Лекции

И, если придать этому выражению условие равновесия тела (среды, помещенной в электромагнитное поле) то, результат искомый выглядит как

Третье слагаемое в (1.3) это сила Лоренца, действующая на сторонние (и свободные) заряды и токи.

Можно понимать как вектор плотности импульса. Минковский так и поступил. Так что, если оставаться в представлениях механики Ньютона, импульс, связанный с полями в веществе, есть

Если принять материальные уравнения в следующей форме (как часто можно увидеть в учебниках)

означающие, что среда линейная и дисперсия отсутствует, то вектор плотности импульса Минковского может быть выражен через вектор Пойнтинга

Однако, если определить с самого начала, что плотность импульса есть

как в теории электромагнитного поля в свободном пространстве, то возникает разность этих величин

При условии выполнимости материальных уравнений (1.6) эта разность есть

11

g ( M ) g ( A ) 1 E H .

4 c

Производная по времени от этой разности «импульсов» есть сила Абрагама.

Первое слагаемое в (1.3) можно понимать как силу натяжения Максвелла. Если принять тензор натяжений в следующей форме (в форме Минковского)

то компоненты силы, действующей на вещество, помещенное в электромагнитное поле, определяются из тензора натяжений согласно формуле

Пусть среда однородна, то есть градиенты диэлектрической и магнитной проницаемостей равны нулю. Тогда плотность силы, действующей на среду дается выражением

Выражение (1.3) есть другая запись этого выражения.

Упражнение 1. Для плоской волны в однородном пространстве без дисперсии найти вектор плотности импульса.

Рассмотреть гармоническую волну и электромагнитный всплеск.

Упражнение 2. Вывести выражение для силы, действующей на разряженную среду из молекул, обладающих только дипольным моментом.

2.2. Волновые уравнения

Уравнения Максвелла

12

можно переписать в виде уравнений второго порядка, если подействовать оператором rot на каждое из (2.1) уравнение.

Используя материальные уравнения D E 4 P и B H 4 M , можно это уравнение переписать как

13

Задав P , M и jtot можно использовать любой из волновых уравнений для определения одного из полей, а второе найти из уравнений (2.1).

2.3. Векторный и скалярный потенциалы

Для микроскопических уравнений Максвелла можно ввести векторный и скалярный потенциалы, что хорошо известно. Первая пара уравнений Максвелла обеспечивает существование таковых потенциалов. У макроскопических уравнений Максвелла первая пара уравнений имеет аналогичный вид:

Если подставить (2.7) в уравнение для электрического поля в (2.6), то получится уравнение

Следовательно, выражение в скобках есть градиент какой-то функции. Традиционно ее выбирают следующим образом

E 1 A . c t

Так, что помимо (2.7) уравнение

14

При этом

B ' rot A ' rot( A f ) rot A B .

Чтобы электрическое поле было бы инвариантно относительно такой замены потенциала A , надо скалярный потенциал тоже преобразовать.

Отсюда видно, что если

при любой функции f f (r , t ) , называются калибровочными преобразованиями.

Полезно найти уравнения, котором удовлетворяют потенциалы A и . Ранее было получено уравнение

Подставив в него выражения для полей через потенциалы, можно получить следующее уравнение

Раскрыв двойное действие оператора ротор, получим

или

15

Нужно добавить и отнять вторую производную по времени от скалярного потенциала, чтобы получить волновое уравнений (оператор дАламбера):

16

2.4. Потенциалы Герца

Уравнения (2.13) и (2.14) содержат усредненные заряды и токи, но может быть более удобно было бы иметь такие уравнения, в которые непосредственно входят поляризация и намагниченность. Если сторонние и свободные заряды и их токи отсутствуют, то можно найти такие величины, для которых поляризация и намагниченность являются источниками.

Векторный потенциал, как любой вектор, может быть разложен на две составляющие – вихревую и потенциальную компоненты, то есть

A A1 A 2 ,

причем,

div A1 0 и rot A 2 0 .

(есть такая математическая теорема). Из первого условия следует, что существует такой вектор Π1 , что

A1 rot Π 1 .

Из условия фиксирующего калибровку (2.12) следует, что

откуда

div Π 2 .

Таким образом, введены два вектора, такие, что

Эти векторы называются потенциалами Герца.

Подстановка (2.15) в волновое уравнение для скалярного потенциала дает следующее уравнение:

17