Лекции

Упражнение 3. Найти условие, которому должны удовлетворять проницаемости, при котором Q 0 , в случае плоской монохроматической волны.

Дополнение (к Упражнению) 1.

Для ЭМ поля плоской волны в однородной среде найти (а) плотность энергии w в диспергирующей среде.

(б) направление вектора Пойнтинга

Электромагнитное поле плоской волны в однородной среде.

Из уравнений Максвелла

в случае однородной среды можно записать соотношения для пространственных и временных компонент Фурье, с учетом материальных соотношений, можно найти

c

Поскольку левая часть равна тождественно нулю, вектор электрического поля ортогонален вектору магнитного поля. Из того же уравнения следует, что

Поскольку левая часть равна тождественно нулю, вектор электрического поля ортогонален волновому вектору. Таким образом, тройка векторов E , H , k образуют трипод, то есть, тройку взаимно ортогональных векторов.

Из первого уравнения (40) следует, что

Из второго уравнения (40) следует, что

Сравнив эти два последних выражения, можно заключить, что

( ) H H ( )E E .

Из этого выражения следует, что

42

| ( ) || H |2 | ( ) || E |2 .

В прозрачной среде модуль проницаемостей можно заменить вещественной частью соответствующей проницаемости. Тогда для плотности энергии w (39) можно записать

Из (40) следует, что

k (k E ) ( / c ) ( )k H / c 2 ( ) ( )E ,

или

k (k E ) k (k E ) (k k )E / c 2 ( ) ( )E .

Поскольку вектор электрического поля ортогонален волновому вектору, это выражение определяет дисперсионное соотношение для плоских волн в однородной среде

Так что видно, что в однородной среде вектор Пойнтинга для плоской волны направлен вдоль волнового вектора. Для гармонической плоской волны

43

Множитель ( ) ( ) 2 можно выразить из дисперсионного соотношения, так что плотность энергии w записывается как

Вижу, что усредненный вектор Пойнтинга направлен вдоль волнового вектора. Откуда взялось мнение, что усредненный вектор Пойнтинга направлен вдоль вектора групповой скорости? Если записать плотность энергии w более аккуратно, как

Это выражение называют в [9] теоремой Сивухина.

Некоторое замечание о групповой скорости. Если определить групповую

В отсутствии дисперсии среды получается известная формула v g c / n .

44

Волновые уравнения можно записать в привычном виде

Таким образом, уравнения (1.7) описывают электромагнитные поля в проводящей среде, если

1.Ток смещения много меньше тока проводимости.

2.Плотность (объемного) заряда равна нулю.

3.Среда однородная и изотропня.

4.Ток линейно зависит от электрического поля.

Для дальнейшего рассмотрения полей в проводящей среде (металле) надо проводимость рассмотреть в рамках простой модели, чтобы ее общие свойства установить. Подходящей простой моделью может быть модель Друде-Лоренца (ДЛ) для свободных носителей тока. В изотропной среде она основана на уравнении

Ток определяется как

r

j en e en e v , t

где уголковые скобки обозначают усреднение по всем носителям тока.

В принципе модель Друде-Лоренца может быть использована для описания одновременно двухкомпонентной системы из связанных зарядов (в предыдущем разделе рассмотренных) и свободных зарядов. Если рассматривать полупроводник, то заряды двух сортов следует принимать во внимание.

5.2. Одномерная модель Друде-Лоренца. Определение тока.

Токи возникают, если есть не связанные заряды.

Пусть ради простоты есть один сорт носителей тока и нет связанных зарядов. Тогда одномерная модель ДЛ описывается уравнением

Если электрического поля нет, то решение уравнения (2.1) записывается как

46

v (t ) v (0 ) exp( t ) .

Следовательно, каким то образом созданный поток зарядов спадает до нуля с характерным временем 1 / . Это время можно понимать как время релаксации тока (или среднего импульса носителей тока).

