Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5540 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Глава 10 . Евклидово пространство

389

Следствие	$	E	n	имеет	n попарно
	Если линейный оператор R в

10.7.4.ортогональных собственных векторов, то он само- сопряженный.

Доказательство.

Пронормируем собственные векторы оператора $ и примем их

за ортонормированный базис, в котором матрица этого линей-

ного оператора	$
	R

диагональная и, следовательно, симмет-

рическая. Тогда в силу леммы 10.7.1 линейный оператор $ са-

мосопряженный.

Следствие доказано.

Следствие

Если

симметрическая матрица, то существу-

10.7.5.

такая, что матри-

ет ортогональная матрица

ца

−1

диагональная.

Доказательство.

В ортонормированном

базисе

симметрическая

матрица

определяет самосопряженный оператор в E n , поэтому в каче-

стве искомой матрицы

можно выбрать матрицу перехо-

да от данного ортонормированного базиса к ортонормирован- ному базису, образованному собственными векторами этого оператора по схеме, использованной в доказательстве теоремы

10.7.1.

Следствие доказано.

390 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Теорема		Два самосопряженных оператора					$	$
Теорема		Два самосопряженных оператора					A и	B имеют об-
10.7.2.		щую систему		собственных векторов в				E n тогда и
		только тогда,		ˆ ˆ	ˆ ˆ
		только тогда,		когда AB = BA .
	Доказательство.
	Доказательство.
	Докажем необходимость.
		ˆ	ˆ
	Пусть Aa = λa и Ba = μa , тогда
		BAa = λBa = λμa ;			ABa = μAa = λμa ,
		ˆ ˆ	ˆ		ˆ ˆ		ˆ
					ˆ ˆ		ˆ ˆ	= o . Посколь-
	и, вычитая почленно, получим, что ( AB − BA) a							= o . Посколь-
	ку a –	произвольный собственный вектор,					то данное соотноше-
	ние верно и для всей совокупности собственных векторов, а зна-
	чит, и для любого элемента в E n , так как из собственных векто-
	ров можно образовать базис. Поэтому					$ $	$ $	$
	ров можно образовать базис. Поэтому					AB − BA = O .
	Докажем достаточность.
	Пусть	самосопряженные операторы				$	$
	Пусть	самосопряженные операторы				A и	B коммутируют и
	пусть, кроме того,		ˆ
	пусть, кроме того,		Aa = λa . Рассмотрим здесь лишь случай, ко-
						$
	гда все собственные значения оператора A различны.
								$
	Покажем, что элемент евклидова пространства b = Ba является
					$
	собственным вектором оператора A . Действительно, в силу
$ $		$ $
	AB =	BA имеем
		ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ		ˆ
		Ab =	ABa = BAa =		Bλa = λBa = λb .
	Поскольку все собственные значения					$
	Поскольку все собственные значения					A кратности единица, то
	λ есть его собственное значение, отвечающее a и b одновре-
	менно. Поэтому b = κa и, поскольку b =						$	ˆ
	менно. Поэтому b = κa и, поскольку b =						Ba , также Ba = κa .
							$
	Значит, a – собственный вектор оператора B .

Теорема доказана.

Глава 10 . Евклидово пространство				391
§ 10.8. Ортогональные операторы

Определение			$
Определение	Линейный оператор Q , действующий в евклидовом
10.8.1.	пространстве	E ,	называется ортогональным (или
	пространстве	E ,	называется ортогональным (или
	изометрическим),		если x, y E	имеет место ра-
	$	$	= ( x, y) .
	венство (Qx,Qy)		= ( x, y) .

Из определения 10.8.1 следует, что ортогональный оператор со- храняет нормы элементов и величины углов между ними.

Действительно,

= (x, x) =

;

(Qx, Qx)

(x, y)

cos ψ =

(Qx, Qy)

= cos ϕ ; x, y E,

где ϕ –	величина угла между элементами x и y , а ψ – величина угла
	$	$
между элементами Qx		и Qy .
Теорема		$
	Если ортогональный оператор Q имеет сопряженный

10.8.1.оператор, то он имеет и обратный оператор, причем

$ −1 = $ +

Q Q .

Доказательство.

По определению 10.8.1 x, y E		$	$		откуда
По определению 10.8.1 x, y E		(Qx,Qy) = ( x, y) ,			откуда
следует, что
$ + $		$	+ $	$
( x,Q Qy) = ( x, y) или	( x,(Q Q − E ) y) = 0 .
Последнее равенство в силу леммы 10.6.1 означает, что
$ + $	$	$
Q Q − E = O .

