Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 5542 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Глава 11 . Унитарное пространство

409

$	+	:	Эрмитово сопряженный оператор
Сопряженный оператор A		:	Эрмитово сопряженный оператор
			$	+	:
			A		:

b) a, b E

= a

ˆ +

a, b U .

( Aa, b) = (a, A

E n

сопряженный

оператор

U n

эрмитово

сопряженный

имеет матрицу

оператор имеет матрицу

ˆ +

−1

ˆ +

−1

Самосопряженный оператор:

Эрмитово самосопряженный (эр-

a, b E

митов) оператор:

= a

a, b U

( Aa, b) = (a, Ab)

Симметрическая матрица:

Эрмитова матрица:

T =

ортонормированном

базисе в

ортонормированном

базисе в

E n самосопряженный оператор

U n эрмитов оператор имеет эр-

имеет симметрическую матрицу

митову матрицу

Из собственных векторов само-

Из собственных векторов эрмито-

сопряженного оператора в E n

ва оператора в U n

можно обра-

можно образовать ортонормиро-

зовать ортонормированный базис

ванный базис

В таблице 11.3.1 приведены некоторые понятия и свойства евкли- дова и унитарного пространств таким образом, чтобы облегчить их сравнительное сопоставление.

410	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

§11.4. Эрмитовы функционалы. Среднее значение

идисперсия эрмитова оператора

Как и в любом линейном пространстве, в унитарном пространстве можно ввести билинейные и квадратичные функционалы. Например, в унитарном пространстве непрерывных комплекснозначных на [α,β]

функций ψ(τ) билинейным по						и ψ(τ)
				ϕ(τ)			функционалом являет-
ся выражение
B(		, ψ(τ)) = ∫∫			K (σ, τ) ψ(τ) dσdτ .
	ϕ(τ)		ϕ(σ)
		Ω
	Квадратичный функционал вида Φ(x) = x							ˆ
Определение

11.4.1.								Ax , где
	x U , а линейный оператор						$		называ-

							A – эрмитов,

ется эрмитовым функционалом (или эрмитовой фор-

мой) в унитарном пространстве U .

Определение

11.4.2.

Замечания. 1°.

Число Aˆ a = a Aˆ a называется средним значением

эрмитова оператора $ по a – нормированному эле-

менту из унитарного пространства.


Если a – нормированный (то есть с	a	=	a	a = 1 )
собственный вектор эрмитова оператора			$
собственный вектор эрмитова оператора			A с соот-

ветствующим собственным значением λ , то Aˆ a = λ ,

поскольку в этом случае

Aˆ a = a Aˆ a = a λa = λa a = λ .

2°. Среднее значение эрмитова оператора, заданного в унитарном пространстве, вещественно. Пусть

$ + = $ , тогда

A A

Глава 11 . Унитарное пространство

411

a =

ˆ +

= a

a ,

Aa =

но если некоторое число равно своему комплексному

сопряжению, то оно вещественно.

3°. Если принять, что оператор умножения на константу

κ есть

единичный оператор, то

κˆ = κ E , где

E –

имеет место соотношение

= 0 . Действи-

A − Aa

тельно,

= a

−

A − Aa

( A −

Aa )a =

Aa a =

a = 0 .

= ( Aa −

Aa ) a

Определение

Число

называется

дисперсией

( A − Aa )

11.4.3.

эрмитова оператора

A по нормированному элемен-

ту унитарного пространства a.

Отметим следующие свойства дисперсии.

Теорема Дисперсия

эрмитова оператора A , действующе-

11.4.1.

го в унитарном пространстве, есть вещественное не-

отрицательное число, для которого справедливо ра-

венство

( A)

a − ( Aa )

==a

Доказательство.

Покажем вначале, что число

вещественное и неотрица-

тельное.

Оператор

очевидно,

эрмитов,

поскольку

A −

a ,

эрмитовыми являются операторы $ (по условию теоремы) и

Aˆ a (как оператор умножения на константу).

	412	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
		Тогда
		Тогда

= a

)

= a

)a =

- A

)(A - A

)

)a =

(A - A

- A

)a ³ 0.

(A -

(A - A

С другой стороны, исходя из определения 11.4.2, получим

)

= a

)

A =

(A - A

)

((A)

- 2 A A

+ ( A

a =

(A)

2 A a

Aa +

( A )

)

= (A)

- 2 A A

+ ( A

=(A)

- ( A

)

Теорема доказана.

Теорема

Для эрмитова оператора

A , действующего в унитар-

11.4.2.ном пространстве, дисперсия, взятая по его нормиро- ванному собственному вектору, равняется нулю.

Доказательство.

