Лекции

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

( ) E (k , ) 0 .

( ) E (k , ) 0 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Лекция 11. (26.11.2010)

Было продолжение предыдущей лекции. Выведено дисперсионное соотношение для ТЕ направленных волн в унифицированных переменных. И на том завершен раздел «Линейной электродинамики». Следующие лекции будут посвящены нелинейной оптике.

До сих пор рассматривалась линейная электродинамика, когда отклик среды (поляризация и намагниченность) был пропорционален напряженности электрического (или магнитного) поля. Такой линейный отклик обусловлен малым возмущением зарядов среды, так что для определения отклика можно было ограничиться либо моделью линейного осциллятора (моделью Друде-Лоренца) либо первым порядком теории возмущений для квантовой теории.

11.1. Обобщенная одномерная модель Друде-Лоренца.

Если вернуться к лекции, в которой рассматривается классическая модель отклика заряда на внешнее поле, то уравнения модели Друде Лоренца следует обобщить.

Как и прежде, смещение заряда из положения равновесия обозначено как u (t ) . Для этой величины записывается уравнение Ньютона:

m	2 u (t )	m	u (t )	U (u )	eE	1 u (t )	B .

	t 2		t	u		c t

Потенциал, удерживающий заряд около положения равновесия представляется рядом Тейлора, в котором удерживается следующее слагаемое

U (u ) U (0 )

u u

u u u

u u

6 u u u

s j

j 0

l j

s 0

Следовательно, выходя за пределы гармонического приближения, на один шаг, надо записать удерживающий заряд потенциал как

U (u ) U (0 ) K jl u j u l R sjl u s u j u l ,

В таком случае уравнение Ньютона примет вид

m	2 u (t )	m	u (t )	K u R : uu	eE	1 u (t )	B .

	t 2		t			c t

В случае изотропной среды матрицы К и R диагональные и пропорциональны единичной матрице. Тогда это уравнение можно переписать, например, как

2 u (t )	u (t )	2 u u 2	(u / u )	e	E	1	u (t )	B .

t 2	t	c		m		cm t

Одномерный случай самый простой, но в нем нет магнитного поля. Но одномерную модель проще анализировать. И задача – понять, догадаться, что можно ожидать, какое поведение поляризации из-за ангармонизма можно ожидать. В этом случае уравнение движения для заряженной частицы в потенциальном поле и находящейся в поле электромагнитной волны можно записать как

			u	, tt		u	.t	2 u u 2 (e / m ) E (t ) .			(1)
				, tt			.t		c
Здесь	u		величина смещения						заряда из положения равновесия.		Ангармонизм
считается малым, следовательно,								параметр - есть малый параметр задачи. Решение
(1) можно искать как ряд по малому параметру
					u u ( 0 )				u (1)	2u ( 2 ) 3u (3)
Здесь		-	вспомогательный			параметр,				такой что O ( ) , введен	ради удобства

подсчета степеней малости. В окончательных выражениях его надо положить равным единице. Подстановка этого разложения в (1) дает следующее уравнение

u ( 0 )

u (1) 2 u ( 2 ) 3 u ( 3 )

u ( 0 ) u (1) 2 u ( 2 )

3 u ( 3 )

, tt

u ( 0 ) u (1)

2 u ( 2 )

3 u ( 3 ) u ( 0 ) u (1)

2 u ( 2 )

3 u ( 3 ) 2

(e / m ) E (t )

Теперь надо собирать члены одного порядка малости, что дает для 0

( 0 ) , tt

u ( 0 ).t 2 u ( 0 )

(e / m ) E (t ) ,

(2.1)

для 1

u ( 0 ) , tt

u ( 0 ) .t

2 u ( 0 ) u ( 0 ) u ( 0 ) ,

(2.2)

для 2

( 0 ) , tt

u ( 0 ) .t

2 u ( 0 )

2u (1) u ( 0 ) ,

(2.3)

для 3

u (1) u (1) 2u ( 2 ) u ( 0 ) ,

u ( 0 ) , tt u ( 0 ).t 2 u ( 0 )

(2.4)

ну и так далее.

Решение линейного уравнения (2.1) можно записать как

( 0 )

i t

(e / m )

(t )

u ( )e

d ,

где

u ( )

E ( ) .

( c

) i

Следовательно, в правой части линейного уравнения (2.2) стоит вынуждающая сила

( 0 ) 2

i ( 1

2 ) t

(t )

u ( 1 )u ( 2 )e

d 1 d

2 .

