Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Используя эту формулу, можно выражение для силы (сила1) записать как

Fdip		(E E )			E B .	(сила2)

	2		c	t

Если не использовать предположение о линейной зависимости поляризации от напряженности электрического поля, то следует вспомнить определение вектора электрической индукции и подставить формулу

D E

в (сила0), что даст

( P )E

B =

Fdip

( D )E (E )E

B .

1 D

4 c

( D B )

(E B )

4 c

Поскольку

rot E

это слагаемое преобразуется далее как

1 D

B )

D rot E E rot E .

( D

B )

4 c t

4 c

Используя формулу (формула1) выражение для силы может быть переписано как

	1	( D	)E (E )E					1		( D B )
Fdip
Fdip									t			t
	4						4	c	t			t
				1		1
					D rot E		(E E ) (E )E				.
					D rot E		(E E ) (E )E				.
				4		2

(E B )

Или

		1	( D B ) (E B )	1		1		. (сила)
Fdip					( D )E D rot E		(E E )
		c t
	4			4		2

Это выражение для силы, с которой электромагнитное поле действует на разряженную среду из дипольных молекул.

Дополнение (к Упражнению)

Рассматривается

1 '

div A '

c t

где

A A ' A f ,

c t

Тогда,

1 '

2 f

1 2 f

div A '

div A

c t

2 f

div A

c t

Следовательно только если функция f f (r , t ) удовлетворяет уравнению дАламбера

2 f	1	2 f			0 ,
2 f	c 2	t 2			0 ,
	c 2	t 2
выражение
		1		'
div A '
div A '
			c	t
			c	t

калибровочно инвариантно. А в общем случае – нет.

Дополнение (к Упражнению)

A rot Π 1

Π 2 ,

div Π 2 .

Следовательно,

B rot A

rot rot Π

rot Π

div Π

c t

rot

Π 1 div Π

2 .

t 2

, можно последнее выражение переписать как

Поскольку rot rot A (div

A )

rot

rot rot Π

2 Π

c 2

t 2

rot

rot Π

c 2 t

c t

Учитывая (2.17) отсюда следует, что

E rot

rot Π

4 P .

c t

Или

4 P

D rot

rot Π

Лекция 3. (24.09.2010)

Уравнения Максвелла дополняются материальными уравнениями

D E 4 P ,

B H 4 M

и, если имеются свободные заряды и токи, то надо доопределить связь плотности зарядов и токов с электромагнитными полями jc jc (E , B ) . Полезно выбрать простую,

самум простую модель, описывающую среду и для этой модели найти поляризацию, ток и намагниченность. Если модель простая, то основные закономерности будут в ней отражены. Такая модель, давно известная, это модель Друде-Лоренца.

Трехмерная модель. Картинка. Потенциал представляется рядом по смешениям из положения равновесия. Важно учитывать потери. Сила Лоренца – вынуждающая сила в этой модели.

Смещение заряда из положения равновесия обозначено как u (t ) . Для этой величины записывается уравнение Ньютона:

m	2 u (t )	m	u (t )	U (u )	eE	1 u (t )	B .

	t 2		t	u		c t

Потенциал, удерживающий заряд около положения равновесия представляется рядом Тейлора

	1		2U
U (u ) U (0)					u u		.
U (u ) U (0)	2				u u		.
	2	u u			j	l
					j	l
			l	j 0

Если ограничится гармоническим приближением

U (u ) U (0 ) K jl u j u l ,

то уравнение Ньютона примет вид

m	2 u (t )	m	u (t )	K u eE	1 u (t )	B .	(Н2)

	t 2		t		c t

В случае изотропной среды матриц К диагональный и пропорционален единичной матрице. Тогда уравнение (Н2) можно переписать как

2 u (t )

u (t )

1 u (t )

t 2

cm t

Одномерный случай самый простой, но в нем нет магнитного поля.

3.1. Одномерная модель Друде-Лоренца. Определение поляризации.

Одномерную модель проще анализировать. В этом случае уравнение движения для заряженной частицы в потенциальном поле и находящейся в поле электромагнитной волны можно записать как

u	,tt	u	.t	2 u (e / m ) E (t ) .	(1)
	,tt		.t	0

Здесь u величина смещения заряда из положения равновесия.

