Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5161 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf
Скачиваний:
42
Добавлен:
03.06.2015
Размер:
6.64 Mб
Скачать
☆

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления

499

2°. Система линейных уравнений вида

 

α11ξ1 + α12

ξ2 + ... + α1n ξn

= β1

α12 ξ1

+ α22

ξ2

+ ... + αn2 ξn

= β2

 

 

 

 

 

.............................................

αn ξ1

+ αn

ξ2

+ ... + αn ξn

= βn

1

2

 

n

 

с учетом соглашений о тензорных обозначениях за-

писывается просто как αik ξi = βk .

Используя соглашения о тензорных обозначениях и принимая во

 

внимание, что числа σij

и τij

(компоненты матриц прямого и обрат-

 

ного перехода между базисами {g1 , g 2 ,..., g n }

 

′

′

 

 

 

′

 

и {g1

, g 2 ,..., g n })

 

являются также компонентами тензоров типа (1,1), сформулируем

 

 

 

 

Определение

Будем говорить, что в вещественном линейном про-

 

Прил. 4.2.1.

странстве

Λn

определен тензор типа (q, p) ,

q раз

 

 

 

 

контравариантный и p

 

раз ковариантный,

если в

 

 

Λn

 

задан объект, который в каждом базисе характе-

 

 

ризуется

 

упорядоченным

 

набором

n p+q

 

 

чисел

 

 

j

j ... j

 

 

 

 

jm ; m = [1, q]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξi 1i

 

...2 i

p

q

 

(где

–

контравариантные

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

индексы и ik ; k = [1, p]

–

ковариантные), изменяю-

 

 

щимся при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к ба-

 

 

 

 

 

 

′

 

′

 

′

} по закону

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зису {g1

, g 2

,..., g n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j′

j′

... j′

 

i

i

i

p

j′

j′

j

′

j j

... j

q

 

 

 

 

ξ′i

1 2

q

 

 

...τ j

q

1 2

 

 

.

 

 

 

′i′ ...i′

= σi1′

σi2′ ...σi′

τ j1

τ j2

q

ξi i ...i

p

 

 

 

 

 

 

1 2

p

 

1

2

 

p

1

2

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

500

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

 

 

 

 

 

 

 

Определение

Число (q + p)

называется валентностью (или ран-

 

 

Прил. 4.2.2.

j

j ... j

 

 

 

 

гом) тензора ξi 1i

2...i

p

q .

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

Прил. 4.2.3.

Замечания. 1°.

Два тензора называются равными, если они одного и того же типа и во всех базисах имеют равные компо- ненты.

Для равенства тензоров одного типа достаточно, что- бы их компоненты были равны лишь в некотором ба- зисе, так как из формул пересчета компонентов сле- дует, что эти тензоры будут иметь равные компонен- ты и в любом другом базисе.

2°. Если объект характеризуется одним числом, причем не зависящим от выбора базиса, то его можно считать тензором типа (0,0).

Таблица Прил. 4.2.1

Тип объекта

Тип тензора и его за-

Изменение компонент

в Λn

пись в базисе

тензора при переходе к

 

{g

1

, g

2

,..., g

n

}

базису {g ′, g ′

,..., g ′

}

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Элемент x

Одновалентный

 

(один

ξ′

 

= τi

ξ

 

 

 

 

j

j

 

i

 

 

раз контравариантный)

 

 

 

 

 

 

 

тензор типа (1,0) ξ j

 

 

 

 

 

 

Линейный

Одновалентный

(один

φ′j

= φi

σ j

 

 

i

функционал

раз ковариантный) тен-

 

 

 

f (x)

зор типа (0,1) φ j

 

 

 

 

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления

501

Линейный

Двухвалентный

(один

a¢k

= t j

sk ai

m

m

i

j

$

раз

контравариантный

 

 

 

 

оператор A

и один раз ковариант-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ный) тензор типа (1,1)

 

 

 

 

 

aij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Билинейный

Двухвалентный

(дваж-

b¢km

= sk smb ji

 

j

i

 

функционал

ды ковариантный) тен-

 

 

 

 

B(x, y)

зор типа (0,2) b ji

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратичный

Двухвалентный

(дваж-

j¢km

= sk sm j ji

 

j

i

 

функционал

ды ковариантный) тен-

 

 

 

 

Φ(x)

зор типа (0,2) j ji

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Символ

Двухвалентный

(один

d¢k

= t j

sk di

m

m

i

j

Кронекера

раз

контравариантный

 

 

 

 

1, i = j

и один раз ковариант-

 

 

 

 

dij =

ный) тензор типа (1,1)

 

 

 

 

0, i ¹ j

dij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица Прил. 4.2.1 содержит описание основных тензорных объ- ектов и правил пересчета их компонентов при замене базиса.

Отметим, что последний из приведенных в таблице Прил. 4.2.1 тензоров – символ Кронекера – во всех базисах имеет компоненты, совпадающие с компонентами единичной матрицы, если считать, что верхний индекс этого тензора есть номер строки, а нижний – столбца. Действительно, по определению Прил. 4.2.1 справедливы соотноше- ния

d¢m = tm si

d j

= tm s j

1, i = j,

=

k

j k

i

j k

0 , i ¹ j.

 

 

 

 

502

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Последнее равенство, очевидно, имеет место, поскольку выражение

τmj σkj есть результат произведения двух невырожденных, взаимно

обратных матриц, компоненты которых совпадают с компонентами тензоров τmj и σkj .

Замечания о матричной записи тензоров

В ряде случаев тензоры удобно представлять в виде блочных мат- риц, то есть матриц, элементами которых являются обычные матрицы

счисловыми элементами. При этом примем следующие соглашения: 1°. Тензор типа (1, 0) записывается матрицей-столбцом. Тензор

типа (0,1) записывается матрицей-строкой.

2°. Элементы матриц, используемых для записи тензоров, нуме- руются нижними индексами, порядок следования индексов определен выше, в правиле 2° "Запись тензоров". Обратите внимание, что при этом запись тензоров валентности боль- шей, чем 1, не будет отражать тип тензора.

3°. Первый индекс определяет номер строки в числовой матрице, второй индекс – номер столбца. Третий индекс определяет номер строки в блочной матрице, состоящей из числовых матриц, четвертый индекс соответственно – номер столбца в блочной матрице.

Приведем для иллюстрации общий вид матричной записи тензора четвертой валентности в двумерном пространстве:

α1111

α1211

 

α1112

α1212

 

 

 

 

 

α2111

α2211

 

α 2112

α 2212

 

.

α1121

α1221

 

α1122

α1222

 

 

 

 

α2121

α2221

 

α 2122

α 2222

 

 

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления

503

Задача

Прил. 4.2.1.

Решение.

Каждой паре элементов x и y линейного простран-

ства Λ4 сопоставляется число f (x, y) , определяе-

мое через компоненты этих элементов

ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 и η1 , η2 , η3 , η4

в стандартном базисе {g1, g2 , g3, g4 } по формуле

f (x, y) = ξ1η3 + 3ξ2 η4 .

Показать, что данное сопоставление определяет тен- зор, найти его тип, выписать его компоненты в дан- ном базисе.

1°. Очевидно, что данное сопоставление линейно по каждому из аргументов. Найдем закон изменения его компонентов при замене базиса. Пусть

4

gi′ = ∑σik g k k =1

при переходе от базиса {g1 , g2 , g3 , g4 } к базису

′

′

′

, g

′

} .

Тогда в силу линейности сопос-

{g1

, g2 , g

3

4

тавления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

f (gi′, g ′j ) = f (∑σik g k , ∑σlj gl ) =

 

 

 

 

 

 

k =1

l =1

44

=∑∑σik σlj f (g k , gl ) .

k =1 l =1

Поскольку компоненты исследуемого объекта в но- вом базисе выражаются линейно через компоненты в старом, а коэффициентами служат попарные про-

изведения элементов матрицы перехода S , то по

определению Прил. 4.2.1 этот объект является тен- зором типа (0, 2).