(3)

( 2 )

Поскольку каждая Фурье амплитуда смещения	~	пропорциональна Фурье
	u ( 1 )

амплитуде электрического поля, вынуждающая сила пропорциональна квадрату напряженности электрического поля и результирующая поправка к функции отклика будет квадратично зависеть от напряженности электрического поля. То есть, отклик нелинейный.

Упрощение вычислений достигается при условии, что поле в (1) гармоническое. Это означает, что

E (t ,...) E

e i 0 t c.c. ,

где 0 - частота несущей волны. В этом случае

E (t ' )e i t ' dt ' E 0

e i ( 0 ) t ' dt ' E 0*

e i ( 0 ) t ' dt '

E ( )

2 E

(

) 2 E * (

) .

И, следовательно,

(e / m )2

u ( )

0 ( 0 )

E 0 ( 0 ) .

( 2

2 ) i

Чтобы короче были последующие записи, вводят функцию Лоренца (лоренциан)

		L ( )												1							L ( ) .													(4)

								2				2 ) i
							(	2				2 ) i
										c
Тогда,
~		(e / m ) L ( ) E 0 (										0 )						2 (e / m ) L ( ) E													*	( 0 )
u ( ) 2		(e / m ) L ( ) E 0 (										0 )						2 (e / m ) L ( ) E													0	( 0 )
	2 (e / m ) L ( ) E 0 ( 0 ) 2 (e / m ) L* ( ) E 0* ( 0 ) .
Отсюда можно найти, что
~		~	L (																															)
	u ( 1 )u ( 2 )							) E					(						) L* (					) E * (
								) E				0	(			1		0	) L* (					) E * (							1		0
	( 2 e / m ) 2						1					0				1		0					1			0					1		0
	( 2 e / m ) 2
		L (		2	) E	0	(		2					0	) L*			(		2	) E * (				2				0	) =
				2		0			2					0						2	0				2				0
		L (				) L (				2	) E 2 (						1			0	) (	2					0	)
					1					2			0				1			0		2					0

L ( 1 ) L* ( 2 ) | E 0 |2 ( 1 0 ) ( 2 0 )L ( 2 ) L* ( 1 ) | E 0 |2 ( 2 0 ) ( 1 0 )L* ( 1 ) L* ( 2 ) E 0*2 ( 1 0 ) ( 2 0 ) .

Подставив это выражение в (3), можно после тривиального интегрирования найти, что вынуждающая сила в (2.2) есть

( 0 ) 2

i ( 1 2 ) t

(t )

u (

1 )u ( 2 )e

d 1 d

( 2 )

( )( e / m ) 2 L (

) L (

) E 2

e i 2 0 t

c.c.

( 2 )( e / m ) 2 L ( 0 ) L* ( 0 ) | E 0 |2 .

Видно, что вынуждающая сила меняется на удвоенной частоте электромагнитной (гармонической) волны и имеет постоянную составляющую. Подстановка

									(1)			1				~ (1)								i t
								u		(t )				u							( )e						d
								u		(t )			2	u							( )e						d
													2

В уравнение (2.2) дает
2	2	~ (1)						~ (1)		( ) ( )( e / m )												2									2
( c		)u		( ) i u						( ) ( )( e / m )													L ( 0 ) L ( 0 ) E 0 ( 2 0 )
( )( e / m ) 2 L* (					0	) L* (	0	) E *2		( 2					0	) ( 2 )( e / m ) 2 L (															0	) L* (			0	) \| E	0	\|2	( ) .
					0		0		0						0																0				0		0
Отсюда следует, что
		~ (1)	( ) ( )( e / m )								2	L ( ) L (									0 ) L (						2			( 2		0 )
		u	( ) ( )( e / m )									L ( ) L (									0 ) L (					0 ) E 0				( 2		0 )
					( )( e / m ) 2 L ( ) L* (												0		) L* (					0		) E *2			( 2				0	)					(5)
																	0							0			0						0
					( 2 )( e / m ) 2 L ( ) L (													0		) L* (					0	) \| E		0		\|2 ( ) .
																		0							0			0

Процедуру вычисления поправок к смещению заряда из положения равновесия можно продолжать до достижения произвольной точности. Но, ограничимся только первой поправкой и тогда для Фурье компоненты смещения можно записать

~	0 ( 0 ) ( ) L ( ) L (	0 ) L (	0 ) E	2	( 2	0 ) c.c.
u ( ) L ( ) E				0
	( 2 ) L ( ) L ( 0 ) L* ( 0 ) \| E 0 \|2 ( ) .