Смешение и электрическое поле представляется в виде интеграла Фурье

i t

u (t )

u ( )e

d ,

E (t )

E ( )e

d .

Перейдя к Фурье компонентам (поскольку это уравнение линейное и всякое поле можно представить волновым пакетом – интегралом Фурье), можно записать

(	2		2	~		~	~
(	0			)u ( ) i u ( ) (e / m ) E ( ) .
Отсюда следует, что
		~				(e / m )	~
		u ( )					E ( )
		u ( )			( 2	2 ) i	E ( )
					0
Поляризуемость одного «атома» есть					~	~
Поляризуемость одного «атома» есть					p ( ) ex ( ) . Полагая, что среда подобна газовой

среде (газ или ионы в стеклянной матрице, например), можно полную поляризацию единицы объема выразить через поляризуемость одного атома и плотность атомов n at . Так что

(e 2 / m ) nat

P ( ) nat eu ( )

E ( ) .

( 2 2 ) i

Для электрической индукции D (t ) E (t ) 4 P (t )

ее Фурье преобразование имеет вид

4 (e 2 / m )n

D ( ) E ( ) 4 P ( )

E ( ) .

(

)

Выражение, стоящее в скобках можно обозначить как

				4 (e 2 / m ) nat
		( )	1				.	(эпсилон)
		( )	1				.	(эпсилон)
				2	2
				( 0		) i
И записать	~	~
И записать	D ( ) ( ) E ( ) . Функцию (эпсилон) называть можно диэлектрической

проницаемостью. Если вернуться к исходным переменным, то надо записать

i t d .

D (t )

( ) E ( )e

Используя обратное преобразование Фурье

E (t ' )e i t 'dt '

E ( )

Для индукции получается выражение

D (t )

( ) E (t ' )e i t 'dt 'e i t d

( )e i ( t t ') d E (t ' ) dt ' ,

или

D (t )

(t t ' ) E (t ' ) dt ' ,

где введена функция (линейного) отклика

(t )

( )e i t d .

Можно немного обобщить этот результат, полагая атомы различающимися

собственными частотами,

и даже всеми остальными параметрами. Пусть 0

собственная частота атома с номером а. Кроме того, заряд, масса и коэффициент затухания у каждого атома свои. Фурье компонента смещения дается выражением

~	(ea / m a )	~	ea	~
u ( )		E ( )		L a ( ) E ( ) .
u ( )	( a2 2 ) i a	E ( )	m a	L a ( ) E ( ) .
	( a2 2 ) i a		m a

В рассматриваемой модели предполагается, что атомы не взаимодействуют. Полная поляризация есть сумма всех поляризаций, то есть,

~			e 2			~
P ( )			a	L a ( )E ( ) .
P ( )				L a ( )E ( ) .
		a	m a
Фурье-компонента электрической		индукции				есть	~	~	где теперь
Фурье-компонента электрической		индукции				есть	D ( ) ( ) E ( ) ,		где теперь
диэлектрическая проницаемость определена формулой
			4 (ea2 / m a )
	1								(дп1)
( )	1		2		2				(дп1)
		a	( a			) i a

Если не ограничиваться одной собственной частотой осциллятора, а стараясь описать многоуровневый атом системой осцилляторов, так что для каждого перехода определен свой осциллятор, то как собственные частоты, так и коэффициенты затухания надо пометить дополнительным индексом. Диэлектрическая проницаемость в такой обобщенной модели Друде-Лоренца определена формулой

u ( x )

			4 (ea2, j / m a )			4 f a , j
( )	1			1			.	(ДП2)
( )	1	2	2	1	2	2	.	(ДП2)
				a , j ( a , j
	a , j ( a , j ) i a , j			a , j ( a , j		) i a , j

Параметр f a , j можно понимать как силу осциллятора для j-того перехода в спектре а-

того атома. Если используя квантово-механическую модель атома и в первом порядке теории возмущений вычислит поляризацию такой системы – ответ для диэлектрической проницаемости формально совпадет с выражением (ДП2). Но силы осцилляторов буду выражены через матричные элементы дипольных переходов.

