ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

π

π

1.

Вычислить повторный интеграл

∫4 dx∫4 (cos2 x +sin2 y)dy .

0

0

0

4 + y 2

2.

Изменить порядок интегрирования

∫ dy

∫ f ( x , y ) dx .

−2

−2 − y

3.

Перейдя к полярным координатам, вычислить ∫∫

x2 + y2 dxdy , где

D

область D ограничена кардиоидой r = a(1−cosϕ).

4.

Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры,

ограниченной линиями y = x2 ,

y = 4x2 ,

y = 4.

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

z =1+ y2 , x + y =1,

x = 0 , y = 0 , z = 0 .

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

2

x2

1.

Вычислить повторный интеграл ∫dx ∫(2x − y)dy .

1

x

2.

Изменить порядок интегрирования в ∫2

dx

2 ∫x f ( x , y ) dy .

0

x 2

4

3.

Вычислить ∫∫dxdy , если D ограничена линиями y = ln 2x , x =3 и

D

осью

OX .

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями z =1 − x2 , 3x + y = 6 ,

y = 0 , z = 0 .

6.

Вычислить момент инерции относительно начала координат фигуры,

ограниченной линиями 2x +3y = 6 , x = 0 , y = 0 .

7.

Вычислить ∫xdy + ydx по контуру, составленному линиями y = x2 и

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

3

2 x

+ 2 y)dy .

1.

Вычислить повторный интеграл ∫dx ∫(x

2

x

Изменить порядок интегрирования ∫4

3 +

1

x 2

2.

dx

∫2 f ( x , y ) dy

0

1

x

2 −

2

3.

Вычислить ∫∫y3 dxdy , если область D ограничена линиями

D

x2 + y2 = 2a2 , y = x , x = 0 в первой четверти.

4.

Вычислить с помощью двойного интеграла площадь, ограниченную

линиями y = 3 − x2 , y =1 + x .

5.

Найти объем тела, ограниченный поверхностями z = 3y2 , z = 4 − y2 ,

7.

Вычислить криволинейный интеграл ∫

y2 +1

x

dy

вдоль отрезка

y

dx −

y

2

AB , где A(1;2) , B(2;4) .

8.

Проверить, является ли данное выражение

(2 cos 2x cos 3y −

1

)dx +(

2

−3sin 2x sin 3y)dy

y

x

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

π

π

1.

Вычислить повторный интеграл ∫dx∫2 ex+sin y cos ydy .

0

0

Изменить порядок интегрирования ∫4

3

x + 4

2.

dx

4 ∫ f ( x , y ) dy .

0

1

x +1

2

3.

Вычислить ∫∫(x + y2 )dxdy , если область D ограничена линиями y = x2 ,

D

7.

Вычислить ∫ydx +

x

dy , где C - дуга кривой y = e−x от A(0;1) до

C

y

B(−1; e) .

8.

Проверить, является ли данное выражение

(2xy −

1

)dx +(x2 −

2

)dy

y3

x2

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

2

y2

1.

Вычислить повторный интеграл ∫dy ∫(3x2 −2xy + y)dx .

0

0

2

4+2 x2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dx ∫ f (x, y)dy .

0

4−x2

3.

Вычислить ∫∫

ydxdy

, где область D ограничена линиями

y = x , x = 3 ,

2

D

1+ x

осью OX .

4.

Вычислить площадь, ограниченную эллипсом

x2

+

y2

=1, двойным

16

25

интегралом.

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

x2

+ y2

=1,

z = 3 − x − y , z = 0 .

6.

Найти массу фигуры, ограниченной линиями y = x ,

x = 4 , y = 0 , если

плотность в каждой её точке равна произведению координат.

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

2

y

1.

Вычислить повторный интеграл ∫dy ∫(x2

+ y2 )dx .

1

0

2

8−x2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dx ∫

f (x, y)dy .

0

1 x2

2

3.

Вычислить ∫∫

dxdy

, где область D ограничена линиями y − x = 3 , x =1

x + y

D

Вычислить ∫xdy − ydx вдоль астроиды

3

7.

x = acos3

t,

совершая обход

L

y = asin

t,

против часовой стрелки.

8.

Проверить, является ли данное выражение

(x + y sin 2 y)dx +(xy sin 2 y + x sin 2 y −4)dy

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

1.

Вычислить повторный интеграл ∫2

dx

2−∫x x(1 − y )dy .

−6

1

x2 −1

4

1

1−x2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dx ∫ f (x, y)dy .

−1

x2 −1

3.

Вычислить ∫∫ρsin 2 ϕdρdϕ, где область D ограничена окружностью

D

линиями y = x2 y = 0 x + y = 2 .

5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

z =

1

x2

, x + y = 2 ,

2

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

e

ln x

1.

Вычислить повторный интеграл ∫dx ∫(x + 2)dy .

1

0

0

4−y2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dy ∫ f (x, y)dx .

−1

−y

3.

Вычислить ∫∫

dxdy

, где область D ограничена прямыми y = x , x = 2

2

D

4 + y

7.

Вычислить ∫(x + y)dx +(x − y)dy вдоль окружности радиусом r =1 с

L

центром в начале координат, обходя ее против часовой стрелки.

8.

Убедиться, что заданное выражение

(x −

y

)dx +(

x

− y + 2)dy

x2

+ y2

x2

+ y2

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

1

x2 +2

1.

Вычислить повторный интеграл ∫dx

∫(3xy +1)dy .

0

2−x

1

x2 +1

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dx ∫ f (x, y)dy .

0

−2 x

3.

Вычислить ∫∫(x2

+ y2 )dxdy , перейдя к полярным координатам,

если

D

область D ограничена окружностями

x2 + y2

= ax , x2

+ y2 = a2

и осью

OY .

4.

Двойным интегралом вычислить площадь, ограниченную линиями

x2

+

y2

=1, y = 0 , y > 0 .

9

16

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями x = y , x +2 y

= 6 ,

z = x2 z = 0 .

6.

Найти массу фигуры, ограниченной линиями xy

= 4 ,

x + y = 5, если ее

плотность ρ = x + y .

(3, 4)

7.

Вычислить интеграл

∫(x2

− y)dx + ( y2 − x)dy

( 0,0)

8.

Убедиться, что заданное выражение

(

y2

−

1

+1)dx

+(

x2

+

1

)dy

(x + y)2

(x + y)2

x

y