Полагая, что среда подобна газовой среде (газ или ионы в стеклянной матрице, например), можно полную поляризацию единицы объема выразить через поляризуемость одного атома и плотность атомов n at . Так что

~	~	( 0 )
P ( ) nat eu ( ) nat e(e / m ) L ( ) E 0

( nat e )( e / m ) 2 L ( ) L ( 0 ) L ( 0 ) E 02 ( 2 0 ) c.c.

( 2 nat e )( e / m ) 2 L ( ) L ( 0 ) L* ( 0 ) | E 0 |2 ( ) .

Учитывая присутствие дельта-функции, это выражение для поляризации можно переписать как

P ( ) nat e(e / m ) L ( 0 ) E 0 ( 0 )

( n	at	e )( e / m ) 2 L (2	0	) L (	0	) L (	0	) E 2	( 2		0	) c.c.	(6)
	at		0		0		0	0			0
( 2 nat e )( e / m ) 2 L (0) L ( 0 ) L* ( 0 ) \| E 0 \|2										( ) .

11.2. Нелинейные восприимчивости.

Выражение (6) показывает, что Фурье амплитуда поляризации представляет собой пики на нулевой частоте, на частоте несущей волны и на удвоенной частоте несущей волны:

~	~		~			~		~
P ( ) P (		0 ) E 0 (	0 ) P (2		0 ) ( 2	0 ) P ( 2	0 ) ( 2	0 ) P (0 ) ( )

Для каждой из частотных компонент поляризаций можно записать следующие формулы

~
P ( 0 ) nat e(e / m ) L ( 0 ) E 0 ,													(7.1)
~		) (	n		e )( e / m ) 2 L (2		) L (		) L (		) E 2	,	(7.2)
P (2	0			at		0		0		0
											0
~			2 nat e )( e / m ) 2 L (0) L ( 0 ) L* ( 0 ) \| E 0									\|2 .	(7.3)
P (0) (

Поляризация (7.1) – это линейный вклад в поляризацию среды. Здесь для модели Лоренца получено явное ее выражение. Вклад в поляризацию (7.2) описывает источник волны на удвоенной частоте основной волны, и тем самым описывает генерацию второй гармоники. Поляризация (7.3) описывает возникновение постоянного электрического поля – это эффект выпрямления. Для линейной поляризации вводится

в общем виде (не только для модели Друде-Лоренца) восприимчивость (1) (							0	) , так
что
~		) (1) (		) E		.
P (	0	) (1) (	0	) E	0	.
	0		0		0

Аналогично, можно ввести восприимчивости (нелинейные восприимчивости второго порядка)

~		) ( 2 )	(2				;			,							,	(8.1)
P (2	0	) ( 2 )	(2			0	;		0	,		0	) E	0	E	0	,	(8.1)
	0					0			0			0		0		0
~	( 2 ) (0;											E * .						(8.2)
P (0)	( 2 ) (0;			0	,			0	) E		0	E * .						(8.2)
				0				0			0		0

В модели Друде Лоренца для нелинейных восприимчивостей имеются явные выражения, которые получаются из (7.2) и (7.3). Но, можно забыв о модели, считать, что нелинейные диэлектрические свойства среды описываются феноменологическими выражениями типа

~
P ( 3 ) ( 2 ) ( 3 ; 1 , 2 ) E 1 E 2 ,							(9.1)
при чем,
	3	1	2	и E	E	.	(9.2)
	3	1	2

Надо пояснить, как написать поляризацию произвольно большого порядка через феноменологическую восприимчивость соответствующего порядка и как расставляются знаки аргументов восприимчивости и аргументов поля.

Если происходит генерация второй гармоники, то появившаяся в среде волна на удвоенной частоте также взаимодействует с зарядами среды и возникает реакция на эту волну. В частности, происходит обратный процесс обратный процесс распад волны гармоники, что описывается поляризацией

~		) ( 2 ) (		;2		,				.	(10)
P (		) ( 2 ) (		;2		,		) E	E	.	(10)
	0		0		0		0		2 0	0

Вычисляя последовательно смещение заряда, используя уравнения (2.3) и (2.4), можно найти поляризации и восприимчивости, отвечающие за утроение частоты (генерацию третье гармоники) и за изменение диэлектрической проницаемости, квадратично по напряженности электрического поля (высокочастотный эффект Керра).

