Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5161 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf
Скачиваний:
42
Добавлен:
03.06.2015
Размер:
6.64 Mб
Скачать
☆

 

 

Прил. 3 . Комплексные числа

 

 

 

 

 

 

 

479

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространства Ω является элемент этого

же про-

 

 

 

 

странства

 

α1α2

− β1β2

 

 

 

 

 

 

 

 

z1 z2 =

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α1β2

+ α2β1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

Двумерное линейное пространство Ω с базисом

 

 

 

Прил. 3.2.

 

{g1 =

 

1

, g 2

=

0

},

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

в котором введена операция умножения элементов

 

 

 

 

согласно определению Прил. 3.1, называется мно-

 

 

 

 

жеством

комплексных чисел, а каждый

элемент

 

 

 

 

z Ω –

комплексным числом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечания. 1°. Операция умножения комплексных чисел комму- тативна и обладает распределительным свойством относительно операции сложения, что следует не- посредственно из ее определения.

2°. Операция умножения комплексных чисел позво- ляет ввести операцию деления: частным от деле-

ния комплексного числа z1 на ненулевое

z2 на-

зывается комплексное число z , такое, что

 

z

= z

2

z .

 

1

 

 

 

 

3°. Нетрудно убедиться,

 

что

подмножество

ком-

плексных чисел вида

 

α

 

, где α – произволь-

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

ное вещественное число, в силу определения Прил. 3.2 обладает всеми свойствами веществен- ных чисел, и потому можно говорить, что вещест- венные числа есть подмножество комплексных чисел.

480

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

На практике более употребительна специальная, упрощенная фор- ма записи комплексных чисел: в представлении

z = α

1

+ β

0

= αg1 + βg 2

 

0

 

1

 

символ g1 опускается (заменяется не записываемым явно множите-

лем “ единица”), а символ g2 заменяется символом i (называемым иногда “ мнимой единицей”). Тогда произвольное комплексное число z представимо как z = α + β i , а записи операций с комплексными числами принимают следующий вид:

z1 + z2 = (α1 + β1i) + (α 2 + β2i) = (α1 + α 2 ) + (β1 + β2 )i ; λz = λ(α + βi) = (λα) + (λβ)i ;

z1 z2 = (α1 + β1i)(α 2 + β2 i) = (α1α 2 − β1β2 ) + (α1β2 + α 2β1 )i .

Данная форма записи удобна тем, что с комплексными числами можно оперировать как с обычными алгебраическими двучленами,

если принимать во внимание, что i 2

 

= −1, поскольку

i 2 = ii = (0 + 1i)(0 + 1i) =

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

=

 

 

 

− 1

 

 

 

= (−1) + 0 i = −1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Тогда, перемножая комплексные числа как двучлены и заменяя по-

всюду i 2 на число (−1) , мы формально приходим к соотношению

z1 z2 = (α1 + β1i)(α 2 + β2i) = α1α 2 + α1βi + α 2β1i + β1β2i 2 = = (α1α 2 − β1β2 ) + (α1β2 + α 2β1 ) i,

которое согласуется с введенным выше определением Прил. 3.1. Достаточно просто может выполняться также и операция деления:

Прил. 3 . Комплексные числа

481

 

z1

=

α1 + β1i

=

(α1 + β1i)(α 2 − β2i)

=

 

 

z2

 

α2 + β2i (α2 + β2i)(α2 − β2i)

 

=(α1α2 + β1β2 ) + (α2β1 − α1β2 )i =

α22 + β22

=

α1α2 + β1β2 + α2β1 − α1β2

i .

 

 

 

 

 

 

 

α2

+ β2

α2 + β

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

Для комплексного числа z = α + β i :

 

 

 

 

 

Прил. 3.3.

 

1°.

 

 

 

 

 

 

 

α называется веще-

 

 

 

Вещественное число

 

 

 

 

ственной

 

частью

z и

 

обозначается

 

 

 

 

Re z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°.

