Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5161 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf
Скачиваний:
42
Добавлен:
03.06.2015
Размер:
6.64 Mб
Скачать
☆

Прил. 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости

449

тогда уравнение касательной к этому эллипсу,

проходящей через точку A, имеет вид

 

 

x0 x

+

y0 y

= 1 .

 

 

a 2

b 2

 

Доказательство.

Уравнение касательной в точке A имеет вид

y − y0 = y′(x0 )(x − x0 ) .

Для эллипса из канонического уравнения получаем

 

2x

+

2 yy′

= 0 ,

 

 

 

 

a 2 b2

 

то есть

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

b2

 

x0

 

 

 

 

 

 

y (x0 ) = −

 

 

 

 

.

 

 

 

 

a 2

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но тогда

y − y0

= −

b2

 

x0

 

(x − x0 ) , и, принимая во внима-

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

ние, что

x02

+

y02

= 1, окончательно получим

a 2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 x

 

 

y0 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

= 1 .

 

 

 

 

 

 

 

a 2

b2

 

 

Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точек y0 = 0 , где уравнения касательных имеют вид

x = ± a.

Теорема доказана.

Доказательство свойства 6° теоремы Прил. 1.2.1.

Пусть касательная к эллипсу проведена через точку касания A ,

450

 

 

 

 

 

 

 

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

 

имеющую координаты

 

 

x0

 

.

 

Тогда расстояние d2

 

от фокуса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F2 с координатами

 

− c

 

 

 

 

 

до касательной равно (см. задачу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.1):

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 (−c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 =

1

 

 

+

 

y0

(0)

− 1

 

=

1

 

 

 

x0 c

+ 1

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

 

 

b 2

 

 

 

 

 

 

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

y 2

=

 

 

 

 

x0ε + a

 

=

 

 

 

 

2

 

,

где

=

 

 

 

 

0

+

 

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

 

b2

 

Аналогично находим расстояние d1 от фокуса F1 с координа-

 

тами

 

c

 

 

 

 

до касательной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d1

=

1

 

 

x0c

 

− 1

 

=

 

1

 

 

 

x0 ε − a

 

=

 

r1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Поскольку углы α и b острые, то из равенств

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin α =

d1

 

=

1

 

 

и sin β =

d 2

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

a

 

 

 

 

следует Ða = Ðb .

Свойство 6° теоремы Прил. 1.2.1 доказано.

Из теорем Прил. 1.2.1 и Прил. 1.2.2 следует возможность альтер- нативных формулировок свойств эллипса.

Фокальное свойство эллипса: эллипс есть геометрическое ме- сто точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов по- стоянна и равна 2a .

Прил. 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости

451

Директориальное свойство эллипса: эллипс (исключая случай окружности) есть геометрическое место точек, отношение рас- стояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и меньше единицы.

Оптическое свойство эллипса: касательная в любой точке эл-

липса образует с фокальными радиусами точки касания равные острые углы. (Любой луч света, исходящий из одного фокуса, после отражения в эллипсе проходит через другой фокус.)

Уравнение эллипса в полярной системе координат

Поместим полюс полярной системы координат в левый фокус эл- липса, а полярную ось направим по линии, соединяющей его фокусы. Для произвольной точки A , лежащей на эллипсе (рис. Прил. 1.2.1.), имеем

ρ = r2 = a + xε = a + ε(ρ cos ϕ − aε) = a + ερ cos ϕ − aε 2 .

Откуда

ρ(1 − εcos ϕ) =

= a(1 − ε2 )

и окончательно

p

 

ρ = 1 − ε cos ϕ .

 

(Сравните эти формулы

 

с выкладками в § 4.6.)

Рис. Прил. 1.2.2

452

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Приложение 1.3. Гипербола и ее свойства

Определение Линия, уравнение которой в некоторой ортонормиро- Прил. 1.3.1. ванной системе координат имеет вид

 

x 2

 

−

y 2

= 1 ; a > 0, b > 0,

 

a 2

b 2

 

 

 

 

 

называется гиперболой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε =

 

 

 

 

a 2

+ b2

Определение Число

 

 

 

 

 

 

 

называется эксцентрисите-

 

 

 

 

 

 

 

Прил. 1.3.2.

