Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 5541 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>

Глава 10 . Евклидово пространство												399

	1		−	2	2		1			2	2		−	1
										2	2
				3	3
=	3			3	3		3		=		3	3			,
=									=						,

		2		1	−	1		2			1		2 2
	3				−		3				3	3
	3			3	3		3				3	3

которая в исходном ортонормированном базисе ортогональная.

$	$ −1	$
3°. Поскольку R = Q		A , то

	ˆ			0 =				ˆ −1				0			ˆ			0 =			ˆ		−1				ˆ				0	=			ˆ		T				ˆ			0	=
	ˆ							ˆ −1							ˆ						ˆ		−1				ˆ								ˆ		T				ˆ
	R	e						Q			e				A		e				Q		e		0		A			e				Q			e	0			A		e
		e									e						e						e							e							e						e

						2		2				1																				4				−			2
																						− 1
								3				3																				3							3
				=				3				3							2								=					3							3			,
																			2
																			0					2

							−		1				2 2																	−		2							5
									1				2 2																			2							5

													3																			3							3
								3					3																			3							3
и, следовательно, искомое полярное разложение имеет вид

																				2	2						−	1						4						−		2
																											−													−
	ˆ				0 =			ˆ				0		ˆ			0 =				3					3								3								3				.
																					3					3								3								3

	A		e					Q					R			e
										e
										e											1					2			2				−	2								5
																					1					2			2					2								5

																					3					3								3								3
																					3					3								3								3

400	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Глава 11

УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

§ 11.1. Определение унитарного пространства

Определение

Пусть в комплексном линейном пространстве U

11.1.1.каждой упорядоченной паре элементов a и b по-

ставлено в соответствие комплексное15 число a b ,

называемое их скалярным произведением, так, что выполнены аксиомы:

1°.

= b

a ;

2°.

λ a

b =

b ;

3°.

a1 + a2

b = a1

b + a2

b ;

4°.

– вещественное неотрица-

тельное число, причем

a a = 0 a = o ,

тогда говорят, что задано унитарное пространство.

Для обозначения скалярного произведения в унитарном простран- стве используются не круглые скобки, принятые в евклидовом про- странстве, а скобки типа “ брэкет”.

Замечание: вид аксиомы 1° позволяет избежать проблемы, которая возникает в случае использования евклидовского прави- ла коммутативности скалярного произведения для ком- плексных линейных пространств.

15 Определение и основные свойства комплексных чисел приводятся в при- ложении 3.

Глава 11 . Унитарное пространство

401

Действительно, если принять, что a b = b a , то

a λb = λ a b , и очевидно, что при некотором нену-

левом a и λ = i :

ia ia = (i)(i) a a = (−i)2 a a = i 2 a a = −a a ,

но тогда либо ia ia , либо a a не положительно и аксиома 4° не будет справедливой.

В случае же равенства a b = b a вынос λ из вто-

рого сомножителя скалярного произведения выполняет- ся иначе:

a λb = λb a = λb a = λ b a = λa b ,

поскольку λ = λ , что в рассматриваемом примере при- водит к равенству

ia = ii a

= a

a ,

которое согласуется с аксиомой 4°.

Пример 1°. Пространство n-мерных столбцов

11.1.1.

ξ1

η1

a =

ξ2

;

b =

η2

, где ξ

, η

; i = [1, n]

...

ξn

ηn

– комплексные числа,

со скалярным произведением,

определяемым по формуле a b = ∑ξi ηi , является

i=1

унитарным.

402	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
2°.	Унитарным будет пространство непрерывных на
	[α,β] комплекснозначных функций вещественного ар-

гумента со скалярным произведением

a b= ∫ a(t)b(t)dt .

В унитарных пространствах, как правило, существуют аналоги оп- ределений и теорем, справедливых для евклидова пространства. На- пример, неравенство Коши– Буняковского имеет вид

a ab b ³ a bb a .

Действительно,

a ab b ³ a b 2 = a ba b = a bb a a, b U .

