Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Или,

( 02 2 ) A( ) 4 sin 2 (ql / 2) A( ) (e / m ) E0 ( ) .

Отсюда

(e / m )

A ( ) ( 02 2 ) 4 sin 2 ( ql / 2 ) E 0 ( ) .

Поскольку в макроскопической электродинамике рассматривается сплошная среда, то следует считать, что ql 1 , так что

A ( )

(e / m )

0 ( ) .

( 2

2 ) l 2 q 2

Поляризация единицы «объема» есть

P ( , q ) eu n ( , q ) eA ( )e iql n

nat eA ( ) .

Или,

P ( , q )

(e 2 / m ) nat

0 ( , q ) .

2 ) l 2 q 2

( 2

Электрическая индукция определяется выражением

D ( , q ) E 0 ( , q )

4 (e 2 / m ) n

E 0 ( , q ) .

( 2 2 ) l

2 q 2

Отсюда диэлектрическая проницаемость имеет следующий вид

4 (e 2 / m )n

(эпсилон3)

( , q ) 1 ( 2 2 ) l 2 q 2

2 l 2 q 2 2 .

Здесь получилась вещественная величина проницаемости, поскольку эффект диссипации не принимался во внимание. Правильно было бы ввести в уравнение (ДЛобо) дополнительное слагаемое, так чтобы уравнением движения в обобщенной модели ДЛ приняло бы вид

2 u n

u n

2 u

(e / m ) E ( x

) .

(ДЛобо3)

n 1

t 2

Диэлектрическая проницаемость (эпсилон3) имеет полюс на частоте

2 02 l 2 q 2 .

Этот полюс дает дисперсионное уравнение, похожее на дисперсионное уравнение плазменных колебаний:

2 (q ) 02 l 2 q 2 .

Главный урок в том, что взаимодействие между частицами (атомами, электронами) сплошной среды приводит к пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости.

Упражнение 1. Найти поляризацию в постоянном магнитном поле на основе двумерной модели Лоренца.

Упражнение 2. Получите выражение для ( , q ) с учетом диссипации. Длинноволновый предел можно сразу рассмотреть.

Лекция 4. (01.10.2010)

Потери или изменение поля в среде.

4.1.Введение

Уравнение, выражающее сохранение или изменение энергии (теорема УмоваПойнтинга)

div S

jtot

E 0 ,

можно переписать как

div S

tot

E .

(4.1)

Здесь jtot – ток свободных носителей тока и сторонних зарядов. Проинтегрировав это выражение по объему V, занимаемому средой, получим

S n d

tot

E dV

0 .

(4.2)

Изменение потока вектора Пойнтинга есть то, что поглощено средой. Следовательно, в правой части (4.2) стоят энергия, потраченная на поляризацию среды (созданию поля в среде) – первое слагаемое, и потери на нагрев – джоулево тепло – второе слагаемое. По этой причине div S можно понимать как плотность поглощенной энергии.

Для постоянного ЭМ поля первое слагаемое в (4.1) равно нулю. Оставшееся второе слагаемое есть jtot E jtot E . Пусть ток неравен нулю в области, имеющей

форму цилиндра длиной L и сечением S , так что джоулево тепло, выделившееся в единицу времени есть

Q J ( jtot E )( LS ) ( jtot S )( EL ) IU ,

где U – разность потенциалов (напряжения), I – сила тока. За время T все тепло есть

Q J T Q J .

Если ЭМ поле переменное, то вычисление джоулева тепла производится также как вычисление работы переменной силы. Интервал времени T разбивается на очень маленькие отрезки T j , такие, что на их протяженности можно считать электрическое

поле и ток постоянными величинами, равными E ( T j ) и jtot ( T j ) . Тогда все тепло, выделившееся за время T , есть

Q J Q j	jtot ( T j ) E ( T j ) T j LS	I ( T j )U ( T j ) T j .
j	j	j

В пределе, когда разбиение интервала времени производится на все более мелкие отрезки, это выражение становится равным интегралу

Q J I (t )U (t ) dt .

