МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

3°. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональ- ной оси Oz , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox или Oy – парабола. Например, рассматривая секущую

плоскость z = z0 > 0 , получаем следующее уравнение плоской линии:

являющейся эллипсом. (Рис. Прил. 2.3.1.) С другой стороны, се-

чение плоскостью y = y0 приводит к уравнению линии

являющейся параболой. Для случая сечения плоскостью x = x0

уравнение сечения имеет аналогичный вид:

называется гиперболическим параболоидом.

Свойства гиперболического параболоида

1°. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что z – лю- бое.

Рис. Прил. 2.4.1

2°. Гиперболический параболоид обладает

-осевой симметрией относительно оси Oz ;

-плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz .

3°. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортого- нальной оси координат Oz , получается гипербола, а плоскостя-

ми, ортогональными осям Ox или Oy , – парабола. (Рис.

Прил.2.4.1.)

Например, рассматривая секущую плоскость z = z0 > 0 , полу-

чаем следующее уравнение линии сечения:

Из полученных уравнений следует, что гиперболический парабо- лоид может быть получен поступательным перемещением в про- странстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости вза- имно перпендикулярны.

4°. Гиперболический параболоид имеет два семейства прямолиней-

ных образующих.

также принадлежат и гиперболическому параболоиду, поскольку почленное перемножение уравнений плоскостей, задающих эти прямые, дает уравнение гиперболического параболоида.

Заметим, что для каждой точки гиперболического параболоида, существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на гиперболическом параболоиде. Уравнения этих пря- мых могут быть получены (с точностью до некоторого общего ненулевого множителя) путем подбора конкретных значений па- раметра α .

Приложение 2.5. Однополостный гиперболоид

\

Определение Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормиро- Прил. 2.5.1. ванной системе координат уравнением вида

называется однополостным гиперболоидом.

Свойства однополостного гиперболоида

1°. Однополостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует,

что z (−∞, + ∞) .

Рис. Прил. 2.5.1

2°. Однополостный гиперболоид обладает (рис. Прил. 2.5.1)

-центральной симметрией относительно начала коорди- нат;

-осевой симметрией относительно всех координатных осей;

-плоскостной симметрией относительно всех координат- ных плоскостей.

3°. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, ортого- нальной оси координат Oz , получается эллипс, а плоскостями,

ортогональными осям Ox или Oy – гипербола. Вывод уравне-

ний для линий сечения аналогичен рассмотренным ранее случа- ям.

4°. Однополостный гиперболоид имеет два семейства прямолиней- ных образующих. Записав уравнение данной поверхности в виде

будут принадлежать и однополостному гиперболоиду, поскольку почленное перемножение уравнений плоскостей, задающих эти прямые, дает уравнение однополостного гиперболоида. То есть для каждой точки однополостного гиперболоида существует па- ра прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на однополостном гиперболоиде. Уравнения этих прямых могут быть получены путем подбора конкретных значений α и β .

Приложение 2.6. Двуполостный гиперболоид

Свойства двуполостного гиперболоида

1°. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, по-

скольку из его канонического уравнения следует, что x ³ a и

не ограничен сверху.

Рис. Прил. 2.6.1

2°. Двуполостный гиперболоид обладает

-центральной симметрией относительно начала коорди- нат;

-осевой симметрией относительно всех координатных осей;

-симметрией относительно всех координатных плоско- стей.

3°. В сечении двуполостного гиперболоида плоскостью, ортого-

нальной оси координат Ox , при x > a получается эллипс, а

плоскостями, ортогональными осям Oy или Oz , – гипербола. (Рис. Прил. 2.6.1.)

Приложение 2.7. Поверхности вращения

Пусть некоторая кривая, расположенная в плоскости Oxz , имеет уравнение F (x, z) = 0 . Если вращать эту кривую вокруг оси Oz , то

каждая ее точка будет описывать окружность.

y 2 + z 2 = 2 px .

Приложение 3

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Рассмотрим двумерное линейное пространство Ω , изоморфное20 линейному пространству радиусов-векторов на плоскости, с ортонор-

мированной системой координат {O, g1 , g 2 } .

20 Изоморфизм (см § 7.5) в данном случае означает, что операции сравнения, сложения и умножения на вещественное число выполняются в данном мно- жестве так же, как и для векторов на плоскости.