Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 5545 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

Глава 12 . Прикладные задачи линейной алгебры

439

′

= [0, n]

∑ξi (ek

, ei

) = ( f , ek ) , k

i=0

′

будет иметь решения вида:

ξk =

( f , ek )

; k

= [0, n] , а величи-

′

на ρ2 :

(ek

, ek )

′

( f , ek )

= ( f , f

− ∑ξk ek ) = ( f , f ) − ∑

′

k =0

k =0 (ek , ek )

Если же, кроме того, базис {ek , k = [0, n] } ортонормированный, то есть (ek , ei ) = δki ; k, i = [0, n] , тогда

ξk			n
	= ( f , ek ) ; k = [0, n] и ρ2 =	f	2 − ∑ξk2 .
	= ( f , ek ) ; k = [0, n] и ρ2 =	f	2 − ∑ξk2 .
	что значения ξk , k = [0, n] –		k =0
Отметим,	что значения ξk , k = [0, n] –	оптимальных коэффици-

ентов аппроксимирующего многочлена формально совпадают:

1)с решением задачи о нахождении ортогональной проекции

элемента f евклидова пространства на подпространство Λ ;

2)со значениями компонент разложения элемента, принадле-

жащего Λ , по ортонормированному базису

{ek , k = [0, n]}

(см. следствие 10.3.2).

Таким образом, ортогональность системы элементов, используе- мой для аппроксимации, существенно упрощает вычисления. Вместе с тем ортогонализация по методу Грама– Шмидта в случае бесконечно- мерного евклидова пространства может оказаться достаточно слож- ной процедурой.

440	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Возможной альтернативой в процессе построения ортонормиро- ванной системы аппроксимирующих элементов является лемма 10.7.3, утверждающая, что собственные векторы самосопряженного опера- тора, отвечающие различным собственным значениям, попарно орто- гональны.

Рассмотрим линейный оператор Rˆ в евклидовом пространстве бесконечно дифференцируемых на [−1,1] функций, ставящий каждой

такой функции в соответствие18 ее вторую производную, взятую с об- ратным знаком, и выясним, при каких условиях этот оператор будет самосопряженным. Интегрируя по частям, получим

d 2 x

dx dy

(Rx, y) = − ∫

y(τ)dτ = −

y(τ)

+ ∫

dτ.

dτ

− 1

dτ dτ

−1

Но, с другой стороны,

d 2 y

dx dy

(x, Ry) = − ∫ x(τ)

dτ = −x(τ)

+ ∫

dτ .

dτ

dτ dτ

−1

− 1

−1

Поэтому

для

самосопряженности оператора

R достаточно, чтобы

y(τ)

= x(τ)

. Это условие выполняется, например, для

dτ

− 1

функций, которые (так же, как и их производные) имеют равные зна- чения на концах отрезка [−1,1].

18	В примере			ˆ + ˆ
	В примере			10.7.1 было показано, что оператор вида A A есть самосо-
				A =	d
пряженный и имеет неотрицательные собственные значения. Если ˆ					d	и
					dτ	и
		= − dτ			dτ
A		= − dτ
ˆ	+		d	(при выполнении соответствующих граничных условий),		то
ˆ	+			(при выполнении соответствующих граничных условий),		то

Rˆ = Aˆ + Aˆ = − d 2 . dτ2

Глава 12 . Прикладные задачи линейной алгебры

441

Найдем теперь собственные векторы линейного оператора Rˆ . Ус-

ловие Rˆ x = lx в данном случае сводится к дифференциальному уравнению

d 2 x

= -lx, l ³ 0 ,

d t2

x(t) = a eτ

+ b e−τ

решение которого дается формулой

−λ

где α и β – произвольные,

не равные нулю одновременно констан-

ты.

Из условий x(−1) = x(1)

получаем по формуле

− 1 dt

Эйлера (см. приложение 3):

- e−

= 0

−λ

= 0 .

sin

Следовательно собственные значения будут

l k = p2 k 2

" k = 0,1, 2, ... ,

аотвечающие им собственные векторы −

xk (t) = xk cos pkt + hk sin pkt .

Числа xk и hk здесь произвольные, но не равные нулю одновре-

менно для каждого k.

Таким образом, мы получили систему попарно ортогональных элементов, линейная оболочка которых является подпространством евклидова пространства непрерывных на [−1,1] функций. Эта систе-

ма (так же, как система полиномов Лежандра) может быть использо- вана для построения аппроксимирующих многочленов, однако в дан- ном случае эти многочлены будут тригонометрическими.

