Сопромат 22612
.pdfМаксимальное касательное напряжение:
| |
Определение прогибов балки.
Начало координат выбираем в жесткой заделке. Распределённая нагрузка q действует только на последнем участке. Доводим распределённую нагрузку q до жесткой заделки и показываем компенсирующую нагрузку.
Уравнение прогибов:
( |
) |
( |
) |
( |
) |
|||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прогиб в жёсткой заделке равен нулю, следовательно, начальные параметры Y0=0, φ0=0.
Прогибы балки:
при x=2.8 м
( )
( )
при x=5,6 м
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
( |
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
( |
) |
;
По полученным значениям строим изогнутую ось балки.
m |
M |
|
|
F |
Q |
||
|
R
a |
b |
c |
c |
2 |
2 |
26
Q, кН
+ |
14 |
|
|
|
0 |
М, кНм |
|
0 |
|
-1,75 |
|
|
-7 |
|
|
|
|
|
- |
|
|
-64,2 |
|
|
-80,2 |
|
|
-142,6 |
|
m |
M |
|
|
|
|
|
|
q |
|
F |
|
R |
|
|
|
|
qk |
|
|
a |
b |
c |
c |
2 |
2 |
y, мм
0,16
7,6
Задача № 6Б.
Исходные данные. F=12 кН; q=14 кН/м; a=2.4 м; b=2.2 м; c=1 м.
q |
F |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
a |
c |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Силу, равномерно распределенную вдоль отрезка прямой, заменяем равнодействующей.
( |
) |
( |
) |
Записываем уравнения статики и определяем опорные реакции.
∑
∑
Проверка.
∑
Эпюра поперечных сил.
Пересечение эпюры с осью абсцисс:
Эпюра изгибающих моментов.
( )
Подбор деревянной балки прямоугольного сечения.
| |
[ ]
по условию h=4b
( )
√
Сечение деревянного бруса 9,88×2,47 см.
|
Q |
F |
F |
|
RA |
|
RB |
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
2,3 |
2,2 |
2,4 |
1 |
|
41,38 |
|
|
Q, кН |
|
10,58 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
0 |
|
|
|
|
- |
-1,42 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
-13,42 |
x |
-33,6 |
|
|
|
|
|
|
М, кНм |
|
16,83 |
13,42 |
|
|
||
0 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
-40,32 |
|
|
Задача №8.
Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рис. 1, сжимается продольной силой F, приложенной в точке В.Требуется вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжение в поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через F и размеры сечения. Из условия прочности определить допустимую нагрузку [F] при за-
данных размерах поперечного сечения стержня. Расчет производить по допускаемым напряжениям на сжатие [σсж] и растяжение [σр].
Рисунок 1
Дано: а = 4 см; b = 8 см; [σсж] = 60 МПа; [σр] = 30 МПа.
Решение:
1. Геометрические характеристики в расчетных формулах берутся относительно главных центральных осей, поэтому определим центр тяжести сечения. Ось X является осью симметрии и,
следовательно, она проходит через центр тяжести, поэтому нам достаточно найти его место-
положение на этой оси. Разобьем сечение на три прямоугольника (1, 2 и 3) и выберем вспомогательные оси Xy1 . Запишем координаты центров тяжести С1 , С2 и С3 в этих осях.
Рисунок 2
Будем иметь С1 (0,0); С2(4; 12), С3(4; -12)
Площади этих прямоугольников будут соответственно равны
А1 4 32 128 см2 ; А2 А3 4 8 32 см2
Общая площадь сечения А А1 А2 А3 128 32 32 192 см2
Тогда координаты центра тяжести будут равны
х |
|
|
х1 A1 х2 A2 х3 A3 |
|
0 128 4 32 4 32 |
1,33 см |
||
C |
|
|
||||||
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
|
128 32 32 |
||
|
|
|
|
yC 0 см
Итак, в осях Xy1 центр тяжести всего сечения имеет координаты С(1,33; 0). Проводим через
центр тяжести сечения ось Y, перпендикулярную оси X. Оси X и Y и будут главными центральными осями сечения.
Определение главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции. Моменты инерции определяем по формулам:
|
|
4 32 |
3 |
|
4 8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
||
I x |
|
|
|
2 |
|
|
4 8 12 |
|
|
20480см |
|
12 |
|
12 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 43 |
|
|
8 43 |
|
|
|
I |
y |
|
|
4 32 ( 1,33) 2 |
2 |
|
4 8 2,67 |
2 |
938,67см4 |
|
|
||||||||
|
|
12 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем квадраты главных радиусов инерции:
ix2 |
|
|
I x |
„ |
|
20480 |
106,67 см2 |
||||||
|
|
А |
|
192 |
|
||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
I y |
|
938,67 |
4,89 см2 |
|||||||
i |
|
|
„ |
|
|
|
|||||||
y |
C |
А |
192 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Определим положение нулевой линии. Отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции, определяем по формулам:
|
|
|
|
iy2 |
|
|
4,89 |
|
|
||
а |
|
|
|
C |
|
|
|
1,47 см |
|||
Х |
|
|
|
|
|||||||
|
С |
|
xF |
|
|
3,33 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ix2 |
|
106,67 |
6,67 см |
|||||
аY |
|
|
C |
|
|
|
|||||
|
yF |
|
|
16 |
|||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где xF = -3,33 см и yF = 16 см координаты точки приложения силы F (точка B на рис. 2). Отложив отрезки аХ С и аYС , соответственно, на осях X и Y , и проведя через их концы прямую, получим нулевую линию сечения, т.е. геометрическое место точек, где нормальные напряжения равны нулю ( = 0). На рис. 2 эту линию обозначим n n.
3. Определим наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения. Наибольшие сжимающие напряжения возникают в точке В, так как она является наиболее удаленной точкой в сжатой зоне сечения. Точка В имеет координаты xВ = -3,33 см и yВ = 16 см :
В |
F |
|
yB yF |
|
xB xF |
|
|
F |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
A |
i |
2 |
i |
2 |
192 |
||||||||||
|
|
|
x |
C |
|
y |
C |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 16 |
|
3,33 ( 3,33) |
|
0,0295F |
|
|
|
||
106,67 |
4,89 |
|
||
|
|
Точка А, координаты которой xА = 4,67 см и yА = -16 см , наиболее удалена от нулевой линии в растянутой зоне сечения, поэтому наибольшие растягивающие напряжения возникают в ней и
определяются по формуле:
А |
F |
|
y А yF |
|
x |
А xF |
|
|
F |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
A |
i |
2 |
i |
2 |
192 |
|||||||||||
|
|
|
x |
C |
|
y |
C |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 16 |
|
4,67 ( 3,33) |
|
0,0238F |
|
|
|
||
106,67 |
4,89 |
|
||
|
|
4. Определим допускаемую нагрузку:
- из условия прочности при сжатии:
|
|
[ |
|
] 0,0295 104 |
[F ] 60МПа [F ] |
60 10 |
6 Н / м2 |
203389Н 203,39кН |
|
В |
сж |
0,0295 |
104 м 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
- из условия прочности при растяжении:
|
|
[ |
|
] 0,0217 104 |
[F ] 30МПа [F ] |
30 10 |
6 Н / м2 |
126050Н 126,05кН |
|
A |
р |
0,0238 |
104 м 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы одновременно удовлетворить условие прочности и в растянутой и в сжатой зонах колонны,
мы должны взять в качестве допускаемой нагрузки меньшую из двух полученных, т.е.
[F ] 126,05кН
Задача 10 а
Для заданных статически неопределимых балок постоянной жесткости, приведенных на рисунке,
требуется раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. При записи дополнительного уравнения перемещений в задаче 10а
использовать интеграл Мора, в задаче 10б – метод Верещагина.
Исходные данные для решения задачи взять из таблицы. Если положение сосредоточенной силы иил начало (окончание).
Исходные данные Схема 4
F1=10кН, F2=28кН, q=14кН/м, а=6м, b=4,8 м, с=2,5м
Задача один раз статически неопределима Уравнений статики
Fy 0; RA 10,8q x1 F1 0
M a 0; M A F113,3 10,8x1 q10,8 5,4 0
Уравнение прогиба на опоре В
u x1 1 p 0 - условие отсутствия прогиба на опоре С
|
10,8 |
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ x 11 |
(1z2 ) (1z2 )dz2 |
|
/100 |
,8 |
419,904 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2,5 |
10.8 |
|
|
|
|
|
z22 |
|
z22 |
|
|
z23 |
|
|
z23 |
|
|
||
EJ x 1 р F1z10dz1 |
(F1 (2.5 z2 )) q |
)(1z2 )dz (10 2.5 |
/100 |
.8 10 |
/100 |
.8 14 |
/100 |
.8 ) 18152.45 |
|||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 18152,45419,904 43,23кН
RA 10,8q x1 F1 97,97кН
M A q10,8 5,4 F113,3 10,8x1 216,6кН
Построим эпюру Q и М Участок СВ: 0≤z1≤2,5 Q F1 10кН
M F1z1
Z1=0 M=0 Z1=2,5 M=25кН
Участок ВА 0≤z3≤10,8
Q F1 qz2 х1
M F (2.5 z |
) q |
z22 |
x z |
|
|
|
2 |
||||
1 |
2 |
2 |
1 |
||
|
|
|
|