= la ,

тогда

Пусть Aa

( A)

- (

a )

= a

( A)

==a

A( Aa) -

= a A(la) - a la

= a lAa - a la

Глава 11 . Унитарное пространство

413

= la la - l2 a a 2 = l2 a a - l2 a a 2 = = l2 - l2 = 0 ,

поскольку a a = 1.

Теорема доказана.

§ 11.5. Соотношение неопределенностей

Для эрмитовых операторов, действующих в унитарном простран- стве, справедлива

Теорема

11.5.1 (cоотношение неопределенностей).

Для двух эрмитовых операторов $ и $ задан

A B , -

ных в унитарном пространстве, имеет место со- отношение

ˆ		ˆ			1	ˆ ˆ ˆ ˆ		2

A	a	B	a	³	4	AB - BA	a	.

Доказательство.

ˆ ˆ

1°. Рассмотрим оператор Q =

( A

- A ) + t(B - B ) i (где τ –

некоторый вещественный параметр), для которого эрмитово

сопряженным будет оператор вида

( A -

A ) - t(B - B ) i ,

оператора:

ибо

эрмитовыми

являются следующие

четыре

. Заметим также,

+ ˆ

A ,

, B , B

что оператор Q Q – эрми-

тов и что

ˆ +

доказатель-

Q Qa

= Qa

³ 0 "Q . (См.

ство теоремы 10.8.2, пункт 1°.)

414 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

$ + $	$ $		$ $
2°. Выразим оператор Q Q через операторы	A , A		, B , B ,
		a		a

получим

Qˆ + Qˆ = (( Aˆ - Aˆ a ) - t(Bˆ - Bˆ a )i)(( Aˆ - Aˆ a ) +

+t(Bˆ - Bˆ a )i) =

=( Aˆ - Aˆ a )2 + t2 (Bˆ - Bˆ a )2 +

+ t(( Aˆ - Aˆ a )(Bˆ - Bˆ a ) - (Bˆ - Bˆ a )( Aˆ - Aˆ a ))i = = ( Aˆ - Aˆ a )2 + t2 (Bˆ - Bˆ a )2 + t(Aˆ Bˆ - Bˆ Aˆ )i.

3°. Обозначим Cˆ = -( Aˆ Bˆ - Bˆ Aˆ ) i , причем отметим, что из пре-

дыдущего равенства следует эрмитовость оператора ˆ как

линейной комбинации эрмитовых операторов. Подсчитаем

теперь среднее значение эрмитова оператора ˆ + ˆ :

Q Q

ˆ + ˆ

+ t

ˆ ˆ ˆ ˆ

Q Q

= A

t( AB - BA)ia

= t

+ A .

B - tC

$ + $

Полученное значение Q Q есть вещественный квадратный a

трехчлен относительно τ , который должен быть неотрица- тельным при любом τ . Отсюда следует, что его дискрими- нант не положителен, то есть

$	)	2	-	$		$	£ 0 ,
( C	)		-	4 A		B	£ 0 ,
	a				a		a
	a

или окончательно

$		$		³	1
A		B
A		B			4
	a		a

$ $ $ $		2

		.
AB- BA
	a

Теорема доказана.

Глава 12 . Прикладные задачи линейной алгебры

415

Глава 12

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

В данной главе рассматриваются некоторые классы задач, имею- щие важное значение в прикладных разделах математики, таких, как математическая физика, теория оптимального управления, математи- ческая экономика, вычислительная математика и т.д., причем общим для этих задач является использование в процессе их решения поня- тий и методов различных разделов линейной алгебры.

§12.1. Приведение квадратичных функционалов

кдиагональному виду

Задача отыскания базиса, в котором квадратичный функционал имеет диагональный или канонический вид, достаточно часто встре- чается в различных приложениях механики, физики, теории опти- мального управления.

Приведение к диагональному виду квадратичного функционала, заданного в ортонормированном базисе

Пусть в ортонормированном базисе {e1 , e2 ,..., en } евклидова про-

странства	E n		задан некоторый квадратичный функционал		Φ(x).
Рассмотрим		задачу отыскания в E n		ортонормированного	базиса
{e′, e′ ,..., e′		} ,	в котором функционал	Φ(x) имеет диагональный
1 2	n

вид.

416	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Принципиальная разрешимость подобной задачи для неортонор- мированного базиса следует из теоремы 9.2.1. Очевидно, что такой базис не единственный, и потому представляется интересным иссле-

дование возможности построения в E n ортонормированного базиса, в котором данный квадратичный функционал Φ(x) имеет диаго-

нальный вид.

