МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544
.pdf. . , . .
. .
. . , . .
. .
06.10.2011. 60 84 1/16. . . . 34,0..- . . 33,5. 400 .
«
( )» 141700, ., . , ., 9 E-mail: rio@mail.mipt.ru
_________________________________________________________
« » 125412, , . , .13, . 2
А. Е. Умнов
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
А. Е. Умнов
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
3-е издание, исправленное и дополненное
Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области приклад- ных математики и физики в качестве учебного пособия для студен- тов вузов по направлению «Прикладные математика и физика»
МОСКВА
МФТИ
2 0 1 2
УДК 514.12(075) ББК 22.151.59я73
У5 4
Рецензенты:
Кафедра кибернетики Московского государственного инсти- тута электроники и математики (технического университета) (зав. каф. доктор технических наук, профессор В. Н. Афа-
насьев)
Доктор физико-математических наук, профессор В. В. Дикусар
Умнов, А. Е.
У54 Аналитическая геометрия и линейная алгебра :
учеб. пособие / А. Е. Умнов. – 3- е изд., испр. и доп. –
М. : МФТИ, 2011. – 544 с. ISBN 978-5-7417-0378-6
Пособие написано на основе лекций, читающихся автором студентам Московского физико-технического института (госу- дарственного университета), и является введением в теорию линейных пространств, состав и упорядочение материала кото- рого определены ориентацией на прикладной характер специа- лизации читателя.
Предназначено для студентов физических и технических специальностей университетов и вузов.
УДК 514.12(075) ББК 22.151.59я73
ISBN 978- 5-7417-0378-6 |
© |
Умнов А. Е., 2012 |
|
© |
Федеральное государственное бюджетное |
|
|
образовательное учреждение высшего |
|
|
профессионального образования |
|
|
«Московский физико-технический институт |
|
|
(государственный университет)», 2012 |
Оглавление |
3 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
Введение ....................................................................................... |
|
8 |
От автора ..................................................................................... |
|
10 |
Глава 1. |
Векторы и линейные операции с ними ........... |
12 |
§ 1.1. Матричные объекты .............................................. |
12 |
|
§ 1.2. Направленные отрезки .......................................... |
21 |
|
§ 1.3. Определение множества векторов ....................... |
24 |
|
§ 1.4. Линейная зависимость векторов .......................... |
28 |
|
§ 1.5. Базис. Координаты вектора в базисе ................... |
34 |
|
§ 1.6. Действия с векторами в координатном пред- |
|
|
|
ставлении ................................................................ |
38 |
§ 1.7. Декартова система координат .............................. |
44 |
|
§ 1.8. Изменение координат при замене базиса и на- |
|
|
|
чала координат ....................................................... |
47 |
Глава 2. |
Произведения векторов ...................................... |
54 |
§ 2.1. Ортогональное проектирование ........................... |
54 |
|
§ 2.2. Скалярное произведение векторов и его свойст- |
|
|
|
ва ............................................................................. |
57 |
§ 2.3. Выражение скалярного произведения в коорди- |
|
|
|
натах ....................................................................... |
59 |
§ 2.4. Векторное произведение векторов и его свойст- |
|
|
|
ва ............................................................................. |
61 |
§ 2.5. Выражение векторного произведения в коорди- |
|
|
|
натах ....................................................................... |
65 |
§ 2.6. Смешанное произведение ..................................... |
68 |
|
§ 2.7. Выражение смешанного произведения в коор- |
|
|
|
динатах ................................................................... |
70 |
§ 2.8. Двойное векторное произведение ........................ |
72 |
|
§ 2.9. Замечания об инвариантности произведений |
|
|
|
векторов .................................................................. |
75 |
4 |
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
|
Глава 3. |
Прямая и плоскость ............................................ |