В особом случае периодических ЭМ полей величина джоулева тепла, выделившегося за время Т, есть

		T	T		T 0
	J		T
	J
Q			I (t )U ( y ) dt			I (t )U ( y ) dt ,
		0	T0	0

где T0 – период изменения ЭМ поля. Таким образом, величина тепла, выделившегося за один период

	T		T 0
	T
q J SL Q J 0	1			I (t )U (t ) dt .
q J SL Q J 0			0	I (t )U (t ) dt .
		0

становится характерной величиной (характеристикой) потерь на нагрев. В электротехнике из этой величины проистекают понятия действующего значения тока или действующего значения напряжения.

Эта идей «усреднения за период» распространяется на вычисление потерь в среде для периодических ЭМ полей (не обязательно гармонических) или квазигармонических полей.

Величину

q div S

определяют как плотность потерь (электромагнитных потерь) ЭМ поля в среде. Причем, если поля периодические, то

	1	T 0
q div S		( div S ) dt .
	T

0	0

Когда рассматриваются не просто колебания поля в среде, но волны, процедура усреднения распространяется интегрирования и пространственных изменений за пространственный период (длину волны?). В последующем, угловые скобки будут обозначать такое интегрировании – усреднение.

4.2. Случай гармонической волны в диэлектрике.

Предполагается, что токов нет. Среда способна только поляризоваться и/или намагничиваться. Плотность потерь в этом случае есть

		1			D				B
q div S			E					H			.			(4.2.1)
q div S			E					H			.			(4.2.1)
		4				t			t
		4				t			t

Для гармонических (монохроматических) полей напряженности магнитного и
электрического полей и индукций можно записать как
E (t ) (1 / 2 ) E	0	exp(	i	0		t ) E	*	exp(	i	0		t ) ,
	0			0			0			0
B (t ) (1 / 2 ) B	0	exp(	i	0		t ) B	*	exp(	i	0		t ) ,
	0			0			0			0
H (t ) (1 / 2 ) H	0	exp(	i	0		t ) H *		exp(	i		0		t ) .
	0			0			0				0
D (t ) (1 / 2 ) D	0	exp(	i	0		t ) D *		exp(	i		0		t ) .
	0			0			0				0

Здесь пространственная переменная опущена и явно указана частота несущей волны0 . Производные для случая монохроматических волн записываются как

B / t ( i	/ 2 ) B	exp( i	t ) B *	exp( i	t ) .
			0
D / t ( i	/ 2 ) D	exp( i	t ) D *	exp( i		t ) .
			0

Входящие в (4.2.1) произведения в этом случае записываются как

E	D	(i		/ 4 ) E		D *	E	D		...	H	B	(i		/ 4 ) H		B *	H	B		...
			0		0				0					0		0				0
	t					0	0					t					0	0

где точками обозначены слагаемые быстроменяющиеся во времени. Материальные уравнения имеют вид

D ( 0 ) D 0	( 0 )E ( 0 ) ( 0 )E 0 ,	(4.2.3)
B ( 0 ) B 0	( 0 )H ( 0 ) ( 0 )H 0 .	(4.2.4)

Усреднение по времени и учет выражений (4.2.3) и (4.2.4) дает

E		D		i 0		E			(				)E	E	(		)E			0		" (			)E			E		,
								0			0					0		0					0				0
		t	4										0	0						2									0

H	B		i 0		H				(			)H		H	(		) H				0	" (				) H			H .
							0			0						0			0					0				0
	t		4										0	0						2										0

В этих выражениях учитывалось то, что диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость есть комплексные величины.

Окончательно, собрав эти выражения в (4.2.1) можно найти, что поглощаемой энергии (величину диссипации энергии поля в единице объема среды) для монохроматической волны дается следующим выражением

q (		)	0	" (		)E		E	" (		) H		H	.	(4.2.5)
	0				0		0			0		0
			8					0					0

Количество тепла, выделяемого за время усреднения, равно

Q q ( 0 )dV .

