МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

Доказательство.

Поскольку при переходе к ортонормированному базису, обра- зованному из собственных векторов самосопряженного опера-

тора $ (в силу теоремы 12.1.1), справедливы соотношения

A

то, проводя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 9.5.1, получаем, что λ min ≤ ρ(x) ≤ λ max .

Следствие доказано.

Проиллюстрируем применение теоремы 12.1.1 на примере реше- ния следующей задачи.

Задача При помощи ортогонального оператора привести к диа-

12.1.1.гональному виду в E 3 квадратичный функционал

Φ(x) = 2ξ1ξ2 + 2ξ1ξ3 − 2ξ2 ξ3 .

Решение.

1°. Пусть исходный ортонормированный базис состоит из элементов

вим по квадратичному функционалу

Φ(x) = 2ξ1ξ2 + 2ξ1ξ3 − 2ξ2 ξ3

порождающий его симметричный билинейный функционал B(x, y) , использовав формулу

и на этом закончить решение задачи.

3°. В случае, когда требуется найти также и матрицу S – матрицу перехода от исходного ортонормированного базиса к искомому,

необходимо определить собственные векторы оператора Φˆ . Для этого будем последовательно подставлять найденные собствен- ные значения в систему (8.4.1) и строить ее общие решения. Для λ = −2 имеем

Заметим, что ранг основной матрицы этой системы равен 2, по- скольку третье уравнение есть разность первых двух. Далее, дей- ствуя по схеме, описанной в § 6.8 (метод Гаусса), получаем для компонентов собственного вектора систему условий

Кратность собственного значения λ = 1 равна 2, и в силу след- ствия 10.7.2 ему должны отвечать два линейно независимых (но не обязательно ортогональных) собственных вектора. Конкретно, компоненты собственного вектора должны удовлетворять сле- дующей системе уравнений:

422 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

из которых независимое только одно ξ1 = ξ2 + ξ3 . Общее ре-

шение этой системы будет иметь вид

Каждый столбец такого вида ортогонален f1 , но выбранные

конкретные фундаментальные решения не ортогональны друг другу. Поэтому пару ортогональных собственных векторов, от- вечающих λ = 1, сформируем из первого фундаментального решения и ортогональной ему линейной комбинации первого и

но ненормированным базисом. Чтобы построить ортонормиро- ванный базис, выполним нормировку каждого из элементов ба-

зиса { f1 , f 2 , f3 }. В результате получим

ортогональная, то есть удовлетворяет соотношению

S −1 = S T ,

что позволяет легко получить формулы, выражающие “ новые” координаты через “ старые”.

Φ1 (x) = ξ12 − ξ22 и Φ 2 (x) = ξ1ξ2

угла α , удовлетворяющего системе условий

2 sin 2α = 0,

= α

0 cos 2 ,

очевидно, не существует.

Опишем теперь алгоритм приведения в Λn пары квадратичных функционалов Φ(x) и Ψ(x) , заданных в некотором исходном бази-

се {g1 , g 2 ,..., g n }, первый из которых положительно определенный,

соответственно к каноническому и диагональному виду.

все его коэффициенты равны единице (см. теорему 9.2.1). При- ведем этот функционал к данному виду каким-либо методом, на- пример, выделив полные квадраты с последующей нормировкой элементов его матрицы. Одновременно тем же самым методом преобразуем также и квадратичный функционал Ψ(x) .

2°. Введем в Λn скалярное произведение по формуле

n

(x, y) = ∑ξ′k η′k ,

k =1

превратив тем самым данное линейное пространство в евкли-

дово Ε n . Отметим, что в этом случае базис

426 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

матрицы S , приведя квадратичный функционал Ψ(x) к

диагональному виду по схеме, описанной в § 12.1.1. При этом переходе квадратичный функционал Φ(x) не потеряет кано-

нического вида, поскольку из условия Φ e = E и ортого-

нальности S следует, что

Φ e′ = S T Φ e S = S T E S = = S T S = S −1 S = E .

Таким образом, построен базис, в котором квадратичный функционал Φ(x) имеет канонический вид, а функционал

Ψ(x) – диагональный.

Взаключение отметим, что матрица перехода к искомому орто- нормированному базису есть произведение матрицы перехода, при котором знакоопределенный квадратичный функционал приводится к

каноническому виду, и ортогональной матрицы S .

Задача Найти замену переменных, приводящую квадратичные

12.1.2.функционалы

Φ(x) = ξ12 + 2ξ1ξ2 + 3ξ22 и Ψ(x) = 4ξ12 + 16ξ1ξ2 + 6ξ22

соответственно к каноническому и диагональному виду.

заключаем, что Φ(x) – положительно определенный квадра-

тичный функционал, в то время как функционал Ψ(x) не яв-

ляется знакоопределенным.

2°. Приведем положительно определенный квадратичный функ- ционал Φ(x) к каноническому виду методом Лагранжа. По-

скольку

Φ(x) = ξ12 + 2ξ1ξ2 + 3ξ22 = (ξ1 + ξ2 )2 + 2ξ22 ,