504

 

 

 

 

 

 

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

 

2°. Найдем компоненты этого тензора

 

f (gk , gl )

 

в исходном

 

базисе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g1

 

 

 

g =

0

 

;

 

 

 

g 2

 

 

 

g =

1

 

 

;

 

 

 

g3

 

 

 

 

=

 

 

 

 

0

 

 

 

;

 

 

 

g

4

 

 

 

 

g =

0

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

По условию задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (g1 , g3 ) = 1 ; f (g 2 , g 4 ) = 3 и f (gk , gl ) = 0

 

 

 

 

 

 

в остальных случаях. Таким образом, искомая матрица

 

 

 

 

 

тензора имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

0

 

3

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 4.3. Операции с тензорами

Вводимые ниже операции с тензорами во всех случаях требуют обоснования того, что результатом каждой из них является также тензор. В рамках данного курса эти утверждения предлагаются в качестве упражнений.

Сложение тензоров

 

Определение

 

Пусть

даны два тензора типа

(q, p)

α j1 j2 ... jq и

 

Прил. 4.3.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1i2 ...i p

 

 

j1 j2 ... jq

 

 

 

j1 j2 ... jq

 

 

 

 

. Тензор типа

(q, p)

 

 

 

 

 

β i i ...i

p

γ i i

...i

p

называется

 

 

 

1 2

 

 

 

1 2

 

 

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления

505

Пример

Прил. 4.3.1.

 

 

 

 

j1 j2 ... jq

 

 

j1 j2 ... jq

, если в каждом

 

суммой тензоров α i i

...i

p

и β i i

...i

p

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

базисе имеет место равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j1 j2 ... jq

 

 

j1 j2 ... jq

 

j1 j2 ... jq

.

 

γ i i

...i

p

= α i i

...i

p

+ β i i

 

...i

p

 

1 2

 

 

 

1 2

 

 

1 2

 

 

 

Сумма двух линейных операторов α j

 

и β j

, являющих-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

ся тензором типа (1,1), есть также линейный оператор и,

следовательно, тензор типа (1,1) γ ij , для компонентов

которого справедливы соотношения

γij = αij + βij .

Умножение тензоров на число

Определение Прил.4.3.2.

Замечание:

 

 

 

 

 

 

 

(q, p)

 

j1 j2 ... jq

и число λ .

Пусть дан тензор типа

 

α i i

...i

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

Тензор типа

(q, p)

 

γ j1 j2 ... jq

называется произведе-

 

 

 

 

 

 

i1i2 ...i p

 

 

 

 

 

нием тензора

j1 j2 ... jq

 

на λ ,

если в каждом базисе

α i i

...i

p

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет место равенство

 

 

= λα i i

...i

.

 

 

 

γ i i

...i

 

 

 

 

 

j1 j

2

... jq

 

j1 j

2 ... jq

 

 

 

 

1 2

 

 

p

 

 

1 2

p

 

 

 

 

 

 

 

нетрудно показать,

 

что множество

тензоров типа

(q, p) с операциями сложения и умножения на число является линейным пространством размерности nq + p .

Тензорное произведение

α j1 j2 ... jq

Определение Пусть даны два тензора типа (q, p) i1i2 ...i p и типа

Прил. 4.3.3.

506

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Пример

Прил. 4.3.2.

(r, s)

 

k1k2 ...kr

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(q + r, p + s)

 

β l l

 

...l

s

 

 

 

 

 

Тензор

 

типа

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j1 j2 ... jqk1k2 ...kr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ i1i2 ...ipl1l2 ...ls

 

 

называется

произведением тензоров

j1 j2 ... jq

 

 

k k

2

...k

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α i i ...i

 

 

 

 

1

 

 

 

, если в каждом базисе имеет

p

и

β l l

...l

s

 

 

1 2

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

место равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j1 j2 ... jqk1k2

...kr

j1 j2 ... jq

k k

2

...k

r

 

 

 

γ i i

...i

 

 

 

...l

 

= α i i

 

 

1

 

 

.

