МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

Если в задаче одновременного приведения пары квадратичных функционалов, один из которых положительно определенный, соот- ветственно к каноническому и диагональному виду, требуется найти лишь этот вид (а не формулы замены переменных), то можно вос- пользоваться более простой схемой расчетов.

Допустим, что положительно определенный квадратичный функ-

ционал Φ(x) приведен при помощи матрицы перехода S к кано-

ническому виду, то есть S T Φ S = E . После того же пре-

образования матрица квадратичного функционала Ψ(x) будет иметь

вид Ψ = S T Ψ S .

Согласно теореме 12.1.1 в ортонормированном базисе для по- строения диагонального вида квадратичного функционала Ψ(x) дос-

таточно найти собственные числа самосопряженного оператора, мат-

рица которого есть Ψ . Найдем выражение для этой матрицы, учи-

тывающее связь между матрицами Φ и S .

Из равенства

S T Φ S = E

следует, что S = ( S T Φ )−1 . Тогда, используя правила об-

ращения и транспонирования произведения матриц, перестановоч- ность обращения и транспонирования, а также симметричность и не-

вырожденность матрицы Φ , имеем

= S −1 ( Φ T )−1 Ψ S = S −1 ( Φ −1 Ψ ) S .

Полученное равенство означает, что матрица Ψ может рас-

сматриваться как результат преобразования матрицы линейного опе-

ратора Φ −1 Ψ при замене базиса с матрицей перехода S .

Поскольку собственные значения линейного оператора не зависят от выбора базиса, то решение задачи может быть сведено к определению

собственных значений оператора, имеющего матрицу Φ −1 Ψ .

Собственные векторы и собственные значения этого оператора на- ходятся согласно § 8.5 из системы линейных уравнений

( Φ −1 Ψ ) f = λ f ,

которую можно преобразовать к виду

( Ψ − λ Φ ) f = o .

Условие существования ненулевых столбцов f :

– алгебраическое уравнение относительно λ , корни которого и явля- ются искомыми коэффициентами диагонального представления квад- ратичного функционала Ψ(x) .

Проиллюстрируем применение данного метода для нахождения диагонального вида квадратичных форм в задаче 12.1.2. В этом случае

фициентов диагонального представления квадратичного функционала Ψ(x) необходимо решить уравнение

дано уравнение поверхности

α11ξ12 + 2α12 ξ1ξ2 + α 22 ξ22 + 2α13ξ1ξ3 + α33ξ32 + + 2α 23ξ2 ξ3 + 2α14 ξ1 + 2α24 ξ2 + 2α34 ξ3 + α 44 = 0

3 k

второго порядка ( ∑∑αik > 0 ).

k =1 i=1

Квадратичную часть данного уравнения можно рассматривать как

квадратичный функционал в E 3 . Приведем его к диагональному виду ортогональным оператором по схеме, изложенной в § 12.1. Получим уравнение

λ1 + λ 2 + λ 3 > 0 ,

для которого рассмотрим три следующих случая.

I.Центральный случай: l1l 2 l 3 ¹ 0 или, что в силу теоремы

8.6.8 то же самое,

После переноса начала координат, устраняющего линейные сла- гаемые, получаем уравнение

для которого можно выделить следующие варианты:

если a′′ ¹ 0

44

если a′′ = 0

44

5) мнимый конус

при sgn(λ1 ) = sgn(λ2 ) = sgn(λ3 ) ;

6) конус

при sgn(λ1 ) = sgn(λ2 ) = − sgn(λ3 ) .

II.Первый нецентральный случай: l1 ¹ 0, l 2 ¹ 0, l 3 = 0 .

12) пару мнимых пересекающихся плоскостей

при sgn(l i ) = sgn(l 2 ) ;

13) пару пересекающихся плоскостей

при sgn(l i ) = -sgn(l 2 ) .

Замечания. 1°. Для классификации конкретной поверхности второго порядка необходимо сделать преобразование квад- ратной части уравнения к диагональному виду и вы- полнить переносы начала координат.

2°. Схема исследования кривых второго порядка на плоскости аналогична случаю, рассмотренному для поверхностей второго порядка.

§ 12.3. Аппроксимация функций многочленами

Задача построения наилучшего (в некотором смысле) приближе- ния заданной на [a, b] функции f (τ) линейной комбинацией неко-

торых других функций

g0 (τ), g1 (τ), g 2 (τ),..., g n (τ),...,

определенных и обладающих более привлекательными (с точки зре- ния удобства их исследования по сравнению с f (τ) ) свойствами на

τ [a, b] , достаточно часто встречается в различных приложениях.

Ввиду большого разнообразия постановок задач этого класса мы ограничимся рассмотрением лишь двух из них, имея целью только проиллюстрировать на примере их решения, использование методов линейной алгебры.

Рассмотрим в качестве объекта аппроксимации непрерывную на [−1,1] функцию f (τ) , а в качестве аппроксимирующих функций

выберем одночлены вида {g k (τ) = τk , k = [0, n]} .

Задача состоит в отыскании алгебраического многочлена, степени

n

не выше n , Pn (τ) = ∑ξk τk , который наилучшим образом прибли-

k =0

жает функцию f (τ) .

Предварительно заметим, что множество непрерывных на [−1,1]

функций образует линейное пространство Λ , элементами которого

подпространство пространства Λ , в качестве базиса которой можно взять набор элементов

{ g k = g k (τ), k = [0, n]}.

Для количественной оценки качества аппроксимации одной функ- ции другой введем в Λ скалярное произведение по формуле

1

(x, y) = ∫ x(τ) y(τ)dτ

−1

и превратим его тем самым в евклидово пространство E . Тогда мера близости элементов x(τ) и y(τ) может быть оценена величиной

рая в силу свойств определенных интегралов равна нулю только в

случае x(τ) = y(τ) τ [−1,1] .

Далее для краткости будем опускать аргументы элементов в E , то есть будем обозначать функцию f (τ) как f E . Квадрат расстоя-

чина ρ2 оказалась минимальной. В силу билинейности скалярного произведения получаем

i=0

находятся оптимальные значения коэффициентов ξk , k = [0, n] , при которых ρ2 минимально. Заметим, что данная система уравнений

имеет единственное решение, поскольку ее основная матрица невы- рожденная, как матрица Грама базисных векторов.

Отметим формальное совпадение полученной формулы с утвер- ждением теоремы 10.3.2, которое позволяет заключить, что опти-

мальные значения коэффициентов ξk ; k = [0, n] суть координаты

Иначе говоря, полученное выражение равно нулю для

n

f = ∑ξk g k ,

k =0