79 |
§ 3.1. Прямая на плоскости ............................................. |
79 |
|
§ 3.2. Способы задания прямой на плоскости ............... |
84 |
|
§ 3.3. Плоскость в пространстве ..................................... |
93 |
|
§ 3.4. Способы задания прямой в пространстве ............ |
103 |
|
§ 3.5. Решение геометрических задач методами век- |
|
|
|
торной алгебры ...................................................... |
107 |
Глава 4. |
Нелинейные объекты на плоскости |
119 |
|
и в пространстве |
|
|
|
|
§ 4.1. Линии на плоскости и в пространстве ................. |
119 |
|
§ 4.2. Поверхности в пространстве ................................ |
124 |
|
§ 4.3. Цилиндрические и конические поверхности ...... |
127 |
|
§ 4.4. Линии второго порядка на плоскости .................. |
130 |
|
§ 4.5. Поверхности второго порядка в пространстве .... |
138 |
|
§ 4.6. Альтернативные системы координат ................... |
141 |
|
Глава 5. |
Преобразования плоскости ............................... |
147 |
§ 5.1. |
Умножение матриц ................................................ |
147 |
§ 5.2. |
Операторы и функционалы. Отображения и |
|
|
преобразования плоскости .................................... |
158 |
§ 5.3. Линейные операторы на плоскости ..................... |
161 |
|
§ 5.4. Аффинные преобразования и их свойства .......... |
169 |
|
§ 5.5. Ортогональные преобразования плоскости ........ |
184 |
|
§ 5.6. Понятие группы ..................................................... |
189 |
|
Глава 6. |
Системы линейных уравнений ......................... |
191 |
§ 6.1 |
Определители ......................................................... |
191 |
§ 6.2 |
Свойства определителей ....................................... |
192 |
§ 6.3. Разложение определителей ................................... |
199 |
|
§ 6.4. Правило Крамера ................................................... |
205 |
|
§ 6.5. Ранг матрицы ......................................................... |
208 |
|
§ 6.6. Системы m линейных уравнений с n неиз- |
|
|
|
вестными ................................................................ |
213 |
§ 6.7. Фундаментальная система решений .................... |
216 |
|
§ 6.8. Элементарные преобразования. Метод Гаусса ... |
227 |
|
Оглавление |
|
5 |
Глава 7. |
Линейное пространство ..................................... |
235 |
§ 7.1. |
Определение линейного пространства ................ |
235 |
§ 7.2. |
Линейная зависимость, размерность и базис в |
|
|
линейном пространстве ........................................ |
239 |
§ 7.3. Подмножества линейного пространства ............. |
244 |
|
§ 7.4. Операции с элементами линейного пространст- |
|
|
|
ва в координатном представлении ....................... |
251 |
§ 7.5. Изоморфизм линейных пространств ................... |
254 |
|
Глава 8 |
Линейные зависимости в линейном |
267 |
|
пространстве ........................................................ |
|
§ 8.1. Линейные операторы ............................................. |
267 |
|
§ 8.2. Действия с линейными операторами ................... |
269 |
|
§ 8.3. Координатное представление линейных опера- |
|
|
|
торов ....................................................................... |
275 |
§ 8.4. Область значений и ядро линейного оператора .. |
283 |
|
§ 8.5. Инвариантные подпространства и собственные |
|
|
|
векторы ................................................................... |
296 |
§ 8.6. Свойства собственных векторов и собственных |
|
|
|
значений ................................................................. |
303 |
§ 8.7. Линейные функционалы ....................................... |
317 |
|
Глава 9. |
Нелинейные зависимости |
325 |
|
в линейном пространстве .................................. |
|
§ 9.1. Билинейные функционалы .................................... |
325 |
|
§ 9.2. Квадратичные функционалы ................................ |
329 |
|
§ 9.3. Исследование знака квадратичного функциона- |
|
|
|
ла ............................................................................. |
339 |
§ 9.4. Инварианты линий второго порядка на плоско- |
|
|
|
сти ........................................................................... |
348 |
§ 9.5. Экстремальные свойства квадратичных функ- |
|
|
|
ционалов ................................................................. |
353 |
§ 9.6. Полилинейные функционалы ............................... |
354 |
|
Глава 10. |
Евклидово пространство ................................... |
356 |
§ 10.1. Определение и основные свойства .................... |
356 |
|
§ 10.2. |
Ортонормированный базис. Ортогонализация |
|
|
базиса ................................................................... |
360 |
6 |
|
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
|
§ 10.3. Координатное представление скалярного про- |
|
||
|
изведения ............................................................. |
362 |
|
§ 10.4. Ортогональные матрицы в евклидовом про- |
|
||
|
странстве .............................................................. |
368 |
|
§ 10.5. Ортогональные дополнения и ортогональные |
|
||
|
проекции в евклидовом пространстве ….…...... |
372 |
|
§ 10.6. Сопряженные операторы в евклидовом про- |
|
||
|
странстве .............................................................. |
378 |
|
§ 10.7. |
Самосопряженные операторы ........................... |
383 |
|
§ 10.8. |
Ортогональные операторы ................................. |
391 |
|
Глава 11. |
Унитарное пространство ................................... |
400 |
|
§ 11.1. Определение унитарного пространства ............ |
400 |
||
§ 11.2. Линейные операторы в унитарном простран- |
|
||
|
стве |
....................................................................... |
403 |
§ 11.3. |
Эрмитовы .........................................операторы |
405 |
|
§ 11.4. Эрмитовы функционалы. Среднее значение и |
|
||
|
дисперсия ..........................эрмитова оператора |
410 |
|
§ 11.5. |
Соотношение .....................неопределенностей |
413 |
|
Глава 12. Прикладные ..........задачи линейной алгебры |
415 |
||
§ 12.1. Приведение квадратичных функционалов к |
|
||
|
диагональному ...........................................виду |
415 |
|
§ 12.2. Классификация поверхностей второго порядка |
431 |
||
§ 12.3. Аппроксимация ..........функций многочленами |
435 |
||
Приложение 1. |
Свойства линий второго порядка на |
443 |
|
|
................................................... |
плоскости |
|
Прил. 1.1 |
Вырожденные линии второго порядка …. |
443 |
|
Прил. 1.2 ................................ |
Эллипс и его свойства |
445 |
|
Прил. 1.3. ............................Гипербола и ее свойства |
452 |
||
Прил. 1.4. .............................. |
Парабола и ее свойства |
459 |
|
Приложение 2. |
Свойства поверхностей |
465 |
|
|
....................................... |
второго порядка |
|
Прил. 2.1. Вырожденные поверхности второго по- |
|
||
|
............................................................ |
рядка |
465 |
Прил. 2.2. ................................................... |
Эллипсоид |
466 |
|
Прил. 2.3. ....................... |
Эллиптический параболоид |
467 |
|
Оглавление |
|
7 |
Прил. 2.4. |
Гиперболический параболоид ................... |
469 |
Прил. 2.5. |
Однополостный гиперболоид .................... |
472 |
Прил. 2.6. |
Двуполостный гиперболоид ..................... |
474 |
Прил. 2.7. |
Поверхности вращения ............................. |
475 |
Приложение 3. |
Комплексные числа ................................. |
478 |
Приложение 4. |
Элементы тензорного исчисления ........ |
488 |
Прил. 4.1. Замечания об определении объектов в |
|
|
|
линейном пространстве ............................. |
488 |
Прил. 4.2. Определение и обозначение тензоров ...... |
496 |
|
Прил. 4.3. |
Операции с тензорами ............................... |
504 |
Прил. 4.4. Тензоры в евклидовом пространстве ....... |
515 |
|
Прил. 4.5. Тензоры в ортонормированном базисе..... |
520 |
|
|
|
528 |
Литература .................................................................................. |
|
|
|
|
529 |
Предметный указатель ............................................................. |
|
|
8 |
|
" ", -
-
, .
-
-
.
, -
, -
, , , -
, , .
,
. -
.
, , -
,
. . , . . , . . , . . -
. ,
-
, .
, , , -
. -
, ,
" ",
,
.