Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 / 5550 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления

489

С другой стороны, недостатком такой схемы является очевидная зависимость описания объекта от выбора базиса, то есть необходи- мость указывать (в самом определении объекта!), что происходит с его компонентами при переходе от одного базиса к другому.

Для оценки целесообразности использования определения объек-

тов в Λn через их компоненты приведем в таблице Прил. 4.1.1 основ- ные, рассмотренные нами ранее, типы объектов, формы их представ- ления в базисе и правила изменения этого представления при перехо-

′

, g

′

де от базиса {g1 , g2 ,..., gn } к базису {g1

,..., gn }.

Таблица Прил. 4.1.1

Тип

Координатное представление

Правило изменения

объекта

в базисе {g1 , g2 ,..., gn }

координатного пред-

в Λn

ставления при переходе

к базису

′

}

{g1

, g2

,..., gn

Элемент

Столбец

−1

ξ1

g′

или

ξ′j

...

= ∑τ ji ξi

ξn

i=1

Линей-

Строка

g′

ный

f g =

функ-

φ1

φ2

... φn

или

ционал

φ′j

= ∑φi σij

f (x)

где φi

= f (gi )

i=1

490 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Линей-

g′

ный опе-

−1

ратор

α11

α12

...

α1n

...

или

... ... ... ...

α n1

α n 2

...

α nn

α′

где

= ∑∑τkj σmi α jm

j =1 m=1

= ∑αij gi

; j = [1, n]

Ag j

i=1

Били-

g′

нейный

β11

β12

β1n

функ-

...

ционал

β21

β22

...

β2n

или

B(x, y)

... ... ... ...

βn1

βn2

...

βnn

β′

где

= ∑∑σ jk σmi β jm

βij = B(gi , g j ); i, j = [1, n]

j =1 m=1

Квадра-

′

тичный

ϕ11

ϕ12

ϕ1n

функ-

...

ционал

ϕ21

ϕ22

...

ϕ2n

Φ(x)

... ... ... ...

ϕn1

ϕn2

...

ϕnn

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления

491

где

или

βij + β ji

; i, j = [1, n]

ϕ′ki

= ∑∑σ jk

σmi ϕ jm

j =1 m=1

Как и ранее, будем предполагать, что матрица перехода

име-

σij

g ′j

ет компоненты

, где

= ∑σij gi ;

j = [1, n] ,

а матрица об-

i=1

−1

τij

, то

ратного перехода

имеет

компоненты

есть

g j = ∑τij gi′ ;

j = [1, n] .

i=1

Сопоставление формул третьей колонки таблицы позволяет заме- тить, что для данных объектов:

1°	′	, g	′	′	} линейны
	значения их компонентов в базисе {g1		2	,..., g n

по значениям компонентов в базисе {g1 , g 2 ,..., g n };

2° коэффициентами в этих формулах служат либо компоненты

матриц S или S	−1
	, либо и той и другой одновременно.

В курсе линейной алгебры нами были рассмотрены далеко не все виды объектов, которые обладают подобными трансформационными

свойствами. Например, в Λn

можно ввести произведение элементов

x Ä y , поставив в каждом базисе упорядоченной паре элементов

x =

... ξ

T и y =

... η

492	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

в соответствие матрицу размера n × n , имеющую вид

x1 h1

x1 h2 ...

x1 hn

x2 h1

x2 h2 ...

x2 hn

...

xn h1

xn h2 ...

xn hn

Нетрудно убедиться,

что объект x Ä y при переходе от базиса

, g

,..., g

} к базису {g ′, g

′ ,..., g

′

} меняется в соответствии с

правилами 1° и 2°. Действительно, из

x¢k = ∑tk i xi

и h¢j = ∑t jm hm

i=1

m=1

следует, что x¢k h¢j = ∑∑tki t jm xi hm

, или же, в матричном виде,

i=1 m=1

−1 ) T

−1 .

x Ä y

g′ = (

x Ä y

Последнее равенство означает, что введенное нами произведение эле- ментов обладает свойствами 1° и 2°.

Рассмотрим другой пример, демонстрирующий существование бо- лее сложных объектов, обладающих данными свойствами. Достаточно часто в физических приложениях используется метод, в котором ли- нейный оператор описывает зависимость одного вектора, характери- зующего некоторое свойство точки пространства, от другого вектора, являющегося другой физической характеристикой этой же точки.

