Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

А для преломленной волны

	\| p \|
t		x	z	t

x	z
		const .
		const .
v x
v x	v z

Из последнего выражения видно, что проекция фазовой скорости на нормаль к границе раздела отрицательная. Используя углы падения и преломления, можно записать

при

x 0 :

Vin

cos

in ,

sin

Vref

cos in

sin in

при x 0 :

Vtr

cos tr

sin

tr .

| n2

(19.1)

(19.2)

Отсюда видно, что фаза преломленной волны распространяется в сторону границы раздела сред (Рис.1). Кроме того, видно, что направление потока энергии противоположно направлению фазовой скорости в этой среде (Рис.1). Для компонент усредненного вектора Пойнтинга при x 0 можно записать альтернативные выражения:

x 0 : S

c | n 2 | cos tr

| E

cn 1 sin

| E

(20.3)

2 | 2 |

2 |

в которых явно видна роль отрицательности показателя преломления и/или магнитной проницаемости.

Волны, у которых фазовая скорость направлена против потока энергии (вектора Пойнтинга) называются обратными волнами (backward waves).

Полное внутренне отражение ТЕ-волн

В этом случае волна приходит из области				x 0 и затухает при x .			Решение
уравнения (9) по этому следует записать в виде
x 0 :	(1)	( x ) A exp( iqx ) B exp( iqx ) ,			x 0 :	( 2 ) ( x ) C exp( px ) .	(21)
где q 2 ( / c ) 2 n 2		2 ,	p 2 2 ( / c ) 2 n 2 ,	и	p 0 .	Параметризация проводится
	1		2
обычным образом путем введения угла падения:
			( / c )n1 sin in ,	q ( / c )n1 cos in .

Для параметра p (декремент затухания волны в области x 0 ) тогда можно записать:

p 2 ( / c ) 2 [ n12 sin 2 in n22 ] .

Эта величина положительная, если n12 sin 2 in n 22 . Неравенство будет выполняться для углов падения, превышающих критический угол c , определяемый условие

sin	2	c	n 2	/ n 2	, или sin	c	\| n	2	\| / n	1	,
		c	2	1		c		2		1

Таким образом, полное внутреннее отражение возникает, так же как и обычных сред с положительными показателями преломления.

Подстановка выражений (21) в условия непрерывности (12) дает

	C		ip	1			C		ip	1
A		1		1	,	B		1		1	.
A		1			,	B		1			.
	2		q 2				2		q 2
	2		q 2				2		q 2

Снова полагая, что A E in есть амплитуда падающей на границу раздела волны, можно

записать связь амплитуды отраженной и преломленной волн с амплитудой падающей волны:

2 q 2

q 2

ip 1

(22)

q 2 ip

ref

q 2

ip 1

Отсюда видно, что E ref E in

exp( i ) , поскольку коэффициент пропорциональности в

(22) между амплитудами отраженной и падающей волн равен по модулю единице. Из определения

exp( i )	q	2	ip 1
	q 2		ip 1

можно найти выражение для величины фазового сдвига

tan( / 2) p	1	/ q	2		1	n 2	sin 2		in	n 2	1 / 2	/	n cos	in	.	(23)
	1		2		1	1			in	2			2 1	in

Возникновение фазового сдвига между падающей и отраженной волнами называется эффектом Гуса-Хенгена. Для сред с отрицательным показателем преломления (где магнитная проницаемость отрицательная) сдвиг отрицательный. Отраженная волна как бы опережает падающую волну.

Используя выражения (21) и определение усредненного по быстрым пространственно временным колебаниям вектора Пойнтинга, можно найти, что его компоненты определяются теперь выражениями

при x 0 : S

qc 2

| E

|2 | E

|2 0 ,

c 2

| E

|2 .

(24.1)

ref

при

0 : S

0 ,

c 2

e 2 px .

(24.2)

| E

Следовательно, при

0 поток

энергии

вдоль

границы

раздела в

среде с

отрицательным показателем преломления направлен в противоположную сторону, по отношению к потоку энергии в среде с положительным показателем преломления

(Рис.2).

					X
Рис. 2
Ход лучей при полном			Str		Vtr
Ход лучей при полном					Vtr
внутреннем отражении,
направление фазовых					Vref	Z
скоростей и векторы		Sin				Z
скоростей и векторы		Sin
Поинтинга по разные стороны	Ein			Vin	Eref
границы раздела.				Vin	Sref
границы раздела.					Sref
В области x 0 фазовая скорость направлена вдоль границы раздела и равна
			c
Vtr		0,	n1	sin in .
			n1
Фазовая скорость направлена против потока энергии, что типично для сред с
отрицательным показателем преломления.