В рассмотренной модели неявно предполагалось, что электрическое поле одинаково для всех атомов. Это не так бывает часто. Можно обобщить модель, основанную на уравнении (1). Пусть координата каждого атома обозначена как x , а смещение заряда в атоме из его положения равновесия есть

u	,tt	u	.t	2 u (e / m ) E (t ) .	(1Gen)
	,tt		.t	0

Теперь cсмешение и электрическое поле представляется в виде интеграла Фурье

	1			~	i t ikx			1		~
u ( x , t )			u ( , k )e			d dk ,	E ( x , t )			E ( , k )e
u ( x , t )	)	2	u ( , k )e			d dk ,	E ( x , t )	)	2	E ( , k )e
( 2	)						( 2	)

Если взаимодействия между атомами нет, то переход к Фурье уравнение

(	2		2	~	~	~
	0			)u ( , k ) i u ( , k ) (e / m ) E ( , k ) .

i t ikx d dk .

компонентам дает

Отсюда следует, что

~		(e / m )			~
u ( , k )						E ( , k ) .
u ( , k )	( 2	2 ) i				E ( , k ) .
	0
Повторив все предыдущие выкладки, можно найти, что полная поляризация есть
~			e 2		~
P ( , k )			a	L a ( )E ( .k ) .
P ( , k )				L a ( )E ( .k ) .
	a		m a
Фурье-компонента электрической	индукции					есть	~	~	, где
Фурье-компонента электрической	индукции					есть	D ( , k ) ( ) E ( , k )		, где

диэлектрическая проницаемость определена прежним выражением (дп1) или (ДП2). Вывод из рассмотренных моделей следует таков. Отклик (линейный, по крайней

мере) среды на электромагнитное поле зависит от частоты. В таком случае говорят, что

имеет место (временная) дисперсия.
В пределе низких частот, когда 0					и 1 / из (эпсилон) следует, что
		4 (e 2	/ m ) n	at			2p
( )	1			at		1		(0 )
( )	1					1		(0 )
			2				2
		0					0

где введено обозначение

2	4 e 2 nat	.
p	m
	m

Вэтом пределе справедлива формула электростатики D (t ) (0 ) E (t ) .

Впределе , из (эпсилон) следует

		4 (e 2	/ m ) n		at		2p
( )	1				at	1		.
( )	1					1		.
				2			2
				2			2

Следовательно, в высокочастотном пределе поведение среды напоминает поведение плазмы.

Из выражения (эпсилон) следует, что диэлектрическая проницаемость есть комплексная величина. И если в этом выражении рассмотреть предел 0 , то получится следующее.

			4 (e 2 / m ) n			at						2p				2p			( 2 2 ) .
( )	1					at			1						i
( )	1	2		2					1		2			2	i
		2		2							2			2						0
			( 0 ) i							0
Поскольку
		( 2		2 )			1		(				) (					) ,
		( 2		2 )					(			0	) (				0	) ,
		0				2						0					0
						2		0
мнимая часть диэлектрической проницаемости в пределе 0 равна
			" ( )		2p			(				) (					) .
			" ( )		2 0			(			0	) (				0	) .
											0					0

Важно заметить, что если сразу в уравнении движения (1) положить 0 , то диэлектрическая проницаемость будет вещественной. Что не есть правда.

Комплексную величину ( ) можно, как обычно, разложить на вещественную и мнимую часть. Для полученного здесь выражения

				2p
( )	1
( )	1
			2		2
		(	0			) i

имеет место следующее представление ( ) ' ( ) i " ( ) , где

			2p ( 02 2 )									2p
' ( )	1								, " ( )									.
			2	2		2	2	2			2		2		2	2	2
		(	0		)					(	0			)
Отсюда следует, что
		' ( ) ' ( ) ,							" ( ) " ( ) .

3.2. Одномерная обобщенная модель Друде-Лоренца.

Общее выражение для Фурье-компоненты электрической индукции записывается как

~	~
D ( , k ) ( , k ) E ( , k ) .
Или в трехмерном случае
~	~

D ( , k ) ( , k ) E ( , k ) .