442	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Замечание: полученные результаты приводят к естественному во- просу: можно ли уменьшить погрешность аппроксима- ции за счет увеличения n ? Или, иначе говоря, справед- ливо ли равенство

			n
lim (	f	2	− ∑ξk2 ) = 0	?
lim (	f	2	− ∑ξk2 ) = 0	?
n→∞			k =0
			k =0

Ответ на этот вопрос в общем случае отрицательный. Рассмотрим,

например, некоторое подпространство E евклидова пространства

E , не имеющее базиса (то есть E бесконечномерное), и пусть су-

ществует ненулевой элемент f E , но f E , такой, что

( f , g k ) = 0 k

(где все g k E , а их любое конечное подмножество линейно неза-

висимо). В этом случае все аппроксимирующие коэффициенты равны нулю и данное предельное равенство, очевидно, не выполняется19.

19 Условия возможности построения линейной комбинации из элементов множества {g k , k = 0,1, 2,...}, аппроксимирующей f E с любой

наперед заданной точностью, выходят за рамки предмета линейной алгебры и изучаются в курсе математического анализа.

Прил. 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости

443

Приложение 1

СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

В § 4.4 были перечислены конкретные типы линий второго поряд- ка, различие между которыми сохраняется при переходе из одной де- картовой системы координат в другую. В данном приложении будут рассмотрены характерные свойства этих линий.

Приложение 1.1. Вырожденные линии второго порядка

К вырожденным линиям второго порядка будем относить все ти-

пы, перечисленные в первых четырех столбцах таблицы теоремы 4.4.1. Кратко опишем их свойства.

1°. Тип линии “Несовпадающие прямые”

Уравнение	x 2	−	y 2	= 0 определяет пару пересекающихся пря-
	a 2		b 2

→ →

мых в системе координат {O, e1 , e2 } . В свою очередь уравнение

y 2 = a 2	при a ¹ 0 определяет пару параллельных прямых.
	→ →
Пример	Пусть на плоскости {O, e1 , e2 } задана линия второго
Прил. 1.1.1.
	порядка 3x 2 + 4xy + y 2 = 0. Преобразовав ее урав-

нение к виду

444 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

(2x + y) 2 − x 2 = 0

(метод Лагранжа), получим две прямые

y = − x и y = −3x .

(Рис. Прил. 1.1.1.)

В данном случае = −1 < 0 , а угол поворота осей систе-

мы координат

α = 1 arctg 2 .

2	Рис. Прил. 1.1.1
2°. Тип линии “Совпадающие прямые”
Уравнение y 2 = 0 определяет прямую	y = 0 в системе коорди-
→ →

нат {O, e1 , e2 } . Получается из типа линии 1° предельным переходом при b → +0 .

3°. Тип линии “Точки”

Уравнение	x 2	+	y 2	= 0 определяет единственную точку – нача-
	a 2		b2

→ →

ло координат системы {O, e1 , e2 } .

4°. Тип линии “Пустые множества”

→ →

На плоскости {O, e1 , e2 } не существует точек, координаты кото-

рых удовлетворяют уравнениям

Прил. 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости					445
	x 2	+	y 2	= -1 или y 2 = -a 2 .
	a 2		b 2

Однако эти случаи иногда именуют “ мнимыми линиями”.

Приложение 1.2. Эллипс и его свойства

Определение	Линия, уравнение которой в некоторой ортонормиро-
Прил. 1.2.1.	ванной системе координат имеет вид

x 2

y 2

= 1 ; a ³ b > 0 ,

a 2

b 2

называется эллипсом.

Определение

Число

e =

a 2 - b2

называется эксцентрисите-

Прил. 1.2.2.

том эллипса.

Точки

± ea

называются фокусами эллипса.

Прямые x = ±

называются директрисами эллипса.

Число

p =

b 2

называется фокальным параметром

эллипса.

Свойства эллипса

1.Эллипс – ограниченная линия: | x |≤ a и | y |≤ b, что следует из записи канонического уравнения в форме

446	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

y = ± b a 2 − x 2 . a

2.Эллипс L обладает осевой симметрией относительно осей Ox и Oy , а также центральной симметрией относительно

начала координат. Это вытекает из отношений

− x

− y

−x L,

−y

очевидных для канонического уравнения эллипса.

Рис. Прил. 1.2.1

Будем обозначать через ρ(P,Q) расстояние между геометриче-

скими объектами P и Q , а через α и β обозначим углы между ка-

сательной и фокальными радиусами – отрезками F1 A и F2 A .

Прил. 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости					447
Теорема	Пусть	A =	x	есть точка, принадлежащая эллип-
Теорема	Пусть	A =	x	есть точка, принадлежащая эллип-
Прил. 1.2.1.			y
	су L ,	заданному каноническим уравнением, тогда
	имеют место следующие соотношения:
			→	→
	1) r1 =\| F1 A \| = a − εx ; r2 =\| F2 A \| = a + εx ;