→

Например, закон Гука связывает вектор силы F , возникающей в

→

результате упругой деформации, с вектором деформации Dr соотно- шением

kxx

kxy

kxz

k yx

k yy

k yz

kzx

kzy

kzz

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления

493

→

или же индукция электрического поля D выражается через напря-

→

женность электрического поля E формулой

θxx

θxy

θxz

θ yx

θ yy

θ yz

E y

θzx

θzy

θzz

Если среда однородная, то коэффициенты матриц этих операторов

константы. Однако если исследуемые свойства среды меняются от

точки к точке, то соответствующие операторы уже не будут линейны-

ми, и может возникнуть вопрос о характере их зависимости от коор-

динат.

В этом случае можно ввести в рассмотрение объект, компоненты

которого являются частными производными компонентов матрицы

оператора по переменным x, y и z . Для рассматриваемых примеров

таких частных производных будет 27, и их удобно представить в виде

трехмерной таблицы (или, как иногда говорят, “ куб-матрицы”).

Например, для закона Гука этот объект состоит из трех матриц

вида

∂κ xx

∂κ xy

∂κ xz

∂κ xx

∂κ xy

∂κ xz

∂κ xx

∂κ xy

∂κ xz

∂x

∂ y

∂y

∂ y

∂z

∂κ yx

∂κ yy

∂κ yz

∂κ yx

∂κ yy

∂κ yz

∂κ yx

∂κ yy

∂κ yz

∂x

∂y

∂z

∂κ zx

∂κ zy

∂κ zz

∂κ zx

∂κ zy

∂κ zz

∂κ zx

∂κ zy

∂κ zz

∂x

∂z

∂y

∂ y

В общем случае n-мерного линейного пространства можно ввести

∂ A

объект, называемый производной оператора, обозначаемый

→

∂ r

494	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

и задаваемый в конкретном базисе упорядоченным набором из nn чисел.

Найдем закон преобразования компонентов этого объекта при пе-

реходе от базиса {g

, g

,..., g

} к базису {g ′, g ′ ,..., g ′

}. Посколь-

ку правило изменения компонентов матрицы оператора

в Λ

име-

ет вид

−1

(или

α′

τ σ

) ,

g′

∑∑ kj

j =1 m=1

то из правила дифференцирования сложной функции следует, что

∂α′

∂α

∂ξ

k i

= ∑∑τkj σmi

∑

∂ξ′

∂ξ

∂ξ′

j =1 m=1

p=1

= ∑∑∑τk j σimT

∂α jm σ p l ,

n n

j =1 m=1 p=1

∂ξ p

или, в матричной форме,

∂ A

−1

∂

→

∂ r

g′

∂ r

Откуда делаем заключение, что введенный нами новый объект также обладает свойствами 1° и 2°.

С другой стороны, отметим, что не всякий однозначно определяе- мый своими компонентами объект будет обладать подобными транс- формационными свойствами.

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления		495
Например, рассмотрим однокомпонентный объект ω ,		значение
ξ1
которого для каждого элемента x = ξ2	пространства	Λn есть

...

ξn

сумма компонентов x . Для него в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } имеем

ω= ∑ξi ,

i=1

и,

хотя

значение ω′

определяется

однозначно в базисе

′

, g

′

}, оно не выражается линейно через ω , так как

{g1

,..., g n

ω′

ξ′ =

∑

∑∑

i=1

j =1

Таким образом, мы приходим к заключению, что в конечномерном линейном пространстве существует достаточно широкий класс объек- тов:

-задаваемых совокупностью значений своих компонентов в не- котором базисе;

-обладающих свойствами вида 1° и 2°, характеризующими из- менения этих компонентов при переходе от одного базиса к другому.

Объекты, обладающие перечисленными свойствами, называют

тензорами, уточняя это название, в случае присутствия матриц S

или S T в формулах пересчета компонентов тензора при замене

базиса, термином ковариантный (то есть преобразующийся так же,

как и базисные элементы) или же в случае присутствия матриц

S −1 или ( S −1 )T – термином контравариантный.