Из условия, что Q 0 следует, что выражение в скобках в (4.2.5) положительное. Достаточным условием для этого будут неравенства

" ( 0 ) 0

и " ( 0 ) 0 .

(4.2.6)

Это касается пассивных сред, где нет усиления электромагнитной волны как в лазерном усилителе, например. В неравновесных процессах условие Q 0 может не

выполняться. Так что и неравенства для мнимых частей проницаемостей могут нарушаться в неравновесных системах.

4.3. Случай общего положения - негармонической волны в диэлектрике1

Рассматриваются поля, напряженности которых и индукции могут быть представлены волновыми пакетами. Например,

E (t ) ( 2 ) 1 E ( ) exp( i t ) d ,

итак далее. Для производной от электрической индукции справедливо


D / t ( 2 i ) 1 D ( ) exp( i t ) d ( 2 i ) 1	( )E ( ) exp( i t ) d .

Произведение векторов электрического поля и этой производной записывается как

	D
E	D		i ( 2 ) 2		E ( ' ) ( )E ( ) exp{ it ( ' )}d d ' .
E			i ( 2 ) 2		E ( ' ) ( )E ( ) exp{ it ( ' )}d d ' .
	t

Усреднение по времени понимается как интегрирование

					... ... dt .

Так что,
		D
E		D		i ( 2 ) 2 E ( ' ) ( )E ( ) 2 ( ' ) d d '

		t
		t


i ( 2 ) 1 E ( ) ( )E ( ) d i ( 2 ) 1 E ( ) ( )E ( ) d ,

1 Этот параграф можно предложить рассмотреть самостоятельно.

поскольку из определения	представления Фурье следует, что E ( ) E ( ) . В
изотропной среде
	D
E	D	i ( 2	)	1	( ) \| E ( ) \|2 d .
				1
	t
	t

Аналогично,
	B
H	B	i ( 2	)	1	( ) \| H ( ) \|2 d .
				1
	t
	t

Учитывая свойства симметрии диэлектрической и магнитной проницаемостей2
' ( ) ' ( ) ,					" ( ) " ( ) .
( ) ( ) ,					( ) ( ) ,
интегралы можно дальше преобразовать.

i ( ) \| E ( ) \|2 d i [ ' ( ) i " ( )] \| E ( ) \|2 d


i ' ( ) \| E ( ) \|2 d " ( ) \| E ( ) \|2 d .

Так, как вещественная часть диэлектрической проницаемости четная функция,

функция частоты ' ( ) будет нечетной и первый интеграл равен нулю. Функция" ( ) напротив четная и второй интеграл ненулевой. Таким образом

	D
E	D	( 2	) 1	" ( ) \| E ( ) \|2 d .

	t
	t

Аналогично,
	B
H	B	(2	) 1	" ( ) \| H ( ) \|2 d .

	t
	t

Окончательно,

q (8 ) 1 { " ( ) | E ( ) |2

" ( ) | H ( ) |2 }d . (4.3.1)

Или,

q (16 ) 1 { " ( ) | E ( ) |2

" ( ) | H ( ) |2 }d .

(Относится на семинар) Для плоских волн существует связь между напряженностями электрического и магнитного полей. Из уравнения

2 Лекция 3. Модель Друде-Лоренца.

rot E 1 B c t

следует, что c (k E ) ( ) H . Отсюда получается соотношение3

c 2 | E ( ) |2 2 | ( ) |2 | H ( ) |2 .

(4.2.8)

Исключив в (4.2.7) магнитное поле H ( ) с помощью этого соотношения, можно для q записать следующее выражение

Тогда, условие Q


	1		2		2		2
(16 )	1	{ " ( ) " ( )( c / )	2	\| ( ) \|	2	} \| E ( ) \|	2	d		(4.2.9)
(16 )		{ " ( ) " ( )( c / )		\| ( ) \|		} \| E ( ) \|		d	.	(4.2.9)
		0

0 выполняется при выполнении неравенства

" ( ) " ( )( c / ) 2 | ( ) | 2

0 .

