расчетка 3

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

π

sin x

1.

Вычислить повторный интеграл ∫dx ∫

(2 + y2 )dy .

0

0

16−x2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫4 dx

∫2

f (x, y)dy .

0

2−

1

x

2

3.

Вычислить ∫∫xydydx , где область D ограничена линиями y = cos x ,

D

7.

Вычислить криволинейный интеграл

∫(xy − x2 )dx + xdy вдоль линии

L

L : y = 2x2 от A(0,0) до B(1;2) .

8.

Убедиться, что заданное выражение

(

y

+ln y + 2x)dx +(ln x +

x

−8)dy

y

x

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

2

y+3

Вычислить повторный интеграл ∫3

1.

dy ∫(x − y )dx .

0

2 y2

Изменить порядок интегрирования ∫4

25−y2

2.

dy ∫ f (x, y)dx .

0

0

3.

Перейдя к полярным координатам, вычислить ∫∫xy2 dxdy , если область

D

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = y ,

z

= 0 , x = 0 ,

y = 4 − x , y =

1

x −

1

.

2

2

6.

Найти центр тяжести площади, ограниченной линиями y2

= 2 px ,

x = 2 p .

7.

Вычислить ∫xdy + ydx , где С- окружность радиуса r =1

с центром

C

(

1

−

y

)dx −(

x

−

1

−2 y)dy

y −1

(x −1)2

( y −1)2

x −1

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

1.

Вычислить повторный интеграл ∫3

dx∫6

dy .

1

3

x + y

2

4−x2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dx

∫ f (x, y)dy .

0

4−2 x2

3.

Вычислить ∫∫y ln xdxdy , где область D ограничена линиями y = x ,

D

5.

Найти объем тела, ограниченного линиями z

= y ,

y

= 4 − x , z = 0 ,

y =

1

x −

1

.

2

2

6.

Найти центр тяжести четверти эллипса

x2

+

y2

=1,

x

≥ 0 , y ≥ 0 .

25

4

(3,6)

7.

Вычислить интеграл ∫(3x2 y +1)dx + (x3

− 4)dy .

(1, 2 )

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

1. Вычислить повторный интеграл

2∫πdx∫a

y2 sin 2 xdy .

0

0

0

1

x+1

2

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями z =8 −2 y2 ,

x +3y = 6 ,

z = 0 , y = 0 , x = 0 .

6.

Найти момент инерции относительно оси OX фигуры, ограниченной

линиями x

+ y −5 = 0 , xy = 4 .

7.

Вычислить ∫sin ydx + sin xdy вдоль прямой AB от A(0;π) до B(π;0) .

уравнение (

y2

− 2xy2 +1)dx + (2 y ln x − 2x2 y)dy =0 .

x

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

1.

Вычислить повторный интеграл

∫1

dx ∫x (xy2 + y)dy .

0

x2

2

x2 +3

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dx

∫ f (x, y)dy .

0

x

3.

Вычислить ∫∫(x − y)dxdy , где область D ограничена линиями y = x3 ,

D

y = x , x = 3.

4.

Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями xy = 6 , 2 y = x , y = 0 ,

x = −6 .

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0 , z = 2 − x − y ,

y = x2 , y = 0 .

6.

Найти момент инерции относительно оси OY фигуры, ограниченной

линиями x

+ y −5 = 0 , xy = 4 .

7.

Вычислить

∫

y

dx + xdy вдоль кривой y = ln x от A(1;0) до B(e;1) .

x

8. Убедиться, что заданное выражение

−x

2

1

e

−

dx + sin 3y −

dy

3

2

x

x

y

2

y

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

2

1

1.

Вычислить повторный интеграл ∫1

dxx∫

(

xy2

−2 y)dy .

0

x3

4

8−

1

y2

4

2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dy

∫ f (x, y)dx .

0

2−

1

y

2

3.

Вычислить ∫∫

dxdy

, где область D ограничена линиями

y = −1,

x + 2 y

D

x + y = 2 , x =1, x = 2 .

4.

Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной

линией r = 25cos 2ϕ .

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями x =1− z2 , y = 3x −3 ,

x = 0 , y = 0 .

6.

Найти статический момент относительно оси OX фигуры,

ограниченной линиями x

+ y = 5 ,

y =

4

.

x

7.

Вычислить ∫xdy − ydx вдоль циклоиды

x = a(t −sin t)

от

y = a(1 −cos t)

A(2πa;0) до B(0;0) .

8.

Убедиться, что заданное выражение

1

1

+ 2x +1 dx +

−3 dy

x + y

x + y

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

1.

Вычислить повторный интеграл

2∫πdx∫a

y cos2 xdy .

0

0

3 +

1

x 2

4

2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dx

∫ f (x, y)dy .

0

2 −

1

x

2

3.

Вычислить ∫∫

dxdy

, где область D ограничена линиями y − x =1,

D x +3

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

z2 = 4 − x ,

x2 + y2 = 4x .

6.

Найти момент инерции площади эллипса 4x2

+ y2

= 4 в первой четверти

относительно оси OX .

7.

Вычислить ∫(x2 + y)dx +( y2

+ x)dy от A(1;2)

до B(3;5) вдоль

L

ломаной, состоящей из отрезков линий

x =1, y = 5.

8.

Убедиться, что заданное выражение

cos x cos y

sin y

3sin x +

dx +

−cos y dy

sin 2 x

sin x

есть полный дифференциал некоторой функции

u = u(x, y) , и

восстановить её.

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

___________________________________________________________________________

Вариант 17

3

9−x2

1. Вычислить повторный интеграл ∫dx

∫(2 y +1)dy .

0 x2

3.

Вычислить ∫∫(x + y +1)dxdy , где область D ограничена линиями

D

x = 3y , x = 4 − y2 , x = 0 (x ≥ 0) .

4.

Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями xy = 9 , y = x , y = 9 , x = 0 .

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями z2 = 4 − x2 − y2 , z = 0 .

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

3+

1

y2

4

2

1.

Вычислить повторный интеграл ∫dy

∫( y2 + x)dx .

0

4−y

2

4 25−x2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dx

∫ f (x, y)dy .

0

3

x

2

3.

Перейдя к полярным координатам, вычислить ∫∫xy2 dxdy , если область

D

D ограничена окружностью x2 + y2 = 4 .

4.

Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями y2

= 4 −2x , y = 2 + x .

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями z =

1

y2 , z = 0 ,

2

2x − y = 0 , x + y = 9 .

6.

Найти полярный момент инерции фигуры, ограниченной линиями

x

+

y

=1, x = 0 , y = 0 .

4

3

7.

Вычислить ∫

ydx2

− xdy2 , где L- окружность

x = Rcost,

(обход против

L

x

+ y

y = Rsin t,

ИрГУПС

Кафедра “Высшая математика”

10.4.7.

Кратные и криволинейные интегралы

2

8−x2

1. Вычислить повторный интеграл ∫dx

∫xydy .

0

1 x2

2

3+

1

y2

4

2

2.

Изменить порядок интегрирования ∫dy

∫ f (x, y)dx .

0

2−

1

y

2

3.

Вычислить ∫∫x( y −1)dxdy , где областьD ограничена линиями x = y2 +1,

D

y =1, x = 0 , y = 0 .

4.

Двойным интегралом вычислить площадь фигуры, ограниченной

линией x2 + y2 = 3y .

5.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

z = x2 , z = 0 ,

x −2 y + 2 = 0 , x + y = 7 .

6.

Найти статический момент инерции относительно оси OY фигуры,

ограниченной линиями x + y −5 = 0 , xy = 4 .

7.

Вычислить ∫xex3 dy + ydx вдоль параболы y = x2

от A(0;0) до B(1;1) .

ydx

x

+ y +

dy

1 − x

2

y

2

1 − x

2

y

2