Поверхностная ТЕ-волна

Поверхностная волна отвечает решениям уравнения (9) при условии, что вдали от границы (то есть, при x ) напряженность волны падает до нуля. Решение уравнения (9) следует записать в виде

x 0 :	(1) ( x )		A exp( qx ) , x 0 :			( 2 ) ( x ) C exp( px ) .	(25)
где теперь q 2 2 ( / c ) 2 n 2		,	p 2 2	( / c ) 2 n 2	,	и q , p 0 . Подстановка	этих
	1			2

выражений в условия непрерывности дает дисперсионное соотношение:

q	p	0 .	(26)

1	2

Если 2 0 , то это уравнение имеет решение, в противном случае сумма двух

положительных величин не может быть равна нулю. Так обстоит дело в случае границы раздела обычных сред. Но если одна из сред с отрицательным показателем преломления, то на границе раздела может существовать поверхностная волна.

Дисперсионное соотношение можно переписать иначе, более явно:

2	2	22 n12	12 n22	2	1 2	( 1 2 2	1 )	.	(27)

		22	12			22 12
	c			c

Из этого выражения видны некоторые ограничения на величину диэлектрической и

магнитной проницаемостей.

Используя выражения для напряженности электрического и магнитного полей

поверхностной волны (25), можно найти компоненты усредненного по быстрым в

пространстве и времени колебаниям вектора Пойнтинга

при x

0 : S

0 ,

c 2

e 2 qx ,

(28.1)

при x

0 : S

0 ,

c 2

e 2 px ,

(28.2)

где E 0 E ( x 0) A напряженность электрического поля на границе раздела сред.

Из этих выражений видно, что при 1

2 0

поток энергии вдоль границы

раздела в среде с отрицательным показателем преломления направлен в

противоположную сторону, по отношению к потоку энергии в среде с положительным

показателем преломления. Тогда как фазовая скорость поверхностной волны одинакова

по обе стороны границы раздела и равна

Vsw 0, / ,

где постоянная распространения

определена дисперсионным соотношением (27).

Рис. 3

Ход лучей поверхностной

S2sw

Vsw

волны: фазовых скоростей и

векторы Поинтинга по разные

стороны границы раздела.

S1sw

Vsw

Упражнение 1. В случае ТМ волны условия непрерывности на границе раздела металл –диэлектрик найти.

Надо записать уравнение для ротора магнитного поля, используя комплексную обобщенную диэлектрическую проницаемость:

~			4
	( )	( ) i		( ) .
	( )	( ) i		( ) .

Так что

				i ~
	rot H				( )E ( ) .

				c
А остальные уравнения прежни
rot E	i	H ,	div H 0 ,			div E ( ) 0

	c

Далее выбрать ориентированную поверхность и используя теоремы Стокса и Гаусса проинтегрировать эти уравнения.

Упражнение 2. Рассмотреть		переходный	слой между	однородными средами с
1 ( ) 0 ,	1 ( ) 0 , и 2 ( ) 0 , 2 ( ) 0 .		Внутри слоя	проницаемости меняются
линейно.	Предполагается, что	среда однородна при x 0 и характеризуется там

диэлектрической проницаемостью 0 и магнитной проницаемость 0 . При x 2 h среда тоже однородная, но для нею проницаемости отрицательные, то есть

диэлектрическая и магнитная проницаемость равны соответственно 0	и 0 . Слой
0 x 2 h характеризуется переменными величинами проницаемостей	( x ) и ( x ) ,

причем проницаемости непрерывны во всем пространстве. В некоторой точке (или точках) эти величины обращаются в нуль. В простейшем случае можно выбрать линейную аппроксимацию пространственной зависимости диэлектрической и магнитной проницаемостей:

( x ) 0 (1 x / h ) , ( x ) 0 (1 x / h ) .

Рассмотреть нормальное падение волны на такой слой и определить распределение электрического и магнитного поля в случае ТЕ волны. Получить закон изменения фазовой скорости волны, проходящей через переходной слой.

Дополнение (к Упражнению)

Теперь можно записать выражения для напряженности электрического поля в разных областях

E in	exp( ik 0 x i t ) c.c.,				x 0
	exp{ ik 0 h (1 x / h )	2	/ 2 i t ik 0 h / 2}	c.c.,	0 x 2 h	(19)
E ( x , t ) E in	exp{ ik 0 h (1 x / h )		/ 2 i t ik 0 h / 2}	c.c.,	0 x 2 h	(19)
	exp( ik 0 x i t 2ik 0 h ) c.c.				x 2 h
E in	exp( ik 0 x i t 2ik 0 h ) c.c.				x 2 h
			75

Для напряженностей магнитных полей отсюда получаются следующие выражения

(ck 0		/ 0 ) E in	exp( ik 0 x i t ) c.c.,					x 0
	(ck 0	/ 0 ) E in	exp{ ik 0 h (1 x / h )	2		i t ik 0 h / 2}	c.c.,	0 x 2 h
H z ( x , t )					/ 2
	(ck 0	/ 0 ) E in	exp( ik 0 x i t 2ik 0 h ) c.c.					x 2 h

Нормальной компоненты магнитного поля при нормальном падении нет.

В общем случае нормальная компонента магнитного поля сингулярна в центре переходного слоя, где она меняет свой знак4. Тут среда «правой руки» переходит в среду «левой руки». В бесконечно тонком переходном слое нормальная компонента магнитного поля меняет знак скачком. Касательные компоненты магнитного и электрического полей не меняются при переходе через слой.

Фазовый фронт при x 0 дается уравнением плоскости	k 0 x t const	,	при
x 2 h фазовый фронт дается другим уравнением плоскости	k 0 x t const	,	что

соответствует среде с отрицательным преломлением. Внутри переходного слоя фазовый фронт определяется уравнением

k	0	h (1 x / h ) 2	/ 2 t const	,	(20)
	0

откуда следует, что волна внутри переходного слоя не плоская. Если определить

фазовую скорость	как	производную V ph	dx / dt ,	то при x 0	уравнение
k 0 x t const дает	V ph	/ k 0 , а при x 2 h	уравнение	k 0 x t const	приводит к

V ph / k 0 . Для переходного слоя эта процедура определения фазовой скорости дает

V	ph	( x ) ( / k	0	)(1 x / h ) 1 .	(21)

При x 0 , V ph ( x ) ( / k 0 ) , а при x 2 h , V ph			( x ) ( / k 0 ) . Таким образом, формула

(21) описывает «поворот фазовой скорости на 180о» от положительного значения к отрицательному. Говорить о реальном повороте в одномерном мире бессмысленно. В точке, где диэлектрическая и магнитная проницаемости обращаются в нуль, фазовая скорость обращается в бесконечность5.

4Как заметил только что (10/8/2007 3:15 PM) Ильдар, ориентация пространства с помощью левой или правой системы координат, является топологическим свойством оного. Потому перейти от левой тройки к правой возможно только через сингулярность, где рушится непрерывность, то есть нарушается определяющее свойство топологических пространтсв.

5Предположение: Все сингулярности исчезнут, если ввести потери.

Лекция 9. (12.11.2010)

Помимо рассмотренных здесь диэлектрических сред, свойства которых не зависят от направления волн, есть такие, чьи свойства различны в различном направлении. Это анизотропные среды. Обычно это проявляется в том, что в материальных уравнениях векторы электрической и магнитной индукции не параллельны векторам электрического и магнитного поля.

9.1. Уравнения Максвелла в анизотропных диэлектрических средах

Для диэлектрических сред, где нет сторонних токов и зарядов, уравнения Максвелла записываются в следующей форме

rot E		1	B		,	div B 0	(1.1)

		c	t
rot H	1		D	,		div D 0	(1.2)

		c	t

Произвольные волны можно представлять как волновые пакеты гармонических плоских волн. В условиях линейной электродинамики отдельные гармоники изменяются независимо от других, так что можно перейти к записи уравнений Максвелла для Фурье компонент всех полей в (1), полагая


E ( , k )	E (t , r ) exp( i t ikr ) dtd 3 r ,

ит.д.. Из (1) тогда следуют уравнения


	k E		B ,			k B 0 ,		(2.1)

		c
	k H			D ,		k D 0 .		(2.2)

			c
Фурье компоненты D и	B связаны с Фурье компонентами E , H материальными
соотношениями следующего вида
	D ( , k ) E ,				B ( , k ) H .			(3)
Здесь диэлектрическая	( , k ) и магнитная						( , k ) проницаемости	являются

симметричными тензорами второго ранга. В изотропной среде это единичные тензоры или просто скаляры.

Пусть среда	не магнитная, тот	есть ( , k ) =1.		В одномерном случае для
волнового числа (модуля волнового вектора)			определен	показатель преломления n
согласно формуле	k ( / c ) n . Здесь	по	аналогии можно определить вектор,

нормальный к волновому фронту

k n . c

С его помощью уравнения Максвелла (2) можно переписать как

n E B ,	n B 0 ,	(4.1)
n H D ,	n D 0 .	(4.2)
Так как B = H , из (4) следует соотношение (Фурье образ волнового уравнения)
n (n E ) D .
Или,
D n 2 E n (n E ) .		(5)

Здесь использовано правило раскрытия двойного векторного умножения6

a(b c) b (a c) c(a b ) .

Вобщем случае, если переписать это выражение к координатной форме, то получится линейная система уравнений

n 2 ij ni n j ij E j 0 .

Это однородная система уравнений и ненулевые решения возможны, если равен нулю определитель

det n 2	ij	n	n	j		ij	0 .	(6)
	ij	i		j		ij

Уравнение (6) является дисперсионным уравнением для волн в линейной анизотропной диэлектрической среде. Это уравнение называется уравнением Френеля.

