Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5539 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Глава 10 . Евклидово пространство				379
	+∞	dy(τ)	ˆ +
		dy(τ)	ˆ +
=	∫ x(τ)(−	dτ	)dτ = (x, A	y) .
	−∞	dτ
	−∞

Рассмотрим теперь конечномерное евклидово пространство E n с

базисом {g1 , g2 ,..., gn } и выясним связь матриц линейных операто-

$	$	+	в этом базисе,		предположив, что сопряженный оператор
ров A и	A		в этом базисе,		предположив, что сопряженный оператор
					$	$	+	имеют соответст-
существует. Пусть матрицы операторов A и						A		имеют соответст-
венно вид			$	$ +	, а координатные представления элементов
венно вид		A		и A	, а координатные представления элементов

xи y в базисе {g1 , g2 ,..., gn } –

ξ1

η1

ξ2

η2

...

ξn

ηn

можно записать как

тогда равенство ( Ax, y) =

( x, A

(

)

, (10.6.1)

где

–

матрица Грама выбранного в E n

базиса.

)T =

В силу соотношения (

последнее равен-

ство можно преобразовать к виду

(

−

ˆ +

)

= 0,

а поскольку это равенство справедливо при любых x и

y , то, приняв

во внимание невырожденность матрицы Грама и проведя рассужде- ния, аналогичные использованным при доказательстве леммы 5.1.2, заключаем, что матрица, стоящая в круглых скобках, – нулевая, а из соотношения

380 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

−

ˆ +

следует

ˆ +

−1

которое, в частности, для ортонормированного базиса {e1 , e2 ,..., en }

имеет вид

ˆ +

Лемма

Если (x, Ay) = 0 x, y

E , то оператор A нулевой.

10.6.1.

Доказательство.

Пусть x, y E справедливо равенство ( x, A y) = 0 . Тогда

оно

будет

верным и

для

Но

из

равенства

x = A y .

согласно

определению

10.1.1

следует, что

( A y, A y) = 0

Наконец, в силу произвольности элемента

y и опре-

Ay = o.

деления 8.2.2 приходим к заключению, что A = O .

Лемма доказана.

Теорема

Каждый линейный оператор в евклидовом простран-

10.6.1.стве E n имеет единственный сопряженный оператор.

Доказательство.

Существование в

оператора

$ +

сопряженного оператору

следует

из

возможности

построения

матрицы вида

A ,

−1

для любого линейного оператора A .

Покажем теперь единственность

Предположим, что A

имеет два сопряженных оператора

. Это означает,

и A

что x, y E одновременно выполнены равенства

Глава 10 . Евклидово пространство

381

	$	$ +		$					$ ×
	( Ax, y) = ( x, A		y)	и ( Ax, y) = ( x, A						y) .
	Вычитая их почленно,			$	+		$	×	) y)	= 0 , но то-
	Вычитая их почленно,	получим ( x, ( A				− A			) y)	= 0 , но то-
	$ +		$ ×	$
	гда по лемме 10.6.1 A	− A		= O .
	Теорема доказана.
Теорема Для любых линейных операторов							$		$
Теорема Для любых линейных операторов							A	и B , действую-

10.6.2.щих в E , имеет место равенство

$ $

+ $

( AB)

= B

Доказательство.

Имеет место x, y E

$ $

x, y) =

$ $

$ +

x, y) .

(( AB)

( x, ABy)

= ( A

x, By) = ( B

ˆ ˆ

ˆ +

)x, y) = 0

x, y E и в

Это означает, что ((( AB)

− B

$ $

$ +

силу леммы 10.6.1 ( AB)

− B

= O .

Теорема доказана.

)

Теорема Имеет место равенство ( A

A .

10.6.3.

Доказательство.

x, y E справедливы равенства

$ +

)

x, y) =

$ +

y) =

(( A

( x, A

( Ax, y) .

)

) x, y) = 0

x, y E и то-

Откуда следует, что (( A

− ( A

гда по лемме 10.6.1

)

A −

( A

= O .

Теорема доказана.

382 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Теорема Ортогональное дополнение области значений опера-

10.6.4.

тора

A в

является ядром оператора A

Доказательство.

1°.

Покажем вначале, что ядро оператора

обозначаемое че-

, содержится во множестве

Π –

ортогональном

рез ker A

дополнении области значений оператора

A .

Действительно,

то есть такой,

любой элемент y ker A

по-

что A

y = o , ортогонален элементу b = Ax ,

скольку

$ +

= 0 .

(b, y) = ( Ax, y) = ( x, A

2°.

$ +

Π .