(4.2.10)

4.4. Квази-гармонические ЭМ волны.

Гармоническая волна, бегущая вдоль оси Z, представима следующим выражением

E (t ) (1 / 2) E 0 exp( i 0 t ik 0 z ) c.c. ,

(4.4.1)

в котором E 0 – постоянный вектор – амплитуда волны. Если амплитуда медленно

меняется со временем и координатой (а что значит – медленно?) то такая волна как бы гармоническая и называется квазигармонической. Вместо амплитуды используется понятие огибающей квазигармонической волны. Параметры 0 и k 0 называют

частотой и волновым числом несущей волны. (Картинку нарисовать).

E (t , z ) (1 / 2) E 0 (t , z ) exp( i 0 t ik 0 z ) c.c. ,

(4.4.2)

Медленное изменение огибающей понимается как медленное ее изменение на масштабах изменения огибающей волны. То есть,

					,		E				.
	E	0	0	E 0				0	k 0	E 0

t						z

С точки зрения Фурье-спектра волны условие квазигармоничности можно выразить иначе. Спектр величины в (4.4.2) есть следующий интеграл


E ( , k )	E (t , z ) exp( i t ikz ) dtdz .

3 В силу этого соотношения иногда нет смысла рассматривать пару волновых уравнений, одно для электрического поля, а другое для магнитного поля. А есть статьи, где рассматриваются солитоны в метаматериалах и уравнения для электрического и магнитного полей различаются.

Подстановка сюда выражения (4.4.2) дает


E ( , k )	E 0 (t , z ) exp[ it ( 0 ) iz ( k k 0 )]dtdz E 0 ( 0 , k k 0 ) . (4.4.3)

Это означает, что спектр огибающей совпадает			со спектром волны (4.4.2), но он
сдвинут по осям	и k	на величину 0 и	k 0 . (Картинку нарисовать). Для

гармонической волны

E 0 ( 0 , k k 0 ) E 0 ( 0 ) (k k 0 ) + с.с.

Но, если «размытие» дельта функции и k много меньше соответственно 0 и k 0 ,

то это как раз и означает, что огибающая медленно меняется во времени и пространстве. Можно сказать, что квазигармонические волны представляются узкими волновыми пакетами.

4.5. Случай квази-гармонической ЭМ волны в диэлектрике.

Из (4.4.3) следует, что

E 0 ( ) E ( 0 ) .

То же самое соотношение выполняется для всех прочих полей. Связь индукций с напряженностями полей дается выражениями

D 0 ( ) ( 0 )E 0 ( ) ,

B 0 ( ) ( 0 )H 0 ( ) .

(4.5.1)

Для узких волновых пакетов, то есть, когда амплитуды полей и индукций медленно меняются по сравнению изменениями несущей волны, следует учитывать частоты, удовлетворяющие неравенству 0 . Тогда (4.5.1) приближенно записываются как

			E 0 ( ) ,
D 0 ( ) ( 0 )E 0	( )

		0
			H 0 ( ) .
B 0 ( ) ( 0 )H 0	( )

		0

Возвращаясь к исходным переменным, меняющимся в пространстве и в времени, отсюда можно найти следующие приближенные выражения

(t ) ,

(4.5.2)

D 0 (t ) (

0 )E

(t ) i

0 (t ) .