В конечномерном унитарном пространстве U n базис

{g1, g2 ,..., gn} при необходимости может быть ортогонализирован

по схеме Грама– Шмидта. Выражение для скалярного произведения в координатах аналогично соответствующей формуле в евклидовом пространстве:

η1

b =

η2

ηn

g 2

K g1

g n

η1

g 2

K g 2

g n

η2

ξ1

ξ2

ξn

K K

g n

g 2

K g n

g n

ηn

Глава 11 . Унитарное пространство

403

где

– базисная матрица Грама в унитарном пространстве U n .

Заметим, что поскольку

g j

gi , то имеет место равенст-

во

Определение

Матрица

удовлетворяющая

соотношению

11.1.2.

T =

, называется эрмитовой.

Матрица

удовлетворяющая

соотношениям

T =

называется уни-

тарной.

Определитель унитарной матрицы есть комплексное число, модуль которого равен единице. Действительно,

det ( A T A ) = det A T det A = det A det A =

=det A 2 = det E = 1 .

§11.2. Линейные операторы в унитарном пространстве

Для унитарного пространства справедливы определения, введен- ные для линейных операторов в главе 10.

В данном параграфе будут рассмотрены лишь специфические осо- бенности линейных операторов, действующих в унитарном простран- стве.

404 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Определение Линейный оператор $ , действующий в унитарном

11.2.1.пространстве U , называется унитарным (или изо-

метрическим), если a, b U имеет место равенст- во

Aˆ a Aˆ b = a b .

Замечание: унитарный линейный оператор, действующий в конеч-

номерном унитарном пространстве U n , в ортонорми- рованном базисе имеет унитарную матрицу.

Определение Линейный оператор $ + , действующий в унитарном

11.2.2.пространстве U , называется эрмитово сопряженным

$				a, b U имеет ме-
линейному оператору A , если
сто равенство		= a		ˆ +
ˆ	b				b .

Aa			A
Теорема Для линейных операторов		$		$
		A и		B , действующих в

11.2.1.унитарном пространстве U , справедливы соотноше-

$ $	+	$	+ $ +	ˆ	+	ˆ +	.
ния: ( AB)		= B	A	и (λA)		= λA	.

Доказательство.

Докажем первое соотношение. Имеем

ˆ ˆ

b =

ˆ +

= a

ˆ +

a, b U .

( AB)a

B A

Откуда получаем по определению 11.2.2, что

$ $

+ $ +

( AB)

= B

Аналогично

(λAˆ )a b = λ Aˆ a b = λa Aˆ + b =a λAˆ + b a, b U

для любого комплексного числа λ .

Теорема доказана.

Глава 11 . Унитарное пространство

405

Для эрмитовски сопряженных операторов, действующих в конеч-

номерном пространстве U n , имеет место
Теорема			$	+	, эрмитово сопряженного опе-
Теорема	Матрица оператора A				, эрмитово сопряженного опе-
11.2.2.	$	n	, в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } определяется
	ратору A в U		, в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } определяется
	соотношением

−1

доказательство которой аналогично выводу формулы (10.6.1) для евк- лидова пространства.

§ 11.3. Эрмитовы операторы

Определение Линейный оператор $ , действующий в унитарном

11.3.1.пространстве, называется эрмитово самосопряжен-

ным (или просто эрмитовым), если	$	$ +	.
	A = A
Замечание: эрмитов оператор, действующий	в	конечномерном

унитарном пространстве U n , обладает свойствами, аналогичными свойствам самосопряженного опера-

тора в евклидовом пространстве E n . В частности:

1°. Собственные значения эрмитова оператора вещественны.

2°. Собственные векторы, отвечающие различ- ным собственным значениям эрмитова опе- ратора, ортогональны.

3°. Для каждого эрмитова оператора существует ортонормированный базис, состоящий из его собственных векторов.

406	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
	4°. В любом ортонормированном базисе унитар-
	ного пространства U n эрмитов оператор
	имеет эрмитову матрицу.
Определение	$
Определение	Собственное значение λ линейного оператора A

11.3.2.называется вырожденным, если отвечающее ему ин- вариантное собственное подпространство имеет раз- мерность больше единицы.

Приведем формулировки и обоснование наиболее важных свойств эрмитовых операторов.

Теорема Два эрмитовых оператора $ и $ имеют общую сис

A B -

11.3.1.тему собственных векторов тогда и только тогда, ко-

ˆ ˆ = ˆ ˆ

гда AB BA , то есть когда эти операторы коммути- руют.

Доказательство.

Докажем необходимость. Пусть Aˆ a = λa и Bˆ a = μa , тогда

Bˆ Aˆ a = λBˆ a = λμa,

ˆ	ˆ	ˆ
ABa = μAa = λμa,
и, вычитая почленно,		$ $ $ $	По-
	получим, что ( AB − BA)a = o .

скольку a – произвольный собственный вектор, то данное соот- ношение верно и для всей совокупности собственных векторов, а значит, и для любого элемента унитарного пространства, так как из собственных векторов можно образовать базис. Поэтому

$ $ − $ $ = $

AB BA O .

Докажем достаточность. Пусть эрмитовы операторы $ и $

A B

коммутируют и пусть, кроме того, ˆ = λ . Рассмотрим слу-

чай лишь невырожденных собственных значений, то есть слу- чай, когда все собственные значения различны.

	Глава 11 . Унитарное пространство						407
	Покажем теперь,		что	элемент		унитарного пространства
	Покажем теперь,		что	элемент		унитарного пространства
$							$
	b = Ba является собственным вектором оператора A . Дейст-
	вительно, в силу	$ $		$ $
	вительно, в силу	AB = BA
	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ		ˆ
	Ab = ABa = BAa =				Bλa = λBa = λb .
						$
	Поскольку все собственные значения A кратности единица, то
	λ есть его собственное значение,					отвечающее a и b одновре-
						$	ˆ
	менно. Поэтому b = κa и в силу b = Ba						Ba = κa . То есть a
					$
	– собственный вектор оператора B .

Теорема доказана.

Теорема Если эрмитов оператор $ коммутирует с каждым

11.3.2из двух некоммутирующих между собой эрмитовых

(о вырож-	ˆ	ˆ
дении).	операторов B	и C , то все собственные значения
	$
	оператора A вырожденные.

Доказательство.

Пусть Λ – линейная оболочка элемента f – является одномер- ным инвариантным собственным подпространством оператора

$
A , отвечающим его собственному значению λ кратности еди-
ница. То есть предположим, что dim Λ = 1 .
		$	$
Из коммутируемости операторов A и			B (по теореме 11.3.1)
ˆ			$	$
имеем, что B f	= μ f , а из коммутируемости A и			C следует,
ˆ		ˆ
что C f = κ f . Но тогда в силу		A f = λ f справедливы равен-
ства		CBA f = λμκ f ,
AB f = BA f = λμ f ,		CBA f = λμκ f ,
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ ˆ
AC f = CA f = λκ f ,		BCA f = λμκ f ,
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ ˆ
CB(λ f ) = μκ(λ f ) и BC(λ f ) = μκ(λ f ).
ˆ ˆ		ˆ ˆ

	408		Аналитическая геометрия и линейная алгебра
			Вычитая эти равенства почленно, получаем, что
			Вычитая эти равенства почленно, получаем, что

ˆ ˆ

(BC − CB)(λ f ) = o f Λ

$ $

то есть BC − CB

= O и операторы B

и C коммутируют. Но

последнее утверждение противоречит условию теоремы, и, сле-

довательно, необходимо допустить существование более чем

одного линейно независимого элемента в Λ .

Теорема доказана.

Таблица 11.3.1

Евклидово пространство

Унитарное пространство

Правило выноса константы

из

Правило

выноса

константы

из

первого сомножителя в скаляр-

первого сомножителя в скалярном

ном произведении:

произведении:

(λa, b) = λ(a, b)

λa

b =

Ортогональный оператор A :

Унитарный оператор A :

a, b E

= a

a, b U

( Aa, Ab) = (a, b)

Ортогональная матрица:

Унитарная матрица:

В ортонормированном базисе в

В ортонормированном базисе

E n

ортогональный оператор

U n

унитарный оператор имеет

имеет ортогональную матрицу

унитарную матрицу

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 5541 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб18МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб3Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб6Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб25МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб42МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
01.03.202581.41 Кб0МХК-2010.doc
#
03.06.20153.67 Mб22Наноолимпиада физика.pdf
#
01.07.2025260.61 Кб0Написание сочинения ЕГЭ-11.doc
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб13Национальный манифест.pdf