392 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

	$ + $	$ $	$ + $	$
	Из равенства Q Q − E = O		вытекает, что Q Q = E . Тогда

ˆ + ˆ	ˆ +	ˆ ˆ	+	, а в силу того, что единичный оператор ком-
Q Q Q		= E Q		, а в силу того, что единичный оператор ком-
мутирует										ˆ + ˆ ˆ +	ˆ + ˆ
мутирует		с любым другим, получаем Q Q Q									= Q E или
$ $ +		$
QQ	= E . Наконец, по определению 8.2.8 приходим к
						$	−1		$ +	.
						Q		= Q		.
Теорема доказана.
Следствие				ˆ	+	и	ˆ	−1	также ортогональные.
Следствие		Операторы Q				и	Q		также ортогональные.
10.8.1.
Теорема		Матрица ортогонального оператора в									E n в каж-

10.8.2.дом ортонормированном базисе ортогональная.

Доказательство.

Пусть оператор $ ортогональный. Тогда

$ −1	$	+	по теореме 10.8.1	и в силу § 8.3
Q	= Q		по теореме 10.8.1	и в силу § 8.3

рованном базисе справедливы равенства

из соотношения

(4°) в ортонорми-

−1

$ +

−1

Но тогда

, что и означает, согласно определе-

нию 5.1.4, ортогональность матрицы		$	.
		Q
			e

Теорема доказана.
Признак ортогональности линейного оператора в E n дает
Теорема	Для того чтобы линейный оператор в E n был ор-

10.8.3.тогональным, достаточно, чтобы его матрица бы- ла ортогональной в некотором ортонормирован- ном базисе.

		Глава 10 . Евклидово пространство	393
		Доказательство.
		Доказательство.

1º.Пусть у линейного оператора $ в некотором ортонормиро-

ванном базисе

−1

. Тогда

"x, y Î E

(Qx,Qy) =

Q y

e = (

e )

e =

−1

e =

e = (x, y).

То есть условие ортогональности выполнено в

{e1 , e2 ,... , en } .

′

−

некоторому другому ор-

2º. Перейдем теперь к {e1

, e2

,..., en }

тонормированному базису и убедимся, что условие ортого-

нальности при этом переходе не нарушится. Действительно, в

силу ортогональности матрицы перехода

связывающей

два ортонормированных базиса, имеем

−1

e′ = (

)

= (

)

(

−1

= (

)

e′ .

Теорема доказана.

В ряде приложений оказывается полезной

Теорема

10.8.4 (о полярном

разложении).

$	E	n	с det	ˆ	¹ 0
Любой линейный оператор A в				A

может быть единственным образом представлен в

$ $ $	$
виде A = QR , где оператор	Q ортогональный, а

оператор $ самосопряженный и имеющий по

R – -

ложительные собственные значения.

394

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Доказательство.

1°.

Покажем

вначале, что

самосопряженный

оператор

$ + $

пример 10.7.1) имеет только положительные собст-

A A (см.

венные значения. Действительно, пусть

+ ˆ

= λ f , тогда, с

A f

одной стороны,

+ ˆ

при f

¹ o , а с

A f , f ) = (A f , A f ) > 0

другой

–

ˆ + ˆ

= (λ f , f ) = λ( f , f ) ,

то

есть

( A

A f , f )

= λ( f , f ) . Но тогда все l > 0 в силу определения

( A f , A f )

скалярного произведения,

поскольку из допущения

= o

A f

при f

¹ o следует, что

= 0 f

det

= 0 .

A f

2°.

Пусть {e1 , e2 ,...,en } – ортонормированный базис, состоящий

из собственных векторов оператора

A . Рассмотрим множе-

ство элементов

; i = [1, n] , для которых

Aei

) =

) = λ i (ei , e j ) = λ i δij ;i, j = [1, n] .

( Aei , Ae j

( A

Aei , e j

Но это означает, что e′ =

; i = [1, n] –

также ба-

зис и притом ортонормированный.

3°.

Примем за искомый ортогональный оператор Q оператор, пе-

реводящий ортонормированный базис {e1 , e2 ,...,en } в орто-

нормированный базис {e′, e′

,..., e′

} ,

и убедимся, что в каче-

−1

стве R можно взять оператор Q

A .

Действительно, во-первых,

имеет место равенство

$ $

A = QR .