(4.5.3)

B 0 (t ) (

0 )H

(t ) i

Если вектор электрического поля представлен в виде волнового пакета, и электрическая индукция представлена так же, то производная записывается как

		1
	D (t.r )			D 0	(t , r ) i 0 D 0	(t , r ) exp{ i	0 t ik r} c.c.
t			t
		2

E	D	1				D 0	(t , r ) i 0 D 0
			E 0	(t )				(t , r )
	t	4			t

(t , r ) E 0 (t )

i 0

(t )

(t , r )

1			0
		E		(t )			D 0 (t , r ) i 0 D 0 (t , r )
4		E		(t )		t	D 0 (t , r ) i 0 D 0 (t , r )
4						t
	1	E			(t ) D			(t , r ) E		(t ) D		(t , r ) .
4		E		0	(t ) D		0	(t , r ) E	0	(t ) D	0	(t , r ) .
				0			0		0		0

С учетом (4.5.2) и (4.5.3)

(

E 0

(t )

0 )E

E 0

( 0 )E

E 0

i 0 E 0

(t )

( 0 )E

i 0 E 0

( 0 )E 0

E 0

Если вторые производные по времени отбросить, оставшаяся часть выражения примет вид

							4 E			D		i				(					) (							) \| E					(t ) \|2
															0					0							0					0
										t



			(			)							E		(t )				E					(					)											E				E		.
			(		0	)		0					E	0	(t )				E					(				0	)				0							E				E	0	.
					0			0						0			t			0								0					0							0	t				0
											0						t																					0			t
											0																											0
Теперь надо учесть, что

		(	0 ) 0														( )					,				( 0 ) ( 0 ) 2i " ( 0 ) .
		(	0 ) 0														( )					,				( 0 ) ( 0 ) 2i " ( 0 ) .
									0											0
Таким образом,
		D	2 0 " ( 0 ) \| E 0 (t ) \|2															( )																			( )
4 E																										E		0 (t )						E	0							E 0							E 0 .
4 E																										E		0 (t )						E	0							E 0							E 0 .
		t																													t											0					t
		t																						0							t											0					t
Или,
	D			0									2		1		(					)														1			( )
E				0	" (		0 ) \| E 0 (t ) \|																		E 0 (t )							E 0											E 0						E 0 .
E					" (		0 ) \| E 0 (t ) \|																		E 0 (t )							E 0											E 0						E 0 .
	t		2												4															t						4							0					t
	t		2												4								0							t						4							0					t

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015845.46 Кб53Лебедев, Колоколов. ИГМФ.pdf
#
03.06.2015933.51 Кб9Лекции - Раздел 1.pdf
#
01.03.2025208.38 Кб0Лекции ОИ.doc
#
03.06.201514.11 Mб13Лекции по физкинетике.PDF
#
03.06.2015386.05 Кб39Лекции по философии (Семенов) 2006-2007.doc
#
03.06.20151.71 Mб22Лекции.pdf
#
03.06.201583.97 Кб42Лекция Потребности и мотивы.doc
#
03.06.20151.29 Mб29Лекция 1 - конспект.pdf
#
03.06.20151.87 Mб58Лекция 10 - Неметаллические материалы.pdf
#
03.06.2015910.58 Кб8Лекция 10.pdf
#
03.06.20152.45 Mб49Лекция 12 - Наноматериалы и УНТ.pdf

E		D		i 0		E			(				)E	E	(		)E			0		" (			)E			E		,
								0			0					0		0					0				0
		t	4										0	0						2									0

H	B		i 0		H				(			)H		H	(		) H				0	" (				) H			H .
							0			0						0			0					0				0
	t		4										0	0						2										0

E		D		i 0		E			(				)E	E	(		)E			0		" (			)E			E		,
								0			0					0		0					0				0
		t	4										0	0						2									0

H	B		i 0		H				(			)H		H	(		) H				0	" (				) H			H .
							0			0						0			0					0				0
	t		4										0	0						2										0

E		D		i 0		E			(				)E	E	(		)E			0		" (			)E			E		,
								0			0					0		0					0				0
		t	4										0	0						2									0

H	B		i 0		H				(			)H		H	(		) H				0	" (				) H			H .
							0			0						0			0					0				0
	t		4										0	0						2										0