Напомним предварительно (см. § 9.2), что квадратичный функцио-

нал в Λn может быть задан формулой

Φ(x) = ∑∑ϕki ξk ξi =

g ,

k =1 i=1

в которой симметрическая матрица

преобразуется при перехо-

де от базиса {g

, g

,..., g

} к базису {g ′

, g ′

,..., g ′ } по правилу

Φ g′ = S T Φ g S .

При доказательстве теоремы 9.2.1 использовалась математическая индукция в сочетании с методом выделения полных квадратов (назы- ваемым иногда методом Лагранжа), применение которого на практи- ке может потребовать значительных затрат вычислительных ресурсов. Существенно более эффективным оказывается алгоритм, основой ко- торого является

Теорема Для всякого квадратичного функционала, заданного в

12.1.1.ортонормированном базисе, существует ортонормиро-

ванный базис, в котором этот функционал имеет диа- гональный вид16.

16 Иногда задачу отыскания ортонормированного базиса, в котором квадра- тичный функционал имеет диагональный вид, называют “ приведением квад- ратичного функционала к диагональному виду при помощи ортогональной матрицы перехода”.

Глава 12 . Прикладные задачи линейной алгебры

417

Доказательство.

1°. Как было показано в § 9.2, матрица квадратичного функцио- нала Φ(x) изменяется по правилу

σij

e′

где

– матрица перехода от базиса {e1 , e2 ,..., en }

к базису {e

′, e′

,..., e′

} , то есть

1 2

	′	n
	′	= ∑σsk es , k = [1, n] ,
	ek	= ∑σsk es , k = [1, n] ,

s=1

а Φ e – симметрическая матрица билинейного функциона-

ла, порождающего квадратичный функционал Φ(x) .

2°.

Поскольку матрица перехода

от одного ортонормиро-

ванного базиса к другому ортогональная (§ 10.4), то для нее

справедливо равенство

−1 =

T . Откуда вытекает, что

в рассматриваемом нами случае

e′

−1

3°.

e в ортонормиро-

Формально симметрическая матрица

ванном базисе {e1 , e2 ,..., en } определяет самосопряженный

оператор

(лемма 10.7.1)

Фˆ ,

матрица которого в базисе

{e′, e′ ,..., e′ } находится по формуле (теорема 8.3.2)

1 2

−1

e′

4°. Совпадение формул изменения матриц квадратичного функ- ционала и самосопряженного оператора при переходе от од- ного ортонормированного базиса к другому позволяет ис-

′	′	′	} –	ортонормиро-
пользовать в качестве базиса {e1	, e2	,..., en	} –	ортонормиро-

ванный базис из собственных векторов оператора Φˆ .

418		Аналитическая геометрия и линейная алгебра
	Этот базис существует (см. теорему 10.7.1) и в нем матрица
	Этот базис существует (см. теорему 10.7.1) и в нем матрица
	оператора	ˆ	и матрица квадратичного функцио-
	оператора	Φ (а значит,	и матрица квадратичного функцио-
	нала Φ(x) ) имеет диагональный вид, причем на главной
	диагонали	расположены	собственные значения самосопря-
		ˆ
	женного оператора Φ .

Теорема доказана.

Заметим, что утверждение теоремы 12.1.1 согласуется с утвержде- нием следствия 10.7.4.

	Определение	ˆ
	Определение	Линейный самосопряженный оператор Φ называется
	12.1.1.	присоединенным к квадратичному функционалу
		Φ(x) в E n .

При этом очевидно выполнение равенства

Φ(x) = (x, Φˆ x) ; x E n .

		ˆ
Определение	Функционал ρ(x) =	(x, Ax)	, заданный	в E n для
Определение	Функционал ρ(x) =		, заданный	в E n для
12.1.2.		(x, x)
	некоторого самосопряженного оператора			$
	некоторого самосопряженного оператора			A , называ-
	ется отношением Релея.

Используя теорему 12.1.1, можно упростить процедуру оценки экс- тремальных значений квадратичного функционала. В качестве приме- ра рассмотрим задачу нахождения максимума и минимума ρ(x) .

Следствие

В ортонормированном базисе максимальное (ми-

12.1.1.нимальное) значение ρ(x) равно максимальному

(минимальному) собственному значению операто-

ра $ и это значение достигается на соответст

A , -

вующем собственном векторе этого оператора.

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 5542 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб18МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб3Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб6Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб25МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб42МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
01.03.202581.41 Кб0МХК-2010.doc
#
03.06.20153.67 Mб22Наноолимпиада физика.pdf
#
01.07.2025260.61 Кб0Написание сочинения ЕГЭ-11.doc
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб13Национальный манифест.pdf