С одной стороны,

Теперь сравним размерности ker A

в силу невырожденности базисной матрицы Грама и теоремы

8.4.3

ˆ +

= n − rg

ˆ +

dim( ker A

)

= n − rg (

−1

) = n − rg

= n − rg

Но, с другой стороны, по теореме 8.4.1 размерность области

значений

поэтому

dim(Π) = n − rg

A равна

по теореме 10.5.1.

) = dim(Π)

Наконец,

из

соотношений

dim(ker A

ˆ +

и Π .

ker A

Π следует совпадение множеств ker A

Теорема доказана.

Глава 10 . Евклидово пространство

383

Замечания: 1) в использованных обозначениях теорема 10.6.4 до- пускает формулировку, совпадающую с формулиров- кой теоремы 6.7.3 (Фредгольма), поскольку равенст-

во $ = означает, что элемент принадлежит

области значений линейного оператора $ .

Теорема

10.6.5 (Фредгольма).

2)в предположении, что столбцы y и b суть координатные представления элементов E m в орто- нормированном базисе, также и нижеследующую формулировку:

Система линейных уравнений A x = b со-

вместна тогда и только тогда, когда каждое решение однородной сопряженной системы A T y = o

ортогонально столбцу свободных членов b .

§ 10.7. Самосопряженные операторы

Определение Линейный оператор $ , действующий в евклидовом

10.7.1.пространстве E , называется самосопряженным, еслиx, y E имеет место равенство

			ˆ	ˆ
			(Rx, y) = (x, Ry) .
Пример	В евклидовом			$	$	+	,
Пример	В евклидовом		пространстве операторы вида A + A				,
10.7.1.	$ $ +	$ + $
	AA	и A A будут самосопряженными для любого ли-
			$
	нейного оператора A .
	Действительно,		для оператора	$ + $	имеем,
	Действительно,		для оператора	A A , например,	имеем,

что x, y E .

384	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
	$ + $	$ $	$ + $
	( A Ax, y) = ( Ax, Ay) = ( x, A Ay) ,

откуда и следует его самосопряженность.

Свойства самосопряженных операторов сформулируем в виде сле- дующих утверждений.

$	E	n	является самосопряжен-
Лемма Линейный оператор R в

10.7.1.ным тогда и только тогда, когда его матрица в каждом ортонормированном базисе симметрическая.

Доказательство.

Из определения 10.7.1 и формулы

ˆ +

g =

−1

для некоторого ортонормированного базиса {e1 , e2 ,... , en } в

силу самосопряженности оператора R имеем

Перейдем

теперь

другому

ортонормированному

базису

{e′, e′

,..., e′

} .

Матрица перехода

, как было показано в

§ 10.4, ортогональная, то есть для нее

−1 =

T . Поэтому

−1

)

= (

)

e′ = (

(

)

−1

e′ .

Верно и обратное: если

, то

x, y E

= (

(Rx, y) =

e )

e =

= (x, Ry).

Лемма доказана.


	Глава 10 . Евклидово пространство		385
	Признак самосопряженности может быть сформулирован как
Следствие		Если линейный оператор в E n	имеет симметрииче-

10.7.1скую матрицу в некотором ортонормированном ба- зисе, то он самосопряженый.

Лемма	Все собственные значения самосопряженного опера-
10.7.2.	$	E	n	вещественные числа.
	тора R в

Доказательство.

Допустим противное: пусть характеристическое уравнение са-

мосопряженного оператора $ имеет комплексный корень

l = a + b i , где b ¹ 0 .

По теореме 8.6.2 оператор $ в этом случае имеет двумерное

инвариантное подпространство. То есть существует пара ли- нейно независимых элементов x и y таких, что

ˆ = α − β

Rx x y,

ˆ = α + β

Ry y x.

Умножая эти равенства скалярно: первое – справа на y , второе

– слева на x , получим

(Rxˆ	, y) = α(x, y) − β( y, y),
	ˆ

(x, Ry) = α(x, y) + β(x, x).

Вычитая почленно второе равенство из первого и принимая во

внимание самосопряженность $ , приходим к заключению, что

β ( x 2 + y 2 ) = 0 . Однако это противоречит предположению о том, что b ¹ 0 .

Лемма доказана.

386	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Лемма Собственные векторы самосопряженного оператора,

10.7.3.отвечающие различным собственным значениям, по- парно ортогональны.

Доказательство.

							$
	Пусть для самосопряженного оператора R имеют место равен-
			ˆ	ˆ		где ненулевые элементы f1
	ства R f1 = l1 f1			и R f2 = l2 f 2 ,		где ненулевые элементы f1
	и	f 2	– собственные векторы оператора				$	¹ l2 – соот-
	и	f 2	– собственные векторы оператора				A и l1	¹ l2 – соот-
	ветствующие им собственные значения. Умножив эти равенства
	соответственно: первое – скалярно справа на f 2 ,							второе – ска-
	лярно слева на f1			, получим
		(Rˆ f1 , f 2 ) = (l1 f1			, f 2 ),	(Rˆ	f1 , f 2 ) = l1 ( f1 , f 2 ),
			ˆ	( f1 ,l	или		ˆ
			( f1 , R f 2 ) =	( f1 ,l	2 f 2 )	( f1	, R f 2 ) = l2 ( f1 , f 2 ).
		Вычитая эти равенства почленно и учитывая, что						$
		Вычитая эти равенства почленно и учитывая, что						R – самосо-
		пряженный оператор, приходим к равенству
				(l1 - l2 )( f1 , f2 ) = 0 ,
		откуда ( f1 , f 2 ) = 0 .
	Лемма доказана.
Лемма		Пусть E ′ –		инвариантное подпространство самосопря-
10.7.4.					$			и пусть E ′′
		женного оператора R , действующего в E ,						и пусть E ′′
		–	ортогональное дополнение к E ′ в E . Тогда E ′′						–
								$
		также инвариантное подпространство оператора R .
	Доказательство.
	Доказательство.
		E ′			$
		E ′	инвариантно для оператора R , то есть
				"x ÎE ¢ : Rx ÎE ¢ .
					$
		Если E ′′ – ортогональное дополнение					E ′ , то	x′ E′	и
		x′′ E′′ : (x′, x′′) = 0 .

Глава 10 . Евклидово пространство

387

	Поскольку E ′	$
	Поскольку E ′	– инвариантное подпространство R ,	то будет

	$	= 0 . Но в силу самосопряженно-
также иметь место (Rx′, x′′)		= 0 . Но в силу самосопряженно-
$	$
сти R	и (x′, Rx′′) = 0 . Последнее равенство означает, что
	Rx′′ E′′		x′′ E′′ ,
	ˆ
то есть и подпространство E ′′			будет инвариантным для опера-
	$
тора R .
Лемма доказана.
			$	E	n
Теорема Для любого самосопряженного оператора R в				E

10.7.1.существует ортонормированный базис, состоящий из

собственных векторов $

R .

Доказательство.

$	E	n	существует,	по
Для самосопряженного оператора R в

крайней мере, одно собственное значение λ1 . По лемме 10.7.2

это собственное значение вещественно. Из системы уравнений

(8.5.1) можно найти отвечающий λ1 собственный вектор e1 .

Без ограничения общности можно считать, что e1 = 1. Если n = 1, то доказательство завершено.

Рассмотрим E1 – линейную оболочку элемента e1 , являющую-

ся одномерным инвариантным собственным подпространством

$				n−1	–	ортогональное дополнение к E				1	. Тогда по
R . Пусть E
лемме			10.7.4	E n−1			–	также	инвариантное подпространство
			$
оператора R .
Рассмотрим теперь							оператор		$
									R как действующий только в
E	n−1	.	Тогда очевидно,					$
								что R – самосопряженный оператор,
заданный в E n−1 ,						поскольку			E n−1 инвариантно относительно
$						и, кроме того,
R по лемме 10.7.4

388 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

		n	$	$
	x, y E		: ( Rx, y) = ( x, Ry) ,

в том числе и x, y E n−1 .

Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собст-

венное значение λ 2 и соответствующий ему собственный век-

тор		e2 .	Без ограничения общности можно считать, что
	e2	= 1 . При этом λ 2 может случайно совпасть с λ1 , однако

из построения ясно, что ( e1 , e2 ) = 0 .
Если		n = 2 , то построение базиса завершено. Иначе рассмот-
рим		E 2	–	линейную оболочку {e , e	2	} и ее ортогональное
				1
дополнение				E n−2 , найдем новое собственное значение λ 3 и
соответствующий ему собственный вектор e3 и т.д.
Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания E n .
Теорема доказана.
Следствие		В базисе, построенном в теореме 10.7.1, самосопря-
10.7.2.				$
		женный оператор R имеет диагональную матрицу в

E n .

Доказательство.

Вытекает из замечания о важности собственных векторов в § 8.5.

Следствие Размерность собственного инвариантного подпро-

10.7.3.странства, отвечающего некоторому собственному значению самосопряженного оператора, равна крат- ности этого собственного значения.

Доказательство.

Следует из доказательства теоремы 10.7.1.

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5539 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб18МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб3Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб6Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб25МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб42МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
01.03.202581.41 Кб0МХК-2010.doc
#
03.06.20153.67 Mб22Наноолимпиада физика.pdf
#
01.07.2025260.61 Кб0Написание сочинения ЕГЭ-11.doc
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб13Национальный манифест.pdf