Вещественное число

β называется мни-

 

 

 

 

мой частью z и обозначается Im z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ =

 

 

 

 

 

 

 

3°.

Вещественное число

 

α2 + β2

на-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

зывается модулем z и обозначается

.

 

 

 

4°.

Вещественное число ϕ , такое, что

 

 

 

 

 

 

 

cos ϕ =

 

 

 

 

α

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α2 + β2

 

 

 

 

 

 

 

sin ϕ =

 

 

 

 

β

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α2 + β2

 

 

 

 

 

 

называется аргументом z

и обозначается

 

 

 

 

arg z при условии, что z ¹ 0 .

 

 

 

 

 

5°.

Комплексное число

α − β i называется

 

 

 

 

комплексно-сопряженным числу z и обо-

 

 

 

 

значается

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

482

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Замечания:

1°. Определения, аналогичные пунктам 1°, 2° и 5°,

 

могут быть сделаны и для матриц, элементами ко-

 

торых являются комплексные числа.

 

2°. Поскольку существует взаимно однозначное соот-

 

ветствие множества радиусов-векторов на плоско-

 

сти и множества комплексных чисел, то ком-

 

плексные числа можно изображать точками на

 

плоскости.

Свойства комплексного сопряжения

Имеют место следующие, легко проверяемые свойства для любых

z, z1 , z2 Ω :

1°. (z ) = z .

2°. Число z будет вещественным тогда и только тогда,

 

когда

 

 

= z .

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

3°.

Число z

 

= α 2 + β2

всегда вещественное и не-

z

 

отрицательное.

 

 

 

 

 

 

4°.

 

 

=

 

1 +

 

2 ;

 

=

 

1

 

2 .

 

z1 + z2

z1 z2

 

z

z

z

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

5°.

Если Pn (z) = ∑α k z k – многочлен с вещест-

k =0

венными коэффициентами, имеющий корень λ ,

то этот многочлен также будет иметь и корень λ .

n

Действительно, пусть ∑α k λk = 0 , тогда

k =0

Прил. 3 . Комплексные числа

483

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

0 =

0

= ∑α k λk = ∑αk

λ

k .

 

 

 

k =0

k =0

Замечание: если алгебраическое уравнение с вещественными коэф- фициентами имеет комплексные корни, то они попарно сопряжены, а алгебраическое уравнение с вещественны- ми коэффициентами нечетной степени имеет, по крайней мере, один вещественный корень.

Задача На множестве комплексных чисел решить уравнение

Прил. 3.1.

z 2 +1 = 0 .

Решение. Переписывая это уравнение, приняв, что

z = α + β i =

 

α

 

 

 

, получаем

 

α

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

+

 

 

 

1

 

 

 

=

 

 

 

0

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Заметим, что здесь мы воспользовались развернутыми представлениями чисел

1 = 1 + 0 i =

1

и 0 = 0 + 0i =

0

.

 

0

 

0

 

Выполнив умножение и сложение в правой части урав- нения, приходим к равенству

α 2 − β2 + 1

=

 

0

 

.

 

 

2αβ

 

 

0

 

 

Но поскольку два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда одновременно равны их веществен- ные и мнимые части, то мы получаем следующую систе- му нелинейных уравнений относительно вещественных неизвестных α и β :

484

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

α

 

− β

 

+ 1 = 0,

 

2

 

2

 

 

 

2αβ = 0,

которая,

 

 

 

 

 

 

 

α = 0,

как легко видеть, имеет два решения

и

α = 0,

 

 

 

 

 

 

β = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому исходное уравнение также имеет два

β = −1.

 

 

 

 

 

 

 

решения

 

 

 

 

 

 

 

z1 =

 

 

 

0

 

= 0 + 1i = i и z2 =

 

0

 

 

 

= 0 + (−1)i = −i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

− 1

 

 

 

 

 

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел

Используя определение Прил. 3.3, можно получить специальную форму записи ненулевых комплексных чисел, называемую тригоно-

метрической:

 

 

 

 

α

 

 

β

 

 

 

 

z = α + β i = α 2 + β2

(

 

 

+

 

 

 

i ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α 2 + β2

 

 

α 2 + β2

= ρ(cos ϕ + i sin ϕ) .