 

 

 

 

 

 

a

том гиперболы.

 

 

Точки

 

± εa

 

 

 

называются фокусами гиперболы.

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямые

x = ±

a

называются директрисами гипер-

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

болы.

Число p = b 2 называется фокальным параметром

a

гиперболы.

Свойства гиперболы

1°. Гипербола – неограниченная кривая, существующая для |x| ³ a, что следует из записи канонического уравнения в

форме y = ± b x 2 − a 2 ;

a

Прил. 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости

453

2°. Гипербола L обладает осевой симметрией относительно осей Ox и Oy , а также центральной симметрией относи-

тельно начала координат. Это вытекает из отношений

− x

 

 

 

L

 

x

 

 

 

L

 

x

 

 

 

L,

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

− y

 

 

 

 

C

−x L,

−y

очевидных для канонического уравнения гиперболы.

Через α и β обозначим углы между касательной и фокальными

радиусами (рис. Прил. 1.3.1).

Определение

Прил. 1.3.3.

Прямая y = ux + v называется асимптотой для ли-

нии y = f (x) при x → ∞ , если

u = lim

f (x)

и v = lim( f (x) − u x) .

x

x→∞

x→∞

 

 

 

3°. Гипербола обладает асимптотами вида

y = ±

b

x . Дейст-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

u =

 

 

b

 

 

 

 

 

= ±

b

 

 

 

 

 

вительно,

lim

 

 

x2 − a2

 

и, кроме того,

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

x →±∞ ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = lim

 

 

b

 

 

 

 

 

 

M

b

x ) =

b

lim (

 

 

M x) =

(

 

 

 

 

x 2 − a 2

 

x 2 − a 2

a

 

 

 

 

x→±∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a x→±∞

 

 

 

 

 

 

=

b

lim

 

(x 2 − a 2 ) − x2

 

= − ab lim

 

 

 

1

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x→±∞

x 2 − a 2 ± x

 

 

 

 

x→±∞

 

x 2

− a 2 M x

454 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Свойства гиперболы иллюстрирует рис. Прил. 1.3.1.

Теорема Прил.1.3.1

.

 

 

 

 

 

Рис. Прил. 1.3.1

Пусть A =

 

 

 

x

 

есть точка, принадлежащая гипер-

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

боле L , заданной каноническим уравнением, тогда имеют место следующие соотношения:

1°.

Для правой ветви

 

r1 =

→

 

| F1 A | = −a + εx ;

 

 

 

→

 

r2

=

| F2 A |= a + εx (x > a) .

 

Для левой ветви

 

 

 

→

 

r1

=| F1 A | = a − εx ;

 

 

 

→

 

r2

=| F2 A | = −a − εx (x < −a) ;

2°.

|r1 − r2 | = 2a ;

Прил. 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости

455

 

 

ρ( A, F1 )

ρ( AF2 )

 

3°.

 

 

=

 

 

= ε ;

 

ρ( A, D )

ρ( A, D

)

 

1

 

 

2

 

 

4°.

 

ρ(M , F1 )

= ε M , M L;

 

 

 

 

ρ(M , D1 )

 

 

 

 

 

→

 

 

 

5°.

| F2 B |= p ;

 

 

 

6°.

Ða = Ðb .

 

 

 

Доказательство.

1°. Доказательство аналогично доказательству теоремы Прил. 1.2.1, поэтому ограничимся здесь лишь нахождением вели- чин

r = (x − aε)2

+ y 2

;

r = (x + aε)2

+ y 2

,

1

 

 

2

 

 

используя каноническое уравнение и определение эксцен- триситета. Для i = 1, 2 получаем

r =

 

 

= (x ± aε) 2 +

b 2

(a 2 − x 2 ) =

(x ± aε)2 + y 2

 

i

 

 

 

 

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

=

 

 

(x ± aε)2 + (1 − ε2 )(a 2 − x 2 )

 

 

=

 

 

 

=

x 2

± 2xaε + a 2 ε 2

+ a 2 − a 2 ε2 − x 2 + x 2 ε2

=

 

 

= | a ± εx | .

