Лекции

Лекция 1. (03.09.2010)

Переход от микроскопического описания системы большого числа частиц (атомов, молекул, …) к макроскопическому описанию с помощью введения эффективной среды. Гидродинамика как пример. Общая идея. Физически малые объемы – точки эффективной среды.

где ra (t ) – радиус вектор а-той частицы, несущей заряд e a . Поля e и h - это

микроскопические электрическое и магнитное поле, которые могут сложным образом меняться в пространстве и во времени.

Для перехода к макроскопическим уравнениям надо провести в (1) и (2) усреднение по объему, содержащему много частиц (зарядов), но размеры, которого меньше длины волны (какой такой волны?). О длине волны можно говорить в случае гармонических волн, или в лучшем случае, квазигармонических волн. Если речь пойдет о волне в одно или несколько колебаний, то объем усреднения определяется размером пространства, занимаемого электромагнитным полем. Если поля представить суперпозицией гармонических волн, то процедура усреднения (как определить? да как просто интегрирование по малому объему и малому временному интервалу) удаляет из этой суперпозиции высокочастотные (и с большими значениями волновых чисел) компоненты. Следовательно, ожидаемое макроскопическое описание будет иметь ограниченное применение.

Пример

Метаматериалы, например, составляются из метаатомов (наночастицы, проволочки, колечки, подковки, «гробики Шалаевы» и «прыщи Нуриманова») размерами до 10-100 нм, так что в оптическом диапазоне макроскопическая электродинамика таких материалов – бессмыслица. Но в радиодиапазоне или в сантиметровом или миллиметровом диапазоне – можно хорошо определить сплошную эффективную среду и развивать макроскопическую электродинамику.

Определения усредненных полей принято такое

2

Исторически сложилось называть величину B магнитной индукцией, реально это и есть (среднее) магнитное поле.

Уравнения (1) после усреднения примут вид

Все заряды (и токи) делятся на три группы. Сторонние заряды (токи) – те, которые не входят в состав вещества (это например, заряды на обкладках конденсатора, между которыми размещено само вещество, или токи в проводах, опутывающих или пронизывающих вещество). К ним можно причислить заряды на поверхности вещества (поверхностные заряды и токи). Связанные заряды и токи – те, которые локализованы в атомах или молекулах вещества и свободные заряды – электроны проводимости в металлах, носители тока в полупроводниках (электроны и дырки), ионы в средах. Для

Связанные заряды проявляются под действием электрического поля, которое вызывает разделение положительного и отрицательного заряда на молекулах или при деформации молекул в поле. Из общей физики известно, как возникает и ориентирован вектор поляризуемости молекулы в постоянном электрическом поле. В общем случае, в переменных полях для характеристики связанных зарядов вводится поляризация

(единицы объема) среды P , так чтобы

Знак минус указывает на то, что электрическое поле в (состоящей из поляризующихся молекул) среде уменьшается по сравнению с внешним полем. (Картинку из школьного учебника может быть вспомнить надо.) Уравнение для дивергенции электрического поля можно переписать как

div( E 4 P ) 4 ( 0 c ) .

Таким образом, естественно ввести вектор электрической индукции D , дивергенция которого равна нулю (как для электрического поля в вакууме), если суммарный заряд

равен нулю (как в диэлектриках):

В формуле (5) электрическое поле это поле созданное зарядами среды.

3

Присутствие среды проявилось в появлении векторов индукции D и B . Но, в отличие от случая пустоты, электрическое поле в среде есть E , а магнитное поле это B . Поле H можно бы называть магнитным полем, но здесь оно возникло как вспомогательное поле.

Если сторонние и свободные заряды и токи имеются, то уравнения Максвелла

По сравнению с микроскопическими уравнениями Максвелла в макроскопических уравнениях появилось два новых поля – электрическая индукция D и вспомогательное магнитное поле H , и ток свободных зарядов (свободных носителей

Из этого соотношения делается вывод, что существует вектор, ротор которого равен вектору, стоящему справа. Согласно традиции его обозначают как cM :

5

И можно записать выражение для усредненного тока

которое показывает, что он состоит из тока, связанного с (поступательным и вихревым) движением связанных зарядов и суммарным током связанных зарядов и свободных зарядов вещества.

В качестве самостоятельного упражнения можно показать, что вектор M является магнитным моментом единицы объема среды, то есть, полный магнитный момент

Векторы M и P позволяют выразить электрическую и магнитную индукцию через электрическое и магнитное поле как

D E 4 P , B H 4 M . (16)

Эти соотношения называются материальными уравнениями.

Таким образом, макроскопическая электродинамика (сплошных сред) основывается

на уравнениях Максвелла (Максвелла-Лоренца)

DE 4 P , B H 4 M ,

на заданном распределении сторонних зарядов и соотношения между током свободных зарядов и полями E и B : jc jc (E , B )

Многообразие сплошных сред может быть описано путем рассмотрения

6

P P (E ) 0 , а для магнитиков jc jc (E, B ) 0 , P 0 , M M (B ) 0 . Существуют магнетоэлектрики, для которых jc jc (E, B ) 0 , P P (E , B ) 0 , M M (E , B ) 0 .

Определение M M (E , B ) , P P (E , B ) и jc jc (E , B ) это есть самостоятельная

задача микроскопической науки. С помощью простых, игрушечных моделей, можно определить функциональную зависимость поляризации, тока и намагниченности от полей. Опираясь на эти результаты далее можно предположить общие, но чисто феноменологические связи – использовать представления о функциях отклика.

На пример, ток проводимости можно записать, введя проводимость (металла),

как

t

jc ( )E (t ) d

или

jc ( ) ( )E ( ) .

Ток проводимости индуцируется электрическим полем, действующим на свободные заряды в среде. Движение связанных зарядов учитывается поляризацией P и намагниченностью M среды.

Можно самостоятельно убедиться, что в отсутствии сторонних и свободных зарядов величины

удовлетворяют уравнению непрерывности

div v 0 .t

1.2. Теорема Умова-Пойнтинга

Можно исходить из уравнений Максвелла в следующей форме

Используя (1.1), можно записать

Вычитая из второго выражения первое, получим

Теперь надо использовать векторное тождество

7

закон сохранения энергии электромагнитного поля. Если полная энергия поля не меняется, то поток через замкнутую поверхность равен нулю. Но в диэлектрических средах или, точнее сказать, в поляризующихся и намагничивающихся средах, правая часть (7) может не быть производной по времени.

В очень частном случае, когда изменение полей происходит значительно медленнее, чем все процессы релаксации в среде, так что поляризация и намагниченность могут считаться мгновенно отслеживающими изменение полей, принимается следующая (приближенная) форма материальных уравнений

Теперь, в правой части стоит выражение для энергии электромагнитного поля в среде (из курса общей физики это должно быт известно). И в этом частном случае можно трактовать полученное выражение как закон сохранения энергии электромагнитного поля.

9