К понятиям нелинейных восприимчивостей можно прийти совершенно абстрактно, рассуждая как в случае линейной восприимчивости. Полагая, что поляризация есть гладкая функция (функционал) электрического поля, можно представить его рядом

				t
			Pi (t , r )	ij(1) (t t ' , r r ' ) E j (t ' , r ' )dr ' dt ' .
				V
			t
			ijl( 2 ) (t t ' , t t , r r ' , r r ) E j (t ' , r ' ) E j (t , r ) dr ' dt ' dr dt
			V
t
	ijlm( 3 )	(t t ' , t t , t t , r r ' , r r , r r ) E j (t ' , r ' ) E j (t , r ) E m (t , r ) dr ' dt ' dr dt dr dt
V

+……

Переходя к Фурье компонентам, можно получить ряд, первые члены которого подобны рассмотренным. Как линейная восприимчивость, так и нелинейные восприимчивости могут быть функциями частоты и волнового вектора, то есть среда может быть нелинейной и одновременно обладать пространственной и временной дисперсией. В анизотропные средах тензоры нелинейных восприимчивостей не сводятся к скалярным величинам. В прозрачных средах эти тензоры симметричны при одновременной перестановке индексов и аргументом, сопряженных этим индексам.

Здесь рассматривались только электрические поля, но подобные разложения могут иметь место для тока и магнитной индукции. В разложении поляризации (например) могут встречаться компоненты магнитного и электрического поля, как на пример, в случае квадратичного магнито-электрического эффекта:

Pi ijkl E i E j H k H l .

Нелинейные восприимчивости заслуживали большое внимание после появления лазеров, поскольку их очень малая величина требует мощных источников электромагнитного излучения. Но, многие нелинейные явления удается наблюдать, используя тонкопленочные или волоконные диэлектрические волновода, в которых напряженность поля возрастает из-за концентрации энергии поля в малом объеме.

11.3. Укороченное волновое уравнение.

Пусть рассматривается однородная диэлектрическая среда в линейном приближении. Волновое уравнение в ней может быть записано как

2			2
	E ( )		( )E ( ) .

		c

Переходя к пространственным Фурье компонентам, отсюда получается уравнение

Для квазигармонической волны используется следующее представление8

	E (t , r ) (1 / 2) E 0 (t , r ) exp(	i 0 t ik 0	r ) c.c. .
Между спектральными компонентами квазигармонической волны и				огибающей
(медленно меняющейся амплитудой) существует соотношение

E ( , k )	E 0 (t , r ) exp[ it ( 0 ) i (k k 0 ) r ) dtd		3 r E 0 ( 0 , k k 0 ) ,

Или
	E 0 ( , k ) E ( 0	, k 0 k ) .		(12)

Это означает, что спектр огибающей совпадает со спектром квазигармонической волны, но он сдвинут по осям и k на величину 0 и k 0 . Следовательно, чтобы получить волновое уравнение для огибающей надо в уравнении (11) сместить

соответствующие переменные и заменить E ( , k )						на E 0 ( , k ) , что даст
					2
					2
		2		0			0 (k , ) 0 .	(13)
(k k	0 )				(	0 ) E
(k k	0 )				(	0 ) E
			c

Это точное уравнение. Однако, спектральная компонента огибающей волны E 0 ( , k ) в

случае квазигармонической волны отлична от нуля только в узкой области частот и волновых векторов, локализованной около нулевых их значений. Следовательно, применимо длинноволновое и низкочастотное приближение. И тогда можно уравнение приближенно записать как

							2			1	2	1		2	2
							2

k 2						0										2	E		(k , ) 0 .
		2k		k		0	(		)
		2k	0	k			(	0	)									0
	0		0		c			0		c 2	0	2 c 2	2		0			0
					c					c 2		2 c 2	2

В этом выражении производные по частоте вычисляются в точке 0 . Если ограничиться первыми поправками, то это выражение можно записать как

							2			1	2
							2
k 2						0								(k , ) 0 .
		2k		k		0	(		)			E
		2k	0	k			(	0	)			E	0
	0		0		c			0		c 2	0		0
					c					c 2