9.2. Лучевой вектор в анизотропной диэлектрической среде

Из уравнений Максвелла были получены выражения

n E H ,

n H D .

Что если определить вектор s , путем замены в этих выражениях

D E ,

n s,

так что получатся следующие соотношения

s D H ,

s H E .

(7)

Выражение (7) надо рассматривать как формальное определение вектора s . Но, смысл его можно понять, рассмотрев вектор Пойнтинга

S	c	(E H )	c	(s H ) H	c	H (s H )
	4		4		4

6 Обратить внимание как скобки расставлены.

n (n E ) D , а именно,

		c	s( H H ) H ( H s) .
		4

Здесь снова использовано правило раскрытия двойного векторного умножения:

a (b c) b (a c) c(a b ) .

Если же учесть, что согласно определению ( H s) (s D ) s 0 , то получится формула

S	c	(E H )	c	s(H H ) .
	4		4

Таким образом, следует, что	вектор s			направлено вдоль	потока энергии
электромагнитной волны. Вектор	s	называют лучевым вектором.			В геометрической

оптике это вектор касательный к оптическим лучам. Хотя, при чем тут оптика – любое электромагнитное излучение характеризуется лучевым вектором.

Из (7) можно получить выражение, которое подобно

s (s D ) E

или

s (s D ) 1 D .

Или, окончательно,

1 D s 2 D s(s D ) .

(5*)

Поскольку это есть линейная однородная система уравнений относительно компонент вектора электрической индукции, ее ненулевые решения возможны, если ее

определитель должен быть равен нулю, то есть

det s 2	ij	s	s	j	1 ij 0 .	(6*)
	ij	i		j

Это как бы дуальное уравнение Френеля, позволяющее найти компоненты лучевого вектора.

9.3. Волны в частных случаях анизотропных диэлектрических сред

Всегда можно выбрать накую систему координат, что в ней тензор диэлектрической проницаемости можно представить диагональной матрицей 7

1		0	0

0		2	0	.
	0	0	3
	0	0	3

9.3.1. Изотропная среда

7 Действительно ли всегда? Надо определить условия такого представления.

Как самый простой случай надо рассмотреть изотропную среду. В этом случае

0		0	0

0		0	0
	0	0	0
	0	0	0

Вектор электрической индукции направлено по полю E :

D 0 ( , k )E .

Уравнения (5) в этом случае принимает вид

	0	( , k )E n 2 E n (n E ) .			(8)
Представить можно волну E		как	сумму вектора,	нормального	к направлению
распространения n и вектора, направленного вдоль n ,				E E n E l , и
(E n E l ) 0 ,			(n E n ) 0 , (n E l ) E l n .

Эти поля линейно независимы по построению. Для каждого из них свой закон дисперсии получится. Так для нормального вектора поля из (8) следует

	0	( , k )E n				n 2 E n ,
то есть, закон дисперсии
			0	( , k ) n 2 0 ,				(9.1)
Или в привычном виде,
	k 2				2		( , k ) .	(9.2)
	k 2				c 2	0	( , k ) .	(9.2)
						0

Для продольного поля из (8) следует

0 ( , k )E l n 2 E l n nE l .

Умножив это выражение на n , получить можно

	0	( , k )( E l n ) n 2	(E l n ) (n n ) nE l	n 3 E l n 2 nE l	0 .
Следовательно, дисперсионное соотношение для продольных волн будет иметь вид
			0 ( , k ) 0 .		(10)

Это есть неявное уравнение, решение которого определяет зависимость волнового вектора от частоты. В средах с пространственной и временной дисперсией такие волны могут существовать. Выражение 0 ( ) 0 дисперсионным соотношением не является.

Что это значит? Колебания электрического поля в конденсаторе с диэлектриком. Колебания, не волны. Напротив, в среде без дисперсии волны могут быть, и это поперечные волны с законом дисперсии, полученным из (9.2):

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015845.46 Кб53Лебедев, Колоколов. ИГМФ.pdf
#
03.06.2015933.51 Кб9Лекции - Раздел 1.pdf
#
01.03.2025208.38 Кб0Лекции ОИ.doc
#
03.06.201514.11 Mб13Лекции по физкинетике.PDF
#
03.06.2015386.05 Кб39Лекции по философии (Семенов) 2006-2007.doc
#
03.06.20151.71 Mб22Лекции.pdf
#
03.06.201583.97 Кб42Лекция Потребности и мотивы.doc
#
03.06.20151.29 Mб29Лекция 1 - конспект.pdf
#
03.06.20151.87 Mб58Лекция 10 - Неметаллические материалы.pdf
#
03.06.2015910.58 Кб8Лекция 10.pdf
#
03.06.20152.45 Mб49Лекция 12 - Наноматериалы и УНТ.pdf