Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 5152 / 5552 53 54 55 > Следующая >>>

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления	509
b – типа (1, 0) с элементами β j	и матрицей

− 3

;

c –

типа (0,1) с элементами γi и матрицей

− 3

Найти свертки αi β j

и αi γ

Решение. 1°.

По определению операции свертывания,

αi β j –

тензор типа (1, 0)

с компонентами δi = ∑αijβ j .

j=1

Поэтому

d1 = a11b1 + a12b2 + a13b3 = 1 × 2 + 2 × (-3) + 3 × 4 = 8,

= a12b1

+ a22b2

+ a32b3

= 4 × 2 + 5 × (-3) + 6 × 4 =17,

= a13b1

+ a32b2

+ a33b3

= 7 × 2 + 8 × (-3) + 9 × 4 = 26.

2°.

Аналогично,

αi

–

тензор типа (0,1)

с компо-

нентами ϕ j

= ∑αij γ i

. Тогда

i=1

j1 = a11 g1 + a12 g 2 + a13 g3 =1 × 2 + 4 × (-3) + 7 × 4 =18,

j2	= a12 g1 + a22 g 2	+ a32 g3	= 2 × 2 + 5 × (-3) + 8 × 4 = 21,
j3	= a13 g1 + a32 g 2	+ a33 g3	= 3 × 2 + 6 × (-3) + 9 × 4 = 26.

510 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Транспонирование тензоров

Как уже отмечалось ранее, перестановка местами любой пары ко- вариантных (или пары контравариантных) индексов у тензора, то есть транспонирования тензора, вообще говоря, приводит к его измене- нию, поскольку в определении тензора говорится об упорядоченной системе индексов. При этом новый тензор будет того же типа, что и исходный.

В общем случае для группы, состоящей из N верхних (или ниж-

них) индексов, существует N! различных способов перестановок.

Это означает, что, переставляя данные индексы, можно построить N! новых тензоров.

Задача

Прил. 4.3.3.

Решение.

		1	2
Тензор αij		3	4	.
	задан матрицей

k		5	6

		7	8

Найти матрицу транспонированного тензора.

Данный тензор можно транспонировать по паре кон- травариантных индексов i и j. После перестановки соответствующих элементов получаем тензор с матри- цей

1 3

2 4

5 7

6 8

Симметрирование и альтернирование тензоров

Определение	Тензор	называется	симметричным относительно
Прил. 4.3.5.	группы	(верхних или	нижних) индексов, если он не

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления

511

Определение

Прил. 4.3.6.

меняется при перестановке любых двух индексов, принадлежащих данной группе.

Тензор называется антисимметричным (или косо- симметричным) относительно группы индексов, если он меняет, в смысле указанного выше определения равенства тензоров, свой знак на противоположный при перестановке любых двух индексов, принадлежа- щих данной группе.

Выделим у тензора группу, состоящую из N индексов (либо верх- них, либо нижних), построим путем перестановок индексов данной группы N! всевозможных новых тензоров и возьмем их среднее арифметическое. В результате мы получим тензор, симметричный по выбранной группе индексов.

Данная операция называется симметрированием тензора по груп-

пе индексов. Группа индексов, по которой выполняется симметриро- вание тензора, выделяется круглыми скобками.

Пример Прил. 4.3.4.

N = 1	ξ(i1 ) = ξi1 ,
N = 2 ξ(i ,i ) =					1		(ξi ,i					+ ξi ,i			),
N = 2 ξ(i ,i ) =							(ξi ,i				2	+ ξi ,i			),
	1	2		2!						1	2		2	1
				2!
N = 3	ξ(i ,i		,i ) =			1		{ξi ,i				,i + ξi ,i ,i				+ ξi			,i ,i		+
N = 3	ξ(i ,i		,i ) =					{ξi ,i				,i + ξi ,i ,i				+ ξi			,i ,i		+
	1	2	3	3!						1	2	3		3	1	2		2	3	1
				3!
				+ ξi				2	,i ,i		+ ξi ,i			,i	+ ξi ,i ,i			2	}
								2	1	3		3	2	1		1	3	2

... ...

512 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Операция симметрирования часто комбинируется с умножением, причем имеет место следующий порядок действий: сначала умноже- ние, а потом симметрирование.

Пример	ξ(i η j ) .
Прил. 4.3.5.