В силу дисперсионного соотношения

8 См. лекцию 4

				2			0			2	0 ) ,
			k	0						(
			k	0				c		(
								c
это выражение принимает вид
	2k		k		1				2			E		(k , ) 0 .	(14)
	2k		k						2			E		(k , ) 0 .	(14)
		0			c	2				0			0
					c

Возвращаясь обратно к пространственно временному описанию, используя при этом правила Фурье преобразований

E 0 ( , k ) E 0 (t , r ) ,	i		,	k i ,

		t

можно из (14) получить уравнение

2ik		i		2		E		(t , r ) 0 .	(15)
2ik				2		E		(t , r ) 0 .	(15)
	0	c	2	0			0
		c			t

Используя дисперсионное соотношение

	2		2
k			( ) ,

		c

коэффициент перед производной по времени можно представить как

2			k 2			k				1 .
				2 k	0		2 k	0	v
	2			2 k			2 k		v
	2		0							g 0
c		0					0

Здесь использовалось определение групповой скорости

vg k .

Но, направление групповой скорости потерялось. Правильнее было бы написать так

2			k	2				k
						2k	0		.
	2					2k			.
	2				0			0
c		0						0

Но, если остаться с исходным определение групповой скорости, уравнение (15) переписывается как

Здесь было использовано выражение

k		0	n .
k	0	c	n .
	0

Уравнение (16) описывает простую волну, которая распространяется без искажения формы со скорость (групповой) v g 0 вдоль направления, определенного вектором n .

Если учитывать слагаемое со второй производной по частоте, то в (16) появится вторая производная по времени, и тем самым будет учитываться дисперсия. В данном случае дисперсия групповых скоростей второго порядка.

Если разделить поляризацию на линейную и нелинейную части, P P lin Pnl , так чтобы вектор электрической индукции представлялся суммой

D E 4 P = ( )E 4 Pnl ,

волновое уравнение запишется как


2		2				2
	E ( )		( )E ( ) 4		Pnl .
	E ( )		( )E ( ) 4		Pnl .
		c		c

Вместо (11) будет уравнение

	2	2			2
k			( ) E (k , ) 4		Pnl (k , ) .	(11*)
k			( ) E (k , ) 4		Pnl (k , ) .	(11*)
		c		c

Переходя к уравнению для огибающих квазигармонической волны и нелинейной поляризации, можно получить

					2					2	~
					2					2
		2		0					0			(k , ) .	(13*)
(k k	0 )					( 0 ) E	0	(k , ) 4			Pnl
(k k	0 )					( 0 ) E	0	(k , ) 4			Pnl
			c					c

Из этого точного уравнения можно получить приближенное уравнение, как было сделано выше для (16). В результате получится

2ik		i		2		E
2ik				2		E
	0	c	2	0			0
		c			t

		0	2	~	(k , ) .	(16*)
(t , r ) 4				Pnl
	c

Если использовать выражение для групповой скорости как прежде, то это уравнение переписывается в следующей форме

(t , r ) 2 i

Pnl

(k , ) .

(16*)

v g 0

( 0 )

Это уравнение называется укороченным или редуцированным волновым уравнением.

Упражнение 1. Найти восприимчивость, описывающую изменение показателя преломления в поле электромагнитной волны (высокочастотный эффект Керра и автомодуляция), используя модель ангармонического осциллятора.

Упражнение 2. Вывести укороченное волновое уравнение с учетом дисперсии групповых скоростей второго порядка и слабой керровской (кубической) нелинейности.

Дополнение (к Упражнению)

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015845.46 Кб53Лебедев, Колоколов. ИГМФ.pdf
#
03.06.2015933.51 Кб9Лекции - Раздел 1.pdf
#
01.03.2025208.38 Кб0Лекции ОИ.doc
#
03.06.201514.11 Mб13Лекции по физкинетике.PDF
#
03.06.2015386.05 Кб39Лекции по философии (Семенов) 2006-2007.doc
#
03.06.20151.71 Mб22Лекции.pdf
#
03.06.201583.97 Кб42Лекция Потребности и мотивы.doc
#
03.06.20151.29 Mб29Лекция 1 - конспект.pdf
#
03.06.20151.87 Mб58Лекция 10 - Неметаллические материалы.pdf
#
03.06.2015910.58 Кб8Лекция 10.pdf
#
03.06.20152.45 Mб49Лекция 12 - Наноматериалы и УНТ.pdf