Если к носителям тока приложено постоянное электрическое поле E 0 , то

уравнение (2.1) можно решить методом вариации постоянной и получить выражение для скорости и тока

Вот если бы релаксация тока (среднего импульса, средней скорости потока зарядов) отсутствовала бы, проводимость была бы бесконечной величиной. (Картинку нарисовать, на которой поле разгоняет заряд до умопомрачительных скоростей, если нет столкновений)

Воспользовавшись понятием плазменной частоты, можно переписать это выражение как

Пусть электрическое поле переменное. В уравнения (1.7) входят Фурье компоненты проводимости. Для их определения надо в уравнении (2.1) сделать преобразование Фурье и разрешить получившееся алгебраическое уравнение. Так что:

i v ( ) v ( ) (e / m ) E ( ) ,

Для Фурье-компоненты тока получится выражение

j ( ) i (e 2 ne / m ) E ( ) ,i

следовательно, проводимость в рамках модели ДЛ, имеет следующий вид

47

Видно, что проводимость – комплексная величина.

Поскольку имеется временной масштаб – время релаксации, можно рассматривать два предельных случая – низкочастотные (НЧ) поля и высокочастотные поля (ВЧ). Период колебаний гармонического поля есть T0 2 / . Пусть T0 . В

этом случае релаксация тока приведет к стационарному значению тока, определенному мгновенным значением (медленно меняющегося) электрического поля. Такое поле называть можно низкочастотным полем. Для проводимости будет справедливо приближенное выражение, где 1 ,

Напротив, когда T0 , электрическое поле многократно изменится, тогда как

состояние носителей тока (скорость средняя) изменяется незначительно. Это предел модно назвать пределом высокочастотного поля. Полагая 1 , можно найти для проводимости приближенное выражение:

Полученные результаты собраны в табличку

Теперь можно забыть о модели Друде-Лоренца и считать, что проводимость выражается через частоту поле, плазменную частоту и время релаксации, которые можно считать феноменологическими параметрами проводящей среды.

Упражнение 1. Показать, что в проводящей среде объемный заряд исчезает. Определить характерное время его релаксации.

Упражнение 2. Можно ли придумать электрическую цепь, в которой ток и ЭДС связаны как в законе Ома через комплексную проводимость.

Упражнение 3. Определить зависимость плотности джоулевого тепла от частоты гармонического или квазигармонического электромагнитного поля.

48

Лекция 6. (15.11.2010)

Электромагнитные поля в проводящей среде (продолжение)

6.1. Электромагнитные поля в проводящей среде.

Ранее было получены волновые уравнения для полей в проводящей изотропной однородной среде

Вэтих выражениях проводимость ( ) является комплексной величиной.

Комплексный (чисто мнимый даже) коэффициент в левой части уравнений (1.1) означает, что волны, если они существуют, будут затухать.

6.2. Плоская волна. Импеданс.

В случае однородной и изотропной среды можно рассмотреть плоскую волну, положив в уравнениях Максвелла (прошлая лекция)

Поскольку левая часть равна тождественно нулю, вектор электрического поля ортогонален вектору магнитного поля. Из того же уравнения следует, что

(k H 0 ) k i 4 ( )E 0 k . c

Поскольку левая часть равна тождественно нулю, вектор электрического поля ортогонален волновому вектору. Таким образом, и в случае проводящей среды, тройка векторов E , H , k образуют трипод, то есть, тройку взаимно ортогональных векторов.

Из первого уравнения (2.1) следует, что

Из второго уравнения (2.1) следует, что

49

Отношение напряженности электрического поля к напряженности магнитного поля на границе металла называется импедансом Z

Вобщем случае это комплексная величина.

Аважно ли то, что плоская волна рассматривалась?

В случае однородной среды и для плоских волн можно выбрать ось, вдоль которой волна направлена в качестве оси Х, вектор поля E ( ) направить вдоль оси Y,

и перейти в волновом уравнении к одномерному случаю. Уравнение для напряженности электрического поля переписывается как

Решение этого (общее решение уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами) уравнения есть

где p 2 i 2 .

6.3. Низкочастотный предел

Рассматривая модель Друде-Лоренца, было замечено, что для низкочастотных полей (1 ) проводимость можно приближенно считать чисто вещественной. В этом

случае p i , где

есть вещественная величина. Здесь было использовано выражение для низкочастотной проводимости

50