Отмечая зависимость от волнового вектора k диэлектрической проницаемости, говорят, что имеет место пространственная дисперсия, помимо частотной дисперсии. В таком случае связь электрической индукции и электрического поля нелокальная как в пространстве, так и во времени:

D (t , r ) (t t ' , r r ' ) E (t ' , r ' )dr ' dt ' .

А в самом общем случае,

D (t , r ) (t , t ', r , r ' ) E (t ', r ' )dr ' dt ' .

Врассмотренной модели, основанной на уравнениях (1) отсутствовало взаимодействие между атомами, около которых осцилляции электронной плотности описывалось согласно модели Друде-Лоренца. Но такое взаимодействие можно учесть.

Исходная модель (без учета трения) описывается лагранжианом

(Лаг1)

u n ,t

U a (u n ) eu n E ( xn )

где удерживающий потенциал аппроксимирован был полиномом второго порядка

) U

(0 )

'' (0 )u 2 .

Уравнение Эйлера-Лагранжа

u n

t u n ,t

совпадает с уравнением

u n ,tt 02 u n (e / m ) E (t , xn ) .

Здесь U '' (0) / m 2

. (Почему не

n ,tt

2 u

(e / m ) E (t , x

) ? – дело в усреднении,

когда переход к макроскопическим уравнениям проводился.)

Чтобы учесть взаимодействие между атомами, расположенными в узлах, надо добавить к лагранжиану (Лаг1) слагаемые, которые бы учитывали движение этих атомов около их положения равновесия, и слагаемое, учитывающее между электронами

соседних атомов. Если стараться сделать минимальное обобщение модели ДрудеЛоренца, то достаточно ограничиться следующим лагранжианом

	m	2
L		u n ,t	U a	(u n ) eu n E ( xn )	U c (u n	u n 1 ) ,	(Лаг2)
L	2	u n ,t	U a	(u n ) eu n E ( xn )	U c (u n	u n 1 ) ,	(Лаг2)
n	2				n

и считать, что междуатомное взаимодействие ограничивается гармоническим приближением, то есть

)

U "

(0 )( u

) 2 .

n 1

Уравнение Эйлера-Лагранжа в этом случае дает следующее выражение

eE ( xn ) U a''u n

U c" (0)(u k

u k 1 ) 2

0 .

u n k

Последнее слагаемое в этом выражении есть

2 U c" (0 ) (u k u k 1 ) kn (u k u k 1 )( 1) k 1n

2U " (0) (u

n 1

) (u

) 2U " (0)

n 1

Если определить

параметр

(0) / m , то уравнение

Эйлера-Лагранжа примет

следующий вид

2 u n

2 u

(e / m ) E ( x

) .

(ДЛобо1)

n 1

Применяя преобразование Фурье по времени

i t

u n (t )

u n

( )e

d ,

E (t , xn )

E (

, xn )e

d ,

отсюда можно получить

(

(ДЛобо2)

)u n 2u n

u n 1 u n 1

(e / m ) E ( xn ) .

Это линейное разностное уравнение и оно может быть решено методом производящей функции, но, если искать решение в виде волны, то следует проще поступить. Положив

~	A( )e	iql n	,	~	( )e	iql n
u n	A( )e		,	E ( , xn ) E0	( )e

где xn nl , ( l – расстояние между атомами в положении равновесия), подстановка этого анзаца в (ДЛобо2), дает

( 02 2 ) A( ) 2 (1 cos ql ) A( ) (e / m ) E0 ( ) .

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015933.51 Кб9Лекции - Раздел 1.pdf
#
01.03.2025208.38 Кб0Лекции ОИ.doc
#
01.05.20251.12 Mб0Лекции по окр. миру.doc
#
03.06.201514.11 Mб13Лекции по физкинетике.PDF
#
03.06.2015386.05 Кб39Лекции по философии (Семенов) 2006-2007.doc
#
03.06.20151.71 Mб21Лекции.pdf
#
03.06.201583.97 Кб42Лекция Потребности и мотивы.doc
#
03.06.20151.29 Mб29Лекция 1 - конспект.pdf
#
03.06.20151.87 Mб58Лекция 10 - Неметаллические материалы.pdf
#
03.06.2015910.58 Кб8Лекция 10.pdf
#
03.06.20152.45 Mб48Лекция 12 - Наноматериалы и УНТ.pdf