7.3. Резонанс напряжений в цепи r, l, с

В цепи три последовательном соединении R, L, С возможен резонанс напряжений. Такую цель называют последовательным колебательным контуром.

На рис. 7.6 а представлена эта цепь, а на рис. 7.6 б приведена векторная диаграмма цеди для случая резонанса напряжений.

Входное комплексное сопротивление данной цепи

где – реактивное сопротивление контура;R – активное и

–полное сопротивление (по модулю).

Угол сдвига фаз между приложенным напряжением, и токов запишется в виде

.

Условие резонанса напряжений: х =0 при ,.

Угловая резонансная частота .

Отметим, сто режим резонанса может наступит и при изменении или индуктивности катушки или ёмкости конденсатора; в этом случае ;.

Условимся, что будем рассматривать случай изменения частоты источника питания.

Модуль тока в цепи при заданном напряжений С:

В режиме резонанса ток наибольший и равен

При резонансе ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и это отмечено на векторной диаграмме (рис. 7.6 б).

Характеристическое сопротивление контура равно сопротивлению катушки индуктивностипри резонансе или сопротивлению конденсатора при резонансе

(учтем, что ):

;

.

На рис. 7.7 приведены частотные характеристики последовательного контура, кривые построены по формулам

; ;;.

Кривая тока имеет максимум при резонансной частоте. Если(постоянная ЭДС), ток равен нулю, так как постоянный ток через конденсатор не проходит. Если, тогдаи ток в цепи также стремится к нулю.

Напряжение на конденсаторе U_С при равно напряжению генератора U_Г. Затем, по мере возрастания тока, напряжение U_С вначале увеличивается, достигает максимума при частоте , а затем начинает уменьшаться. Максимум напряжения на конденсаторе наступает на частоте, которая меньше резонансной. Это можно показать и аналитически, для этого нужно определить максимум функцииU_С = U_С() из уравнения dU_С/d = 0. При этом оказывается, что частота максимального напряжения на конденсаторе рассчитывается пo формуле

Напряжение на катушке индуктивности вначале возрастает, становится равным напряжению на конденсаторе при резонансе, затем достигает максимума на частоте более высокой, чем резонансная частота. Это же можно доказать аналитически, определив максимум функция U_L = U_L() из уравнения dU_L/d = 0.

Частота максимального напряжения на катушке индуктивности может быть рассчитана по формуле

Следует иметь в виду, что .

При неограниченном увеличении частоты U_L стремится к напряжению U_R.

Кривая определяет сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. При частотах, меньших резонансной, в цепи преобладает емкостное сопротивление и поэтому уголотрицательный, а после резонанса сопротивлениеL, больше, чем , и поэтому уголстанет положительным.

7.4. Энергетические соотношения при резонансе

Пусть в последовательном колебательном контуре R, L, С при резонансе ток равен

.

Тогда напряжение на конденсаторе равно

.

Суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля

катушки индуктивности равна

При выводе этих формул учитывалось следующее (при ):

При резонансе суммарный запас энергии магнитного поля и электрического поля не меняется. Происходит перекачка энергии от одного накопителя энергии в другой. Уменьшение энергии электрического поля конденсатора сопровождается увеличением энергии магнитного поля катушки индуктивности и наоборот. Энергия, поступающая от источника питания в любой промежуток времени, целиком переходит в тепло. Поэтому относительно источника питания цепь эквивалентна одному активному сопротивлению. При этом ;.