 

 

a 2

± 2xaε + x 2 ε 2

 

 

Но поскольку для гиперболы | x | ³ a и e >1, то для пра-

вой ветви

→

→

r1 =| F1 A | = −a + εx ; r2

= | F2 A | = a + εx,

456

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

 

а для левой соответственно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→

 

 

 

 

→

 

 

 

 

r1 =| F1 A | = a − εx ; r2

=| F2 A|

= −a − εx.

 

Откуда и следует 2° и 3°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Справедливость 4° докажите самостоятельно.

 

 

 

 

5°. Наконец,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→

 

b

 

 

 

b

 

 

 

 

b

 

 

=

 

a 2 ε2 − a 2

=

 

 

ε2 − 1 = b

= p .

 

| F B |

 

a

 

 

 

 

 

2

 

a

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6°. Докажите это утверждение самостоятельно по аналогии с доказательством свойства 6° теоремы Прил. 1.2.1, используя также теорему Прил. 1.3.1.

Теорема доказана.

Замечание о свойствах гиперболы

Каноническое уравнение изучаемой в курсе элементарной матема-

тики гиперболы

нат:

y = a получается путем следующей замены коорди-

x

x =

1

 

x′ −

1

 

y′,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x′ +

1

 

y′.

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

Из теорем Прил. 1.3.1 и Прил. 1.2.2 следует возможность альтер- нативных формулировок свойств гиперболы.

Фокальное свойство гиперболы: гипербола есть геометриче-

ское место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фокусов постоянна и равна 2a .

Прил. 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости

457

Директориальное свойство гиперболы: гипербола есть геомет-

рическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (дирек- трисы) постоянно и больше единицы.

Оптическое свойство гиперболы: касательная в любой точке гиперболы образует с фокальными радиусами точки касания равные углы. (Изображение точечного источника света, распо- ложенного в одном из фокусов, есть мнимое и находится в дру- гом фокусе гиперболы.)

Проведение касательных к гиперболе

Теорема

Пусть A =

x0

 

есть точка, принадлежащая ги-

y0

 

Прил. 1.3.2.

 

 

 

 

 

 

 

перболе, заданной каноническим уравнением, тогда

 

уравнение касательной к этой гиперболе, проходя-

 

щей через точку А, имеет вид

 

 

 

 

 

x0 x

y0 y

 

 

 

 

 

 

−

 

= 1 .

 

 

 

 

a 2

b2

Доказательство.

Уравнение касательной в точке A имеет вид

y − y0 = y′(x0 )(x − x0 ) .

Для гиперболы из канонического уравнения получаем

2x

−

2 yy′

= 0 ,

 

 

a 2 b2

 

′

b2

 

x0

 

 

b2

 

x0

 

то есть y (x0 ) =

 

 

 

. Но тогда y − y0

=

 

 

 

(x − x0 ) ,

a 2

 

y0

a 2

 

y0

 

 

 

 

 

 

и, принимая во внимание, что

458

 

 

 

 

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

 

 

x02

−

y

02

= 1 , окончательно получим

 

 

 

 

 

a 2

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 x

 

y0 y

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

= 1 .

 

 

 

 

 

 

 

a 2

b2

Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точек y0 = 0 , где уравнения касательных имеют вид

x = ± a.

Теорема доказана.

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Поместим полюс полярной

 

 

системы координат в правый

 

 

фокус гиперболы, а полярную

 

 

ось направим по положитель-

 

 

ной полуоси Ox (рис. Прил.

 

 

1.3.2).

 

 

Тогда для произвольной точки

 

 

A , лежащей на правой ветви

 

 

гиперболы,

 

 

ρ = r1 = −a + xε =

 

 

= −a + ε(ρ cos ϕ + aε) =

 

Рис. Прил. 1.3.2

= −a + ερ cos ϕ + aε2.

 

 

Откуда ρ(1 − εcos ϕ) = a(ε2 −1) и окончательно

ρ =

p

 

.

1 − ε cos ϕ

(Сравните эти формулы с выкладками в § 4.6.)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности