ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Справочный материал.

Случайные события:

- вероятность события P(A) = , n – число всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания, а m – число исходов благоприятствующих появлению события А;

P_n = n! - число перестановок n различных элементов

( n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙∙ n, при этом 0! = 1 );

число размещений m различных элементов в n местах

(m ≤ n);

число сочетаний по m элементов из n различных

элементов ( m ≤ n, );

А + В – это событие, состоящее в появлении А или В или А и В вместе;

А ∙ В – это событие, состоящее в появлении А и В вместе;

– это событие противоположное А;

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) для несовместных событий А и В;

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) − Р(А∙В) для совместных событий А и В;

Р(А∙В) = Р(А) ∙ Р(В) для независимых событий А и В;

Р(А∙В) = Р(А)∙Р для зависимых событий А и В, где Р – условная вероятность появления события В при условии, что событие А

уже появилось;

формула Бернулли для вычисления вероятности появления события А ровно раз в серии из n испытаний, при этом

Р(A) = p в каждом испытании, Р() = q, p + q = 1;

Р(А) = - формула полной вероятности, при этом гипотезы H_i образуют полную группу событий, то есть они попарно

независимы и , а событие А происходит только с одной из гипотез H_i;

- формула Байеса для вычисления вероятности гипотезы Н_к при условии, что событие А произошло.

Случайные величины.

Дискретная случайная величина (ДСВ):

X принимает изолированные числовые значения x1, x2 , .... ;

- ряд распределения ДСВ – это таблица вида:

xi	x1	x2	....
Pi	P1	P2	...

при этом

- многоугольник распределения – это ломаная, соединяющая точки ();

- интегральная функция F(x) = P(X < x) = F(a) + P(a ≤ X < x) представляет собой ступенчатую кривую;

- математическое ожидание ДСВ определяется формулой ;

- свойства: M(С) = C, M(hX + C) = h ∙M(X) + C;

- дисперсия D(X) = M(X − M(X))² = M(X²) − M²(X);

- расчетные формулы: D(X) ;

- свойства: D(X) ≥ 0, D(0) = 0, D(h∙X + c) = h² ∙D(X);

- среднее квадратическое отклонение ; Основные виды распределений ДСВ.

1. Геометрическое: X = k = 1, 2, 3...

,

2. Распределение Бернулли (биноминальное): X = k = 0, 1, 2, ..... , n

M(X) = n ∙ p, D(X) = n ∙ p ∙ q, ;

3. Распределение Пуассона: X = k = 0, 1, 2, ... , n

M(X) = a, D(X) = a,

Непрерывная случайная величина (НСВ):

X принимает числовые значения ;

- плотность (дифференциальная функция) распределения вероятностей:

- интегральная функция распределения:

F(x) = P(X < x) = , при этом ;

- вероятность попадания НСВ в интервал

P(α < X < β) = F(β) – F(α) =

- математическое ожидание M(X) =

- дисперсия D(X)

- среднее квадратическое отклонение .

Основные виды распределений НСВ:

1. Равномерное распределение в интервале (a, b)

при

при

при

при

при a x b,

при ,

M(X) = D(X) =, ;

1. Показательное распределение

при

при

при

при

M(X) =, D(X) = ,

2. Нормальное распределение

F(x) = 0.5 + Ф(), где Ф(z) = – функция Лапласа (ее значения имеются в приложениях учебников по теории вероятностей);

M(X) = a, D(X) = , ,

P(α < X < β) = Ф – Ф.

Примеры.

1. Из разрезной азбуки сложено слово МАМА, затем рассыпано и сложено случайным образом. Найти вероятность того, что снова получится слово МАМА.

P =, n = P₄ = 4! = 24, m = 2! ∙ 2! = 4 => P = = = 0.17.

2. Четыре человека, среди которых двое знакомых, случайным образом рассаживаются в ряд, состоящий из шести стульев. Какова вероятность того, что знакомые окажутся рядом сидящими?

n =, m = (4∙2 + 2) ∙ =P = = . 3. Из группы, состоящей из 4 студенток и 7 студентов, случайным образом отбираются 5 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется ровно 2 студентки?

, .

4. Из урны, в которой находятся 5 красных, 2 синих и 4 желтых шара наудачу без возвращения в урну извлекаются:

1. 7 шаров. Найти вероятность того, что среди этих шаров окажется ровно 3 красных;

2. 2 шара. Найти вероятность того, что:

а) это будут желтые шары;

б) эти шары будут одного цвета;

в) эти шары будут разного цвета;

г) среди этих шаров будут хотя бы один красный;

3. 3 шара. Найти вероятность того, что:

а) эти шары будут одного цвета;

б) эти шары будут разных цветов;

в) взятый из них наудачу один шар окажется желтым;

4. 2 шара и они оказались одного цвета. Найти вероятность того, что это красные шары.