МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

a∙22∙1 = a∙211 g12 + a∙221 g22 = 5 × (-3) + 7 × 2 = -1,

a11∙∙2 = a1∙12 g11 + a1∙ 22 g21 = 2 × 5 - 3 × 5 = -5,

В ортонормированном базисе очевидно, что gi j = gi j = dij , то есть между ковариантными и контравариантными индексами нет

верного в ортонормированном базисе, и определения тензоров.

Приложение 4.5. Тензоры в ортонормированном базисе

Совпадение ковариантных и контравариантных индексов в орто- нормированных базисах евклидова пространства позволяет ввести в

рассмотрение упрощенный класс тензоров, определенных только в таких базисах и называемых евклидовыми тензорами.

Два евклидовых тензора считаются одинаковыми, если один из них может быть преобразован во второй операциями опускания или поднятия индексов. Поэтому можно в дальнейшем рассматривать евк- лидовы тензоры как имеющие лишь нижние индексы. При этом, прав- да, придется допустить суммирование по паре совпадающих ковари- антных индексов.

При помощи евклидовых тензоров удобно продемонстрировать связь методов тензорного исчисления и аппарата векторной алгебры в

обычном трехмерном векторном пространстве E 3 .

Введем предварительно в рассмотрение трехвалентный дискрими-

нантный тензор εijk , определяемый во всех ортонормированных ба-

зисах по правилу

εijk = (−1)Б(i, j,k ) , если среди чисел i, j,k нет равных,

εijk = 0 – в остальных случаях.

Здесь Б(l, m, n), как и раньше, обозначает число беспорядков в пере-

становке чисел {l,m,n} (см. § 6.1).

Всего у тензора εijk , антисимметричного по любой паре индексов, 27 компонентов, из которых только шесть ненулевых: три равные 1 и три равные − 1.

Во-первых, отметим, что из симметричности матричного пред- ставления для первого слагаемого следует существование ортонорми- рованного базиса, в котором эта матрица диагональна.

Теперь покажем, что свертка этого слагаемого есть инвариант, то есть она не зависит от выбора базиса.

Действительно, учитывая, что ξi и ηk суть одновалентные кова-

риантные тензоры, и используя свойства матрицы перехода S , по-

лучим следующее правило преобразования их свертки:

ξ′k η′k = σki ξi σkj η j = σikT σkj ξi η j = δij ξi η j = ξi ηi ,

что и означает инвариантность этой свертки относительно замены базиса.

Отсюда следует важный вывод: любой паре элементов (векторов)

но поставить в соответствие не зависящее от выбора ортонормиро- ванного базиса число ξi ηi = ξ1η1 + ξ2 η2 + ξ3η3 . (См. также § 2.9.)

Выясним геометрический смысл этого инварианта, обозначаемого

дется ортонормированный базис, в котором их координатные пред- ставления соответственно имеют вид

ведения векторов, которая обычно принимается за его определение. Рассмотрим теперь второе слагаемое. Как нетрудно видеть, матри-

ца

имеет только три независимых компонента, из чего следует, что паре

→→

векторов a и b в E 3 может быть поставлен в соответствие третий

→→

вектор, обозначаемый как [ a , b ] , с компонентами

Исследуем его свойства. Во-первых, заметим, что число независи- мых компонентов у кососимметричной части тензорного произведе-

поскольку это есть число компонентов, стоящих в матрице над ее главной диагональю. Отсюда следует, что только в E 3 это число

совпадает с размерностью пространства, и только в E 3 произведе- нию двух элементов можно подобным образом ставить в соответствие третий элемент.

Во-вторых, убедимся, что имеют место соотношения

→ →

[a, b]i = εijk ξ j ηk .

Действительно, например, для i = 1 :

ε1 jk ξ j ηk = ε111ξ1η1 + ε112 ξ1η2 + ε113ξ1η3 +

+ε121ξ2 η1 + ε122 ξ2 η2 + ε123ξ2 η3 +

+ε131ξ3η1 + ε132 ξ3η2 + ε133ξ3η3 =

=ξ2 η3 − ξ3η2 .

базиса к другому. Следовательно, κi = εiml ξm ηl , что и означает ин-

вариантность этого элемента относительно замены базиса.

→ →

Выясним, наконец, геометрический смысл вектора [ a , b ] . Заме-

→→

тим, что для любых векторов a и b можно выбрать ортонормиро-

ванный базис в E 3 , в котором их координатные представления имеют вид соответственно

526 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

то время как остальные компоненты нулевые, и получилась формула векторного произведения, принимаемая обычно за его определение.

Таким образом, можно заключить, что введенные в курсе вектор- ной алгебры операции скалярного и векторного произведений бази- руются не только на “ их полезности для приложений”, но и отражают инвариантные свойства тензорного произведения элементов евклидо- ва пространства при переходах между ортонормированными базиса- ми.

В заключение покажем, что тензорная символика может быть эф- фективно использована и для более сложных конструкций векторной алгебры. Например:

1°. Смешанное произведение трех векторов (см. § 2.6) предста- вимо в виде

2°. Выражение для двойного векторного произведения трех векторов (см. § 2.8) может быть получено следующим обра- зом:

= εijk ε klm ξ j ηl κm .