 

 

l l

 

s

...i

p

β l l

...l

s

 

 

 

1 2

 

 

p 1 2

 

 

 

 

1 2

 

1 2

 

 

 

 

Иногда тензорное произведение обозначают симво- лом Ä.

Мы видели, что элементы линейного пространства Λn являются один раз контравариантными тензорами. Найдем их произведение по определению Прил. 4.3.3.

 

Получаем, что x Ä y = xk hi есть дважды контравари-

 

антный тензор.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, x Ä y ¹ y Ä x . Дело

в

том,

 

что хотя и

 

xk hi = hi xk , но упорядочивание

компонентов

этих

 

тензоров выполняется по-разному. Следовательно, тен-

 

зорное произведение некоммутативно.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача

Определить тип и матрицу тензора c = a Ä b ,

если

Прил. 4.3.1.

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a – тензор типа (0,3) с матрицей

 

 

 

3

4

 

 

 

и b –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

8

 

 

 

 

 

 

тензор типа (0,1) с матрицей

 

10

 

.

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления

 

 

 

 

 

 

 

 

507

 

 

 

Решение.

По определению тензорного произведения c есть тен-

 

 

 

 

зор типа (0,4) с матрицей, составленной (с учетом

 

 

 

 

соглашения о порядке индексов) из поэлементных про-

 

 

 

 

изведений вида aijk bl , где

aijk и bl – компоненты

 

 

 

 

тензоров a и b соответственно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, матрица тензора c имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1× 9

2 × 9

 

1×10

 

 

2 ×10

 

 

 

9 18

 

10 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 × 9

4 × 9

 

3 ×10

 

4 ×10

 

=

 

27

 

36

 

 

 

30

40

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 × 9

6 × 9

 

5 ×10

 

6 ×10

 

 

45

 

54

 

 

 

50

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 × 9

8 × 9

 

7 ×10

 

8 ×10

 

 

 

 

63

 

72

 

 

 

70

80

 

 

 

 

 

 

 

Свертывание тензоров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

 

 

 

 

Пусть

дан

тензор

типа

(q, p) α j1 j2 ... jq ,

причем

 

 

 

Прил. 4.3.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1i2 ...ip

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q ³ 1 и p ³ 1 . Выберем один верхний (например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jr ) и один нижний (например, is ) индексы и в запи-

 

 

 

 

 

 

 

 

си тензора заменим их обозначения одним и тем же

 

 

 

 

 

 

 

 

символом (например, m ). Тензор типа (q -1, p -1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j1 j2 ... jq −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β i i

...i

p −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j1 j2 ... jr ... jq

по индек-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сверткой тензора α i i

...i

...i

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сам jr и is , если в каждом базисе имеет место ра-

 

 

 

 

 

 

 

 

венство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j1 j2 ... jq −1

=

 

 

j1 j2 ...m... jq

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β i i

...i

p −1

 

α i i

...m...i

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

508

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Заметим, что в последнем равенстве правая часть – это сумма n слагаемых, где m – индекс, по которому выполняется суммирование,

а само данное тензорное равенство равносильно (q −1)( p −1) ска-

лярным равенствам.

Пример Свертка тензора типа (1,1) , являющегося линейным

Прил. 4.3.3.

оператором αij , есть тензор типа (0, 0) , то есть ин-

вариант относительно замены базиса, имеющий един- ственный компонент, равный

αmm = α11 + α22 + ... + α nn .

Данное выражение есть сумма диагональных элемен- тов матрицы линейного оператора, которая не меняет- ся при замене базиса. Заметим, что данным свойством не обладает, например, матрица билинейного функ- ционала.

Операция свертки часто комбинируется с операцией умножения тензоров. Например, результатом произведения один раз ковариант- ного тензора на один раз контравариантный с последующей сверткой является инвариант, представляющий значение линейного функцио-

нала в Λn . Действительно, f (x) = φi ξi . В этом случае говорят, что

тензор φ

i

свертывается с тензором ξk .

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача

 

 

Даны тензоры:

 

 

 

Прил. 4.3.2.

a – типа

(1,1) с элементами

i

и матрицей

 

 

 

α j

1 2 3

4 5 6 ;

7 8 9

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности