то по первому признаку сравнения из сходимости следует сходимость .

Исходный ряд сходится (его члены меньше членов сходящегося ряда).

Ответ: сходится.

Пример 4. Исследовать ряды на сходимость:

а) .

Решение. Общий член ряда .

Для сравнения возьмём расходящийся обобщенный гармонический ряд () с общим членом .

Вычислим

Так как этот предел – число (0), то оба ряда расходятся одновременно по второму признаку сравнения.

Ответ: расходится.

б).

Решение. Общий член ряда .

Сравним ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом с общим членом .

Вычислим

==.

Так как этот предел – число ( 0), то по второму признаку сравнения оба ряда сходятся одновременно.

Ответ: сходится.

в) .

Решение. Общий член ряда .

Сравним этот ряд со сходящимся рядом из членов геометрической прогрессии с общим членом .

Вычислим 0.

Так как этот предел – число ( 0), то по второму признаку сравнения оба ряда сходятся одновременно.

Ответ: сходится.

Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел .

Тогда: 1) при D < 1 ряд сходится;

2) при D > 1 ряд расходится

( при D = 1 признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда).

Пример 5. Исследовать ряды на сходимость:

а) .

Решение. ; .

Вычислим .

Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

Ответ: сходится.

б) .

Решение. ; .

Вычислим

>1.

Следовательно, ряд расходится по признаку Даламбера.

Ответ: расходится.

в) .

Решение. ; .

Вычислим.

Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

Ответ: сходится.

Радикальный признак Коши

Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел .

Тогда: 1) при С < 1 ряд сходится;

2) при С > 1 ряд расходится

( при С = 1 признак не дает ответа о сходимости ряда).

Пример 6. Исследовать ряды на сходимость:

а).

Решение. Общий член ряда .

Вычислим >.

Следовательно, ряд расходится по радикальному признаку Коши.

Ответ: расходится.

б).

Решение. Общий член ряда .

Вычислим .

Следовательно, ряд сходится по радикальному признаку Коши.

Ответ: сходится.

в).

Решение. Общий член ряда .

Вычислим

.

Следовательно, ряд сходится по радикальному признаку Коши.

Ответ: сходится.

Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд с положительными членами такой, что члены ряда монотонно убывают и функция , непрерывная при такая, что .

Тогда и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 7. Исследовать ряды на сходимость:

а) .

Решение. Положим . Эта функция удовлетворяет всем требованиям интегрального признака Коши.

Рассмотрим несобственный интеграл.

― число.

Tак как несобственный интеграл сходится, то и исходный ряд сходится по интегральному признаку Коши.

Ответ: сходится.

б).

Решение. Положим . Эта функция удовлетворяет всем требованиям интегрального признака Коши.

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Следовательно, несобственный интеграл расходится, тогда и ряд

расходится по интегральному признаку Коши.

Ответ: расходится.

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Ряд вида , где , называется знакочередующимся рядом. Для знакочередующегося ряда справедлива теорема Лейбница.

Теорема Лейбница

Если для знакочередующегося ряда выполняется 1) ; 2) , то ряд сходится и его сумма S удовлетворяет условию .

Наряду со знакочередующимся рядом рассмотрим ряд из абсолютных величин , члены которого – положительные числа. Если ряд из абсолютных величин сходится, то знакочередующийся ряд тоже сходится и называется абсолютно сходящимся. Если ряд из абсолютных величин расходится, а знакочередующийся ряд сходится (по теореме Лейбница), то называется условно сходящимся.

Исследовать знакочередующиеся ряды на абсолютную и условную сходимость можно по следующей схеме:

1. Вычислить. Если , то ряд расходится по достаточному признаку расходимости и исследование этого ряда закончено.

2. Составить ряд из модулей ― знакоположительный числовой ряд. Используя признаки сходимости рядов с положительными членами, исследовать его на сходимость. Если ряд из модулей сходится, то исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно и исследование этого ряда закончено.

3. Проверить выполнение условий теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов. Если условия выполнены, то знакочередующийся ряд сходится условно, если нет – то расходится.

Пример 8. Исследовать знакочередующиеся ряды на абсолютную и условную сходимость.

а) .

Решение. Общий член ряда .

1. Проверим. Следовательно, исходный ряд расходится по достаточному признаку расходимости.

Ответ: расходится.

б) .

Решение. Общий член ряда .

1. Проверим .

2. Составим ряд из модулей ― знакоположительный числовой ряд, и применим к нему интегральный признак Коши. Положим . Эта функция удовлетворяет требованиям интегрального признака Коши. Рассмотрим несобственный интеграл =

= число.

Следовательно, несобственный интеграл и ряд из модулей сходятся одновременно по интегральному признаку Коши. Поэтому исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Ответ: сходится абсолютно.

в) .

Решение. Общий член ряда .

1. Проверим .

2. Составим ряд из модулей, ― знакоположительный ряд, и применим к нему второй признак сравнения. Для сравнения возьмём расходящийся обобщённый гармонический ряд с общим членом .