496	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Приложение 4.2. Определение и обозначение тензоров

Определение тензора, исходя из вышеизложенных соображений, можно было бы дать, например, в такой форме:

Будем говорить, что в вещественном линейном простран-

стве Λn определен тензор типа (q, p) q раз контра-

вариантный и p раз ковариантный (или ( p + q) -

вален-тный), если в Λn задан объект, который в каждом

базисе характеризуется упорядоченным набором		n p+ q
чисел ξ j1 j2 ... jqi1i2 ...ip (где	jm = [1, n] ; m = [1, q] –	кон-
травариантные индексы и	ik = [1, n] ; k = [1, p]	– ко-

вариантные), преобразующихся при переходе от базиса

, g

,..., g

} к базису {g ′, g ′ ,..., g ′

} по закону

ξ′ j′ j′ ... j′ i′i′

...i′ =

n ... n

... n

i1i1′

i2i2′

...σ

i pi′p

q 1 2

∑∑ ∑∑∑

∑

i1 =1 i2 =1 ip =1 j1 =1 j2 =1 jq =1

× τ j1′ j1

τ j2′ j2 ...τ jq′ jq

ξ j1 j2 ... jqi1i2 ...ip ,

где

i′

= [1,n] ;

k = [1, p]

j′

= [1, p] ;

k = [1, m] ,

τij

σij

суть соответственно компоненты матрицы пе-

−1

рехода

и ей обратной

Громоздкость записи и неудобочитаемость тензоров при использо- вании стандартной схемы обозначений очевидны уже на примере это- го определения. Поэтому в тензорном исчислении используется спе- циальная, более компактная форма описания тензорных объектов и операций с ними, основу которой составляют следующие правила.

Прил. 4 . Элементы тензорного исчисления				497
Запись тензоров
1°.	Упорядоченный	набор	вещественных чисел, являющихся
	компонентами тензора,		образует (q + p) -мерную таблицу
	(называемую	также	(q + p) -мерной	матрицей, или
	(q + p) -мерным массивом), каждый элемент которой одно-
	значно определен набором значений контравариантных ин-
	дексов j1, j2 ,..., jq и ковариантных индексов i1,i2 ,...,i p .
	Если какой-либо из индексов принимает значения от 1 до n ,
	то в записи тензора перечень значений индекса не указывает-
	ся и предполагается, что выписаны компоненты тензора для
	всех этих значений.

Пример	Запись ξi = ηi означает, что
Прил. 4.2.1.	ξi = ηi i = [1, n] .
	ξi = ηi i = [1, n] .

2°. Порядок следования индексов в записи тензоров существен.

Для того чтобы избежать возможной неоднозначности, при- меняется следующее правило: если необходимо выписать по- следовательно все компоненты тензора (например, в виде од- ной строки), то в первую очередь увеличиваются индексы, расположенные ближе к правому концу индексного списка.

Пример Тензор ξijk в Λ2 имеет следующий порядок компо-

Прил. 4.2.2.

нентов: ξ111 , ξ112 , ξ121 , ξ122 , ξ211 , ξ212 , ξ221 , ξ222 .

3°. В тензорных записях для отличия контравариантных индек- сов от ковариантных принято первые обозначать верхними индексами, а вторые – нижними. При этом, чтобы сохранить общий порядок следования индексов в списке, в запись каж- дого индекса добавляется символ “ точка” под каждым верх- ним индексом и над каждым нижним.

498	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Пример	. jk ..
Прил. 4.2.3.	ξi..lm .

4°. Если точки не использованы в записи тензора, то предполага- ется, что нижние индексы следуют в списке после верхних.

Пример					$
Пример	Линейный оператор S , переводящий базис
Прил. 4.2.4.	{g		, g		,..., g		}	в {g ′, g ′	,..., g ′	},
	{g	1	, g	2	,..., g	n	}	в {g ′, g ′	,..., g ′	},
		1		2		n		1 2	n
	является двухвалентным							тензором	типа	(1,1) σ j
										i

(один раз контравариантным и один раз ковариант- ным), причем его компоненты совпадают с компонен-

тами матрицы перехода σ ji как следствие совпадения

определения 7.3.2 и определения матрицы линейного оператора 8.3.1.

Соглашение о суммировании

Пусть имеется выражение, являющееся произведением сомножи- телей, имеющих как верхние, так и нижние индексы, причем некото- рый индекс встречается в записи выражения дважды: один раз как верхний, а второй раз как нижний. Тогда под таким выражением по-

нимается сумма членов данного вида, выписанных для всех значений повторяющегося индекса.

В случае присутствия в выражении нескольких пар совпадающих индексов имеет место многократное суммирование.

Пример	1°. Квадратичный функционал записывается теперь
Прил. 4.2.5.	i	ξ	j	.
	в виде Φ(x) = ϕij ξ

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 / 5550 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб18МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб3Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб6Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб25МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб42МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
01.03.202581.41 Кб0МХК-2010.doc
#
03.06.20153.67 Mб22Наноолимпиада физика.pdf
#
01.07.2025260.61 Кб0Написание сочинения ЕГЭ-11.doc
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб13Национальный манифест.pdf