Выделим у тензора группу, состоящую из N индексов (либо верх- них, либо нижних), построим путем перестановок индексов данной группы N! всевозможных новых тензоров, приписав каждому из них знак (−1)Б (k1 ,k 2 ,...,k N ) , где Б(k1 , k2 ,..., kN ) – число беспорядков в перестановке чисел {1,2,..., N } , и возьмем их среднее арифметиче-

ское. В результате мы получим тензор, антисимметричный по вы- бранной группе индексов.

Данная операция называется альтернированием тензора по группе индексов. Группа индексов, по которой выполняется альтернирование тензора, выделяется квадратными скобками.

Пример

Прил. 4.3.6.

N = 1

ξ[i ]

= ξi ,

N = 2

ξ[i ,i

]

{ξi ,i

− ξi

N = 3

ξ[i1 ,i2 ,i3

]

{ξi1 ,i2 ,i3 + ξi3 ,i1 ,i2

+ ξi2 ,i3 ,i1 −

− ξi ,i ,i

− ξi ,i ,i − ξi ,i ,i

}

... ...

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления

513

Операция альтернирования часто комбинируется с умножением, причем имеет место следующий порядок действий: сначала умноже- ние, а потом альтернирование.

Пример	ξ[i η j ] .
Прил. 4.3.7.

Заметим, что как симметрирование кососимметричного тензора, так и альтернирование симметричного дает нулевой тензор.

			1	2
	Тензор αijk		3	4	. Найти мат-
Задача		задан матрицей
Задача		задан матрицей	5	6
Прил. 4.3.4.			5	6
			7	8

рицы тензоров α(ij )k , αi ( jk ) и αi[ jk ] .

Решение. 1°. Тензор βijk = α jik , транспонированный к данному по паре индексов i и j , имеет матрицу

	1	3
	2	4	(см. задачу Прил. 4.3.3).

	5	7
	5	7
	6	8
Тензор γijk		= αikj , транспонированный к данному
по паре индексов j и k , будет иметь матрицу
				1	5
				1	5
				3	7	,

				2	6
				2	6
				4	8

514Аналитическая геометрия и линейная алгебра

вкоторой элементы первых столбцов блочных матриц исходного тензора записаны в первой блочной строке.

2°.	Тогда тензор α(ij ) k имеет матрицу
			1 + 1		2 + 3			5
			1 + 1		2 + 3			5
								1
								1
			2		2			2
				3 + 2		4 + 4			5	4
			2		2			2		4
			2		2			2
							=						,
							=						,
			5 + 5		6 + 7			13
								5
								5
			2		2			2
			7 + 6		8 + 8			13				8
												8
			2		2			2
	тензор αi ( jk ) – матрицу
		1 + 1			2 + 5			7
		1 + 1			2 + 5			7
								1
								1
		2			2			2
		3 + 3			4 + 7			11
								3
								3
		2			2			2
							=						,
							=						,
		5 + 2			6 + 6			7		6

		2			2			2
		2			2			2
		7 + 4			8 + 8			11
											8
											8
		2			2			2
	а тензор αi[ jk ] –				матрицу

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления							515
			1 − 1	2 − 5		0	3
			1 − 1	2 − 5			3
							−
							−
	2			2			2
			3 − 3	4 − 7		0	3
							−
							−
	2			2			2
					=			.
		5 − 2			=	3	0	.
		5 − 2		6 − 6		3

	2			2		2
	2			2		2
		7 − 4		8 − 8		3	0

	2			2		2
	2			2		2

Приложение 4.4. Тензоры

вевклидовом пространстве

Вслучае евклидова пространства тензоры обладают дополнитель- ными специфическими свойствами, обусловленными тем фактом, что скалярное произведение есть билинейный функционал, а потому явля- ется дважды ковариантным тензором, компоненты которого в любом базисе совпадают с компонентами матрицы Грама. Этот ковариант-

ный тензор иногда называют фундаментальным метрическим тензо- ром.

Поясним эти свойства следующим примером. Пусть дан базис

{g1 , g 2 ,..., g n } в E n и его некоторый элемент x , являющийся од-

новалентным, один раз контравариантным тензором ξi . Свернем фундаментальный метрический тензор γij = (gi , g j ) с тензором ξi ,

получим

ξ j = γij ξi = (gi , g j )ξi = (gi ξi , g j ) = (x, g j ) .

Данное равенство означает, что элемент x однозначно характери-

зуется в каждом базисе E n также и компонентами один раз ковариан-

516	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
тного тензора ξ j	. Числа ξ j называются ковариантными компонен-
тами элемента x	в базисе {g1 , g 2 ,..., g n }, и они однозначно опре-

деляются обычными контравариантными компонентами элемента x в силу невырожденности матрицы Грама из системы уравнений

ξ	j	= γ	i j	ξi .
	j		i j

Таким образом, в евклидовом пространстве исчезает принципи- альная разница между ковариантными и контравариантными индек- сами тензоров. Более того, в ортонормированном базисе ковариант- ные и контравариантные компоненты элемента x совпадают (см. тео-

рему 10.3.2).

Операция опускания индекса

Пусть в E n задан тензор типа (q, p)

j1 j2 ... jq

, где

Определение

α i i

...i

Прил. 4.4.1.

1 2

∙ j2 ... jq

q ³ 1. Тензор типа (q -1, p +1) β i

i i

...i

называет-

0 1 2

ся результатом операции опускания контравариант-

j1 j2 ... jq

ного индекса j1 у тензора α i1i2 ...i p

, если в каждом

базисе имеет место равенство

β ∙ j2 ... jq

= γ

i0 j1

α j1 j2 ... jq .

i0i1i2 ...ip

i1i2 ...ip

Заметим, что использование точек для указания порядка следова- ния индексов в этой операции оказывается необходимым, чтобы сде- лать ее однозначной. Иначе непонятно, куда следует опустить индекс.

Операция поднятия индекса

Определение	Дважды контравариантный тензор, компоненты кото-
Прил. 4.4.2.	рого в любом базисе евклидова пространства E n сов-
	рого в любом базисе евклидова пространства E n сов-

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления

517

падают с матрицей, обратной матрице Грама, называ-

ется контравариантным метрическим тензором.

Убедимся вначале, что матрица, обратная матрице Грама, задает в каждом базисе тензор типа (2, 0) . Имеем Γ g′ = S T Γ g S .

Исходя из этого соотношения, получаем следующее правило преобра- зования обратной матрицы Грама при замене базиса:

−1 = (

)−1

−1

(

T )−1 =

g′

−1

−1 )T ,

(

−1 )T = (

−1 )T

поскольку из

T = (

сле-

дует, что для невырожденной матрицы

справедливо равенство

(

−1 )T

= (

T )−1 . А это и

означает,

что

обратная матрица

Грама определяет во всех базисах дважды контравариантный тензор

γi j .

По аналогии с операцией опускания индекса дадим

Определение	Пусть в E n	дан тензор типа				(q, p) α j1 j2 ... jq , где
Прил. 4.4.3.							i1i2 ...i p
Прил. 4.4.3.						j0 j1 j2 ... jq
						j0 j1 j2 ... jq
	p ³ 1. Тензор типа (q +1, p -1) β ∙ i2 ...i p							называ-
	ется результатом поднятия ковариантного индекса
	i у тензора	α j1 j 2 ... j q	, если в каждом базисе имеет
	1	i1i2 ...i p
	место равенство
		j0 j1 j2 ... jq	i	j		j1 j2 ... jq
		β ∙ i2 ...ip	= γ 1		0	α i1i2 ...i p .

518	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Задача Прил. 4.4.1.

Решение.

В E 2 с фундаментальным метрическим тензором

gij	=	2	3	тензор ai∙ jk	задан матрицей
		3	5
				3	4
				5	7
						.
				2		.
				2	5

1 3

Найти матрицы тензоров aijk и aijk∙ .

1°. Для опускания первого индекса воспользуемся формулой aijk = gim a∙mjk . Получаем

a111 = g11a111 + g12 a112 = 2 × 3 + 3 × 5 = 21,

a112 = g11a112 + g12 a122 = 2 × 2 + 3 ×1 = 7,

a121 = g11a121 + g12 a221 = 2 × 4 + 3 × 7 = 29,

a122	= g11a122		+ g12 a222		= 2 × 5 + 3 × 3 = 19,
a211	= g	21a111	+ g22 a112		= 3 × 3 + 5 × 5 = 34,
a212	= g21a121		+ g	22 a122	= 3	× 2 + 5 ×1 = 11,
a221	= g	21a121 + g		22 a212	= 3	× 4 + 5 × 7 = 47,
a222	= g21a122		+ g22 a222		= 3 × 5 + 5 × 3 = 30.

Следовательно, матрица тензора aijk имеет вид

21 29

34 47

7 19

11 30

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 5152 / 5552 53 54 55 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб18МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб3Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб6Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб25МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб42МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
01.03.202581.41 Кб0МХК-2010.doc
#
03.06.20153.67 Mб22Наноолимпиада физика.pdf
#
01.07.2025260.61 Кб0Написание сочинения ЕГЭ-11.doc
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб13Национальный манифест.pdf