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел аналогична описанию точки, изображающей комплексное число, в полярной сис- теме координат.

Пусть направляющим элементом полярной оси служит элемент

g1

=

1

,

 

 

0

 

а полюс совпадает с началом ортонормированной системы координат

{O, g1 , g 2 } .

Прил. 3 . Комплексные числа

485

Тогда

-значение модуля комплексного числа z равно ρ – расстоя-

нию от начала координат до точки, изображающей данное чис- ло,

-значение аргумента arg z совпадает с величиной полярного угла ϕ , отсчитываемого против часовой стрелки, поэтому, со-

гласно определению Прил. 3.3, комплексное число z = α + β i

представимо в тригонометрической форме:

z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) .

Рис. Прил.3.1

Другой часто используемой формой представления комплексных чисел является их экспоненциальная форма, которая получается пре- образованием тригонометрической формы по формуле Эйлера:

eiz = cos z + i sin z z Ω .

486

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

В этом случае из

z = α + β i = z (cos ϕ + i sin ϕ)

следует, что z = ρ eiϕ .

Использование экспоненциальной формы записи комплексных чи- сел может упростить решение некоторых задач, поскольку при пере- множении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргумен- ты складываются21. Например,

 

iϕ

iϕ

 

ρ1ρ2 e

i(ϕ

+ ϕ

 

)

 

z1 z2 = ρ1e 1 ρ

2 e

 

 

2 =

1

 

 

2

 

или, приняв во внимание, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 0 + 1i = cos π + i sin π = ei

π

 

 

 

 

2 ,

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

получим

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i i = (ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 )i = e− π2 .

 

 

 

 

 

Задача

Найти какое-либо вещественное решение уравнения

Прил. 3.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

x = 5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Из формулы Эйлера следует, что

 

 

 

 

 

 

cos z =

 

eiz + e−iz

z Ω ,

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому данное уравнение можно записать в виде

21 Обоснование обобщения свойств экспоненциальной функции вещественно- го аргумента на комплексный случай приводится в курсе ТФКП.

Прил. 3 . Комплексные числа

 

 

 

487

 

 

 

 

+ e

−i

 

 

 

 

 

 

 

 

ei x

x

= 5 или

y +

1

− 10

= 0 ,

 

 

 

 

2

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где y = ei

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда находим, что ei x = 5 ± 26 , то есть

i x = ln(5 ± 26),

или окончательно x = − ln 2 (5 ± 26 ).

488

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Приложение 4

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Приложение 4.1. Замечания об определении объектов

влинейном пространстве

Впредыдущих разделах курса линейной алгебры исследовались наиболее часто встречающиеся в приложениях виды объектов в ли- нейном пространстве, такие, как элемент линейного пространства, линейный функционал, линейный оператор, билинейный функционал

ит.д., хотя вполне очевидно, что в линейном пространстве могут быть определены и иные, быть может, более сложные объекты, представ- ляющие практический интерес.

Определение всех рассмотренных ранее объектов давалось вне за- висимости от наличия или отсутствия базиса линейного пространства, причем в случае существования базиса для каждого из объектов при- водился альтернативный, покомпонентный способ его описания. И поскольку замена базиса меняет, вообще говоря, данное описание, то специально исследовался вопрос о характере этого изменения.

Однако естественно допустить, что в линейном пространстве Λn существуют объекты, которые можно определить, используя лишь значения их компонентов в некотором базисе. Такой подход привле- кателен тем, что, во-первых, в этом случае не требуется объяснять, что представляет собой данный объект безотносительно к базису, и, во-вторых, определения объектов разной природы могут быть выпол- нены единообразно.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности