Решение.

1. В урне 5 красных и 6 некрасных шаров

.

2. a) P(ж и ж) = = 0.11.

б) P(к и к или с и с или ж и ж) =

в) Для двух шаров событие «шары разного цвета» противоположно

событию «шары одного цвета» => P(в) = 1 − P(б) = 1 – 0.31 = 0.69.

г) Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров и найдем

P(A) = 1 – P() = 1 – P(н и н) = .

3. а) Р(к и к и к или с и с и с или ж и ж и ж) = = 0.085.

б) P(к, ж, с) = = 0.24

Примечание. Множитель 3! Соответствует числу перестановок 3-х элементов.

в) Решим задачу по формуле полной вероятности. В урне находятся 4 желтых и 7 нежелтых шаров. Событие А – желтый шар из 3-х.

Гипотезы: H₁ – 3 желтых шара;

H₂ – 2 желтых и 1 нежелтый;

H₃ − 1 желтый и 2 нежелтых;

H₄ – 3 нежелтых.

Контроль

4. Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров. Событие А – шары одного цвета.

Гипотезы:

Н₁ – 2 красных шара;

Н₂ – 2 некрасных шара;

Н₃ – 1 красный и 1 некрасный.

Надо найти . По формуле Байеса .

Контроль

5. В урне находятся 5 красных и 8 синих шаров. Шар извлекается и возвращается в урну 4 раза. Найти вероятность того, что красный шар появится:

а) ровно 3 раза; б) не менее 2-х раз.

Для решения задачи применяем формулу Бернулли ,

а)

б)

6. Из урны, содержащей 7 синих и 8 желтых шаров наудачу извлекаются 4 шара. Построить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины равной числу синих шаров среди извлеченных 4-х шаров.

Значение случайной величины

Найдем их вероятности:

Проверим свойство ряда: .

Xk	0	1	2	3	4
Pk

Итак, ряд распределения Х :

Математическое ожидание

7. Дискретная случайная величина Х с известным математическим ожиданием М(Х) = 3.7 задана рядом распределения:

Xi			2	5	10
Pi	0.1	р2	0.2	р4	0.2

Требуется:

а) найти p₂ и p₄ ;

б) построить многоугольник распределения;

в) построить интегральную функцию F(x) и ее график;

г) вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

а) найдем из условий и

Получим систему уравнений:

Xi	− 6	− 1	2	5	10
Pi	0.1	0.1	0.2	0.4	0.2

.

б) для ряда распределения:

строим многоугольник распределения:

в) интегральную функцию строим с помощью свойства :

при
при
при
при
при
при

г) дисперсия .

(по условию) и

среднее квадратическое отклонение .

8. Задана дифференциальная функция (плотность) распределения

Найти:

а) параметр ;

б) интегральную функцию ;

в) математическое ожидание и дисперсию ;

г) вероятность события .