Во-вторых, из соотношений

ei′ =

ˆ −1

−1

λ i

λ i ei ;i = [1, n]

Rei

= Q

Aei = Q

		Глава 10 . Евклидово пространство	395
		следует, что базисные элементы	ei , i = [1, n] суть собствен-

ные векторы оператора $ , отвечающие положительным собст-


венным значениям λi , а значит, матрица	$	в базисе
венным значениям λi , а значит, матрица	R	в базисе
		e
		e

{e1 , e2 ,...,en } диагональная и потому симметрическая. Тогда

в силу леммы 10.7.1 оператор $ самосопряженный.

4°. Покажем, наконец, единственность разложения. Во введенных

обозначениях справедливо равенство							$ +	$	$	2	, поскольку из
обозначениях справедливо равенство							A A =		R		, поскольку из
$ $ $	$ +	$	+ $	+	следует, что
A = QR и	A	= R Q			следует, что
	$ +	$	$ +	$	+ $ $	$ + $	−1 $	$	$	+ $
	A A = R Q QR =					R Q QR =			R R ,
					$	$ + $		$ 2	.
то в силу самосопряженности R						A A = R			.

Предположим, что существуют два различных самосопряжен-


$	и	$		с положительными собственными зна-
ных оператора R1	и	R2		с положительными собственными зна-
чениями, такие, что		$	+ $		$ 2	$ + $	$ 2	$ 2	$ 2	$
чениями, такие, что		A A = R1 ;				A A = R2		и R1	− R2	= O .
$	и	$		по построению (см.				2°) имеют общую
Заметим, что R1	и	R2		по построению (см.				2°) имеют общую

систему собственных векторов, а потому они коммутируют. Но тогда, согласно § 8.2, справедливы равенства

ˆ 2	ˆ 2	=	ˆ 2	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ 2	=
R1	− R2	=	R1	− R1	R2 + R2		R1 − R2		=
		=	ˆ	ˆ	ˆ		ˆ	ˆ
		=	(R1	− R2 )(R1		+ R2 )		= O .
					$	и	$	в силу теоремы
Из невырожденности и линейности R1						и	R2	в силу теоремы
8.6.8 оператор	$	$	также невырожденный и поэтому из
8.6.8 оператор	R1 + R2		также невырожденный и поэтому из
$	$	$		$	$			$	$	$
равенства (R1	− R2 )( R1 + R2 )				= O следует			R1	− R2	= O .
Таким образом,	$	самосопряженный оператор, определяе-
Таким образом,	R –	самосопряженный оператор, определяе-
$				ˆ	ˆ ˆ −1	и, значит, также опре-
мый по A однозначно. Но Q =					AR	и, значит, также опре-
деляется однозначно по			$
деляется однозначно по			A .

Теорема доказана.

396 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Замечания. 1°. Теорема о полярном разложении является обобще- нием теоремы 5.5.2 о возможности представления аффинного преобразования плоскости в виде про- изведения двух операторов, первый из которых ор- тогональный, а второй – сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям, матрица которо- го диагональная.

Задача

10.8.1.

2°.

В случае вырожденного оператора

A разложение,

аналогичное указанному в теореме 10.8.2, с неотри-

цательными собственными значениями самосопря-

но не единст-

женного оператора R существует,

венно.

В некотором ортонормированном базисе в

E 2 линейный

− 1

0 =

оператор A имеет матрицу

. Найти

его полярное разложение.

Решение.

1°. Выполним искомое разложение по схеме,

использованной в

доказательстве теоремы 10.8.2. Матрица оператора

+ $

A A в ис-

ходном (стандартном)

ортонормированном

базисе

{e0

, e0 }

имеет вид

+ ˆ

ˆ +

0 =

A A

−

2 0

− 1

−

Глава 10 . Евклидово пространство	397
Собственные значения и собственные векторы этого оператора
равны соответственно

															0 =	−	1
λ	1	= 1 ; λ	2	= 4 ;	f	1		0 =		2	;	f	2					,
										2

							e		1					e		2
									1							2

поэтому (сохраняя обозначения, использованные в доказатель- стве теоремы 10.8.2) получим координатные представления в

{e0	, e0	} для элементов, образующих ортонормированные ба-
1	2
зисы {e1 , e2 } :
															1
							2							−	1


			e	=	f1		3	;	e	2	=	f 2	=		3	,
							3								3
						=



			1		